熱平衡狀態(tài)下弗倫克爾缺陷數(shù)目

1、熱平衡狀態(tài)下弗倫克爾缺陷數(shù)目摘要 熱平衡狀態(tài)下弗倫克爾缺陷數(shù)目推導(dǎo)關(guān)鍵詞 晶體，弗倫克爾缺陷，數(shù)目推導(dǎo)在理想模型中，認(rèn)為晶體中的原子是嚴(yán)格按照一定的規(guī)律在晶體中排列的。各種原子都 位于原胞中的相應(yīng)位置， 而原胞又嚴(yán)格的排列在規(guī)則的格點位置， 即原子的排列具有嚴(yán)格的 周期性。 在現(xiàn)實存在的晶體的原子排列，并不像想象的那樣完美無缺，而是存在著各種各 樣對周期性排列的偏離， 即存在諸多缺陷。 缺陷按其維數(shù)可分為點缺陷 （空位、 填隙原子， 雜質(zhì)原子等） 、線缺陷 （刃位錯、螺位錯） 、面缺陷（晶界、堆垛層錯與孿晶） 和體缺陷。 缺 陷一般形成原因有熱缺陷、雜質(zhì)缺陷、非化學(xué)計量缺陷等晶體中缺陷的存在將

2、對晶體的性質(zhì)產(chǎn)生重大的影響。在某些情況下，極其少量的缺陷， 甚至是從根本上改變晶體的性能，因此對缺陷的研究是十分重要的。幾種典型的點缺陷肖特基缺陷晶格中鄰近表面的原子由于熱漲落跳到晶體表面， 從而在晶體內(nèi)留下一個空位， 稱為肖 托基缺陷 填隙原子晶體表面上個別原子由 于熱漲落跳到晶體內(nèi)部格點間隙位置，從而在這些被占據(jù)的間 隙位置形成缺陷。弗倫克爾缺陷格點上的原子由于熱漲落， 脫離格點位置而進(jìn)入格點間隙位置， 而稱為填隙原子， 同時 產(chǎn)生空穴，兩者成對出現(xiàn)。一般說來， 肖特基缺陷和弗 倫克爾缺陷可以同時存在， 因而晶體中空位和填隙原子 的 數(shù)目一般不相等。這說明 原子脫離格點和進(jìn)入間隙的難易程度

3、是不同的。 由于以上三種缺陷都是由于熱運動的漲落產(chǎn)生的， 所以也稱為熱缺陷。 由于熱運動的隨機性， 缺陷也可能消失，稱為復(fù)合。在一定溫度下， 缺陷的產(chǎn)生與復(fù)合過程相互平衡，缺陷將保持 一定的平衡濃度。雜質(zhì)摻入到晶體中的異種原子或同位素稱為雜質(zhì)。 雜質(zhì)缺陷一般分為替位式雜質(zhì)缺陷和填隙 雜質(zhì)缺陷。Frenke I缺陷的物理模型N 個原子有規(guī)則地排列形成一個理想晶體。 如果其中的原子脫離晶體的晶格位置而跑到晶格 的空隙（填隙位置）中，原來的理想晶體就出現(xiàn)了缺陷，這種缺陷稱為弗倫克爾缺陷。通常 原子能夠占有的填隙位置的數(shù)目 N '與晶格位置數(shù) N具有同樣數(shù)量級，可以假定 其中 q 為比例系數(shù)

4、,有 nF 個原子脫離格點位置而進(jìn)入間隙位置，形成nF 個弗倫克爾缺陷，其中nF <<N。為了簡單起見，設(shè)一個原子從晶格位置移到填隙位置所需要的能量為常數(shù)u。在上述簡化的非理想晶體模型下， 較容易研究晶體中弗倫克爾缺陷的數(shù)目 n與溫度T的關(guān)系。Frenke I缺陷數(shù)目推導(dǎo)平衡熱缺陷數(shù)目的統(tǒng)計理論熱缺陷是晶體中熱漲落現(xiàn)象自然產(chǎn)生的。其平衡熱缺陷數(shù)目可以從晶體熱力學(xué)平衡條件求得。通常情況下，自由能F=U-TS是晶體的特性函數(shù)。缺陷的產(chǎn)生會引起F的改變。在一定溫度下，點缺陷將從兩個方面影響F:由于產(chǎn)生缺陷需要能量，因此當(dāng)缺陷濃度為nF,系統(tǒng)內(nèi)能增加 U ;由于缺陷打亂原子排列，則系統(tǒng)的位

5、形熵也增加S因而自由能改變厶F= U-T S當(dāng)兩種因素相互制約使F最小時，缺陷數(shù)目nF達(dá)到穩(wěn)定值，即由來確定 幾個假設(shè)在由上式確定nF時，作如下假定：1）熱缺陷數(shù)目nF遠(yuǎn)小于晶體原子數(shù) N，在溫度不太高時，nF <<N總是成立的。2） 略去點缺陷之間的相互作用，把點缺陷看作是相互獨立的，這在nF <<N時總是成立的。3） 忽略點缺陷對晶格振動頻率的影響，認(rèn)為晶格振動自由能Fv與點缺陷無關(guān)這個假定總是 不成立的。實際上，缺陷周圍的恢復(fù)力系數(shù)將發(fā)生改變，因而振動頻率也將改變。推導(dǎo)過程設(shè)N為原子總數(shù)，N，為晶體間隙位置總數(shù)，有nF個原子脫離格點位置而進(jìn)入間隙位置，形成 nF個

6、弗倫克爾缺陷。形成一個弗倫克爾缺陷所需能量為Uf。首先，由于nF個缺陷的產(chǎn)生，晶體內(nèi)能增量UnfUf其次，nF個缺陷引起的位形熵增量S，可由 S = kB l nW求得。式中，W是與理想晶體比較，由缺陷引起的微觀態(tài)數(shù)的增量。接下來計算W。從N個原子中取個原子而形成nF個空位的可能方式數(shù)為w 二 cNfN!(N - nF)! nF!nF個原子進(jìn)入個間隙位置而形成填隙原子的可能排列方式為(N - nF)! nF!因此形成 門尸個弗倫克爾缺陷的可能方式數(shù)，即微觀態(tài)增加數(shù)為nFn fCN CN 'N! N !(N - nF)! ( N - nF)! (nF! )2現(xiàn)在，則可求得位形熵增量S 為

7、.F 二 nFuF T. ：SnFuFTkB(ln W In W)以及晶體自由能的增量為.：S = kB In W = kB ln WW - kB in W kB in W將W 和 W 代入 F 得 F = nFuF- TklnN!In N!-In (N- nF)!- ln( N- n F)!-2 In nF!得d(lnN!) =. d(N ln N - N):F二 0=lnN dN 1 - 1 = ln NdN代入得，:：FUf -TkB %EfEfUF -TkBln(N - nF) ln( N - nF) - 2 ln nF0由于葉：N和n f I： N，則得UF求得nF即最終求得熱平衡狀

8、態(tài)下弗倫克爾缺陷數(shù)目為nF =7KNVUF/（2k BT）以上推導(dǎo)是將晶體看成孤立的系統(tǒng)采用了微正則分布的方法；也可以把晶體看成與大熱源平衡的封閉系統(tǒng)采用正則分布的方法；還可以把晶體看成與大熱源和大粒子源的開放系統(tǒng)采用巨正則分布的方法。這些都可以求解出弗倫克爾缺陷數(shù)目。在使用統(tǒng)計系綜方法的微正則分布、正則分布和巨正則分布這三種分布來計算非理想晶體中 弗倫克爾缺陷的數(shù)目與溫度 T的關(guān)系，得出的結(jié)果是完全相同的。 這表明在晶體的熱力學(xué)問 題上這些方法是完全等價的。從原則上來說這三種分布描述的是三種不同的統(tǒng)計分布規(guī)律； 但是在實際上，只要系統(tǒng)本身足夠大，一般漲落并不顯示出宏觀效應(yīng)。因此在實際計算中， 把一個系統(tǒng)看成遵從哪個分布區(qū)別是不大的參考文獻(xiàn)【1】倪致祥利用系綜理論求弗倫克爾缺陷 阜陽師范學(xué)院物理系【2】上海市物理學(xué)會教學(xué)研究委員會.理論物理習(xí)題集上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1983.290由斯特