FPGA環(huán)境下基于cordic運算實現(xiàn)反正切運算（VHDL）

1、CORDIC算法實現(xiàn)反正切運算算法1. 前言CORDIC算法包括圓周系統(tǒng)、線性系統(tǒng)、雙曲系統(tǒng)三種旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，每種系統(tǒng)又分別具有旋轉(zhuǎn)模式和向量模式兩種運算模式。其中，運用最為廣泛的時圓周系統(tǒng)的兩種運算模式，本文也立足與項目應用，僅闡述圓周系統(tǒng)，其余系統(tǒng)可參看相關資料。2. 算法分析要充分理解圓周系統(tǒng)，我們需先引入其旋轉(zhuǎn)模式的概念，再以旋轉(zhuǎn)模式引申到向量的概念中去。CORDIC算法的旋轉(zhuǎn)模式運算的實質(zhì)就是執(zhí)行一個平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),如圖1所示,就是從一個坐標點轉(zhuǎn)換到另一個坐標點的過程.圖1.平面旋轉(zhuǎn)模式運算示意圖如圖1中所示，原向量的坐標表達式為 (1)其中，r為向量的長度，由于本文的目的是討論角度的計算，

2、所以，都假定向量旋轉(zhuǎn)過程中的長度是固定不變的，這樣，我們可以專注于角度的變化。所以，目標向量的坐標表達式為 (2)即 用向量統(tǒng)一表示為 (3)公式1表示由向量到向量的旋轉(zhuǎn)過程，即轉(zhuǎn)過的相角為，可以通過迭代運算分多步執(zhí)行角度旋轉(zhuǎn),每一步完成旋轉(zhuǎn)的一部分.單步表述為: (4)其中表示下一步迭代需要執(zhí)行的運算。根據(jù)公式2，必須確切知道每單步要旋轉(zhuǎn)的角度，具體計算方法闡述如下：為方便表示，并簡化方程中的參量，方程(4)提取COS后變成 (5)規(guī)定每一步所調(diào)整的角度為 (6)即單次調(diào)整最大為當n=0時調(diào)整，其后每次調(diào)整值逐步減小，如此多次調(diào)整后最終調(diào)整角度值即為目標值，向量旋轉(zhuǎn)完畢。即，其中為角度調(diào)整的

3、方向，取值為-1，+1，每次的取值由上次調(diào)整完后的角度剩余量的符號決定，將仍舊需要調(diào)整的角度定義為。 (7)于是 (8)<0表示調(diào)整過度，需要回調(diào)，所以=-1，下一步要逆時針旋轉(zhuǎn)，反之，=1，繼續(xù)按照逆時針調(diào)整。綜上所述，結(jié)合(5)、(6)式和(7)式以及旋轉(zhuǎn)模式下旋轉(zhuǎn)方向問題，(5)式在工程實現(xiàn)時應為 (9)公式（9）是可以工程實現(xiàn)的迭代公式，試想，通過n次迭代運算后，向量由原來位置經(jīng)過了n次不同角度的旋轉(zhuǎn)，形成的新位置為 (10)由上式可以看出，對于給定次數(shù)的向量旋轉(zhuǎn)（n為有限次），所有的cos乘積趨近于固定值，為 (11)于是，令 (12)此K值與具體的迭代次數(shù)有關，對于所有的初始

4、向量（n=0）和旋轉(zhuǎn)角度而言，K時一個常數(shù)。而當?shù)螖?shù)N趨向于無窮大時，K值收斂且K0.67253。通常定義K叫做聚焦常數(shù)，其倒數(shù)P1.64676，通常稱作旋轉(zhuǎn)增益，于是旋轉(zhuǎn)向量又寫為 (13)在旋轉(zhuǎn)模式下，經(jīng)N次迭代運算后，已趨近于0，即=1，CORDIC公式的輸出為， (14)公式(14)即為工程實現(xiàn)中的指導公式。在此種模式下，可以根據(jù)上式很方便的計算出一個給定角度的正弦、余弦和正切值。但在數(shù)字計算中，使用向量模式求取一個向量的角度更容易，我們此次的工程中需要求取的就是反正切的角度，這樣使用向量模式非常方便。向量模式的計算方法和旋轉(zhuǎn)模式很相似，區(qū)別在于向量模式的輸入只有一組坐標值，求取此

5、向量的角度，只需要將此向量旋轉(zhuǎn)，使向量的Y坐標趨近于0，即，使向量旋轉(zhuǎn)到與實軸重合，所轉(zhuǎn)過的角度即為此向量的角度。如圖2所示圖2.向量模式下旋轉(zhuǎn)求角度示意圖并且，在計算過程中，的取值需取決于調(diào)整過程中的符號，因為在向量模式下要調(diào)整的目標位置為，故可根據(jù)的正負符號判斷向量轉(zhuǎn)動的角度是否已經(jīng)超過目標值。當?shù)\算N次后，=1，實現(xiàn)指導公式變?yōu)椋?， (15)注意，此時的取值與旋轉(zhuǎn)模式下的區(qū)別。其原則仍是+1表示要正向（逆時針）調(diào)整，-1表示要逆向（順時針）調(diào)整。將Z值初始化為，經(jīng)迭代運算，當運算持續(xù)到Y(jié)=0時，此時 (16)，此即為我們需要的向量的反正切值，即為向量的角度。3. 代碼實現(xiàn)基于以上算

6、法原理，可實現(xiàn)計算的精確值，按照式（15），將Z賦初始值，由上一層模塊產(chǎn)生此反正切計算模塊的數(shù)據(jù)錄入使能load_dat_en，使能信號一個時鐘周期寬度，在此使能下錄入向量的坐標值，在芯片化項目中，即，把IK、QK分別看做平面坐標下向量的實部與虛部，進而計算此坐標的相角。IK、QK值與load_dat_en一起有效，并隨之產(chǎn)生本模塊內(nèi)部的運算時序計數(shù)器，根據(jù)運算精度要求，目前需要8次迭代運算即可逼近目標值，而不是一定要計算到，所以此時序計數(shù)器安排為110循環(huán)，在相應位置執(zhí)行相應操作，每個時鐘周期都計算當前X、Y、Z的值，并在8此迭代都計算完畢后檢測所有步驟的Y值是否為0，有為0的即輸出對應的Z

7、值作為相角值，如果沒有，則將第8次迭代結(jié)果作為最終結(jié)果輸出。輸出時產(chǎn)生一個數(shù)據(jù)輸出使能，一個時鐘周期寬度，告知上層調(diào)用模塊，可以讀取本模塊計算結(jié)果。在迭代運算過程中，為方便計算，規(guī)定I/O口及模塊內(nèi)部的16bit數(shù)據(jù)在表征相角時涵蓋范圍是-180°+180°，用16bit中的低15bit表示0°180°，最高位表示符號位。這樣，可以得出相應的一些關鍵角度所對應的數(shù)值。角度數(shù)值90°X”4000”-90°X”C000”45°X”2000”26.565°X”12E4”14.036°X”09FB”7.125&#

8、176;X”0511”3.576°X”028B”1.79°X”0146”0.895°X”00A3”0.4476°X”0051”表1.角度與數(shù)值對應實際計算時即按照表1中的角度進行調(diào)制，此外，因為arctan函數(shù)本身定義域在-/2/2，為方便計算，可將二、三象限的向量分別映射到一、四象限進行計算，具體方法是檢測輸入的實部、虛部值的符號來判斷象限，若在一、四象限，則可直接賦值計算，若在二象限，則將坐標軸順時針轉(zhuǎn)換/2，即將二象限角轉(zhuǎn)換至一象限，同樣道理，可轉(zhuǎn)換三象限角至四象限。如圖3所示。圖3.坐標軸轉(zhuǎn)換圖3所示為由原坐標順時針旋轉(zhuǎn)/2后的情形，此時，原來要求的減小了/2，現(xiàn)在只需求，將加/2即是所要求的。在程序中，不需要像敘述的這樣操作，只需計算的值，只是設置初始相角即可，如此，最終所得的角度值即為的準