多元函數(shù)積分學(xué)1_幾何形體上積分概念

1、 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容幾何形體上積分的概念幾何形體上積分的概念二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法三重積分的計(jì)算法三重積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1.1.各種積分的相互關(guān)系各種積分的相互關(guān)系多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)1第一節(jié)第一節(jié) 幾何形體上積分的概念幾何形體上積分的概念2平面的有界閉區(qū)域平面的有界閉區(qū)域; 空間的有界閉區(qū)域空間的有界閉區(qū)域;平面和空間的有限光滑平面和空間的有限光滑(或分段光滑或分段光滑)曲線段曲線段;空間有限光滑空間有限光滑(或分片光滑或分片光滑)曲面片曲面片.幾何

2、形體幾何形體:假定都是可以度量的假定都是可以度量的, 也就是可以求出面積、體也就是可以求出面積、體積或弧長(zhǎng)的積或弧長(zhǎng)的, 它們稱為幾何形體的它們稱為幾何形體的度量度量.幾何形體上任何兩點(diǎn)間距離的最大值為這個(gè)幾何幾何形體上任何兩點(diǎn)間距離的最大值為這個(gè)幾何形體的形體的直徑直徑.定積分定義定積分定義abxo的若對(duì),ba任一種任一種分法分法012,naxxxxbL,1iiixxx令任取任取1, ,iiixxi時(shí)只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限總趨于確定的極限 I , 則稱此極限則稱此極限 I 為函數(shù)為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd

3、)(即即baxxfd)(iniixf10)(lim此時(shí)稱此時(shí)稱 f ( x ) 在在 a , b 上上可積可積 .記作記作設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，5幾何形體上積分的定義幾何形體上積分的定義設(shè)設(shè)f(p)是幾何形體是幾何形體G上的有界函數(shù)上的有界函數(shù). 將將G任意分成任意分成n個(gè)個(gè)部分，記為部分，記為 gi (i=1,2,n，gi 也代表該部分的幾何也代表該部分的幾何度量度量). 在每個(gè)部分上任取一點(diǎn)在每個(gè)部分上任取一點(diǎn)pi ，作和式，作和式1()niiif pg , 如果當(dāng)各個(gè)部分的直徑的最大值如果當(dāng)各個(gè)部分的直徑的最大值0時(shí)，時(shí)，和式的極限和式的極限01lim()niiif

4、 pg 存在，則稱這個(gè)極限為函數(shù)存在，則稱這個(gè)極限為函數(shù)f(p)在幾何形體在幾何形體G上的積上的積分，記為分，記為( ).Gf p dg6當(dāng)當(dāng)G為不同的幾何形體時(shí)，對(duì)應(yīng)的積分都給出為不同的幾何形體時(shí)，對(duì)應(yīng)的積分都給出固定的名稱和符號(hào)：固定的名稱和符號(hào)：當(dāng)當(dāng)G為平面有界閉區(qū)域（常記為為平面有界閉區(qū)域（常記為D）時(shí)，稱為）時(shí)，稱為二重積分二重積分，記為，記為( , )Df x y d 當(dāng)當(dāng)G為空間有界閉區(qū)域（常記為為空間有界閉區(qū)域（常記為）時(shí)，稱為）時(shí)，稱為三重積分三重積分，記為，記為( , , )f x y z dv7當(dāng)當(dāng)G為平面有限曲線段（常記為為平面有限曲線段（常記為L(zhǎng)）或空間有）或空間有限

5、曲線段（常記為限曲線段（常記為）時(shí)，稱為）時(shí)，稱為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分積分，記為，記為( , )Lf x y ds當(dāng)當(dāng)G為空間有限曲面片（常記為為空間有限曲面片（常記為）時(shí)，稱為）時(shí)，稱為對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分，記為，記為( , , )f x y z dS( , , )f x y z ds幾何形體上積分的存在定理幾何形體上積分的存在定理:若函數(shù)若函數(shù)( )f p定理定理.積分積分在幾何形體在幾何形體G上連續(xù)上連續(xù), 則則必定存在必定存在.( )Gf p dg幾何形體上積分的性質(zhì)（以二重積分為例）幾何形體上積分的性質(zhì)（以二重積分為例）Dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù)為常數(shù)

6、)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf1212(,)DDDDDU無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)Dyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為為D 的面積的面積, 則則 一般地有一般地有 （如面積，體積，弧長(zhǎng)等）（如面積，體積，弧長(zhǎng)等）GdgG 的的度度量量7.(二重積分

7、的中值定理二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D),(),(fdyxfD證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)6 可知可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn)D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上上 為為D 的面積的面積 ,則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)使使使使連續(xù)連續(xù),因此因此例例1. 比較下列積分的大小比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域積分域 D 的邊界為圓周的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與它與 x 軸交于點(diǎn)軸

8、交于點(diǎn) (1,0) ,.1相切與直線 yx而域而域 D 位位, 1 yx從而從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方于直線的上方, 故在故在 D 上上 1y2xo1D例例2. 估計(jì)下列積分之值估計(jì)下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為的面積為200)210(2由于由于yx22coscos1001積分性質(zhì)積分性質(zhì)100200I102200即即: 1.96 I 210101010D10011021xyo幾何形體上積分的物理意義幾何形體上積分的物理意義如果一個(gè)非均勻物體，其形狀如上述幾何如果一個(gè)非均勻物體，其形狀如上述幾何形體形體G，其密度為，其密度為G上的函數(shù)上的函數(shù)(p)，則在，則在G上的元素上的元素dg上，其質(zhì)量應(yīng)是上，其質(zhì)量應(yīng)是