典型極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題帶答案

1、極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題極坐標(biāo)參數(shù)方程練習(xí)題1在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 C1：x2，圓 C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求 C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線 C3的極坐標(biāo)方程為4(R)，設(shè) C2與 C3的交點(diǎn)為 M，N，求C2MN 的面積解：(1)因?yàn)?xcos，ysin，所以 C1的極坐標(biāo)方程為cos2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40.(2)將4代入22cos4sin40，得23 240，解得12 2，2 2.故12 2，即|MN| 2.由于 C2的半徑為 1，所以C2MN 的面積為12.4(2014遼寧，23，10 分，

2、中)將圓 x2y21 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍，得曲線 C.(1)寫出 C 的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線 l：2xy20 與 C 的交點(diǎn)為 P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段 P1P2的中點(diǎn)且與 l 垂直的直線的極坐標(biāo)方程解：(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，經(jīng)變換為 C 上點(diǎn)(x，y)，依題意，得xx1，y2y1，由 x21y211 得 x2y221.即曲線 C 的方程為 x2y241.故 C 的參數(shù)方程為xcos t，y2sin t(t 為參數(shù))(2)由x2y241，2xy20解得x1，y0或x0，y2.不妨設(shè) P1(1，0)，P2

3、(0，2)，則線段 P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為12，1，所求直線斜率為 k12，于是所求直線方程為 y112x12 .化為極坐標(biāo)方程，并整理得2cos4sin3，即34sin2cos.(2)(2015吉林長(zhǎng)春二模，23，10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以 O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為cos3 1，M，N 分別為曲線 C 與 x軸，y 軸的交點(diǎn)寫出曲線 C 的直角坐標(biāo)方程，并求 M，N 的極坐標(biāo)；設(shè) M，N 的中點(diǎn)為 P，求直線 OP 的極坐標(biāo)方程【解析】(1)將 2cos2sin兩邊同乘以，得 2(cos)2sin，化為直角坐標(biāo)方程為 2x2y，C2：co

4、s1 化為直角坐標(biāo)方程為 x1，聯(lián)立可解得x1，y2，所以曲線 C1與 C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1，2)(2)cos3 1，coscos3sinsin31.又xcos，ysin，12x32y1，即曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x 3y20.令 y0，則 x2；令 x0，則 y2 33.M(2，0)，N0，2 33.M 的極坐標(biāo)為(2，0)，N 的極坐標(biāo)為2 33，2 .M，N 連線的中點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為1，33 ，P 的極角為6.直線 OP 的極坐標(biāo)方程為6(R)注：極坐標(biāo)下點(diǎn)的坐標(biāo)表示不唯一【點(diǎn)撥】解答題(1)的關(guān)鍵是掌握直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法；題(2)先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問(wèn)題求解，再轉(zhuǎn)化為極坐

5、標(biāo)(2013課標(biāo)，23，10 分)已知曲線 C1的參數(shù)方程為x45cos t，y55sin t(t 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為2sin.(1)把 C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求 C1與 C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0，02)【解析】(1)將x45cos t，y55sin t消去參數(shù) t，化為普通方程為(x4)2(y5)225，即 C1：x2y28x10y160.將xcos，ysin代入 x2y28x10y160，得28cos10sin160.所以 C1的極坐標(biāo)方程為28cos10sin160.(2)C2的普通方程為 x2y22y0.聯(lián)立

6、 C1，C2的方程x2y28x10y160，x2y22y0，解得x1，y1或x0，y2.所以 C1與 C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2，4 ，2，2 .【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求解(2012遼寧，23，10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 C1：x2y24，圓 C2：(x2)2y24.(1)在以 O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓 C1，C2的極坐標(biāo)方程，并求出圓 C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示)；(2)求圓 C1與 C2的公共弦的參數(shù)方程解： (1)由xcos ，ysin，

7、x2y22知圓C1的極坐標(biāo)方程為2， 圓C2的極坐標(biāo)方程為4cos.解2，4cos得2，3，故圓 C1與圓 C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為2，3 ，2，3 .注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)方法一：由xcos，ysin得圓 C1與 C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1， 3)，(1， 3)故圓 C1與 C2的公共弦的參數(shù)方程為x1，yt( 3t 3)或參數(shù)方程寫成x1，yy， 3y 3方法二：將 x1 代入xcos，ysin，得cos1，從而1cos.于是圓 C1與 C2的公共弦的參數(shù)方程為x1，ytan33 .5(2015河北邯鄲二模，23，10 分)已知圓 C 的極坐標(biāo)方程為2cos，直線 l 的參數(shù)方程為x

8、1232t，y1212t(t 為參數(shù))， 點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為22，4 ， 設(shè)直線 l 與圓 C 交于點(diǎn) P，Q.(1)寫出圓 C 的直角坐標(biāo)方程；(2)求|AP|AQ|的值解：(1)因?yàn)閳A C 的極坐標(biāo)方程為2cos，所以22cos，將其轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為 x2y22x，即(x1)2y21.(2)由點(diǎn) A 的極坐標(biāo)22，4 得直角坐標(biāo)為 A12，12 .將直線 l 的參數(shù)方程x1232t，y1212t(t 為參數(shù))代入圓 C 的直角坐標(biāo)方程(x1)2y21，得 t2312t120.設(shè) t1，t2為方程 t2312t120 的兩個(gè)根，則 t1t212，所以|AP|AQ|t1t2|12.2(20

9、15課標(biāo)，23，10 分，中)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1：xtcos，ytsin，(t 為參數(shù)，t0)，其中 0.在以 O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 C2：2sin，C3：2 3cos.(1)求 C2與 C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若 C1與 C2相交于點(diǎn) A，C1與 C3相交于點(diǎn) B，求|AB|的最大值解：(1)曲線 C2的直角坐標(biāo)方程為 x2y22y0，曲線 C3的直角坐標(biāo)方程為 x2y22 3x0.聯(lián)立x2y22y0，x2y22 3x0，解得x0，y0或x32，y32.所以 C2與 C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和32，32 .(2)曲線 C1的極坐標(biāo)方程為(

10、R，0)，其中 0.因此 A 的極坐標(biāo)為(2sin，)，B 的極坐標(biāo)為(2 3cos，)所以|AB|2sin2 3cos|4|sin3|.當(dāng)56時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為 4.3 (2015陜西， 23， 10 分， 易)在直角坐標(biāo)系 xOy 中， 直線 l 的參數(shù)方程為x312t，y32t(t為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C 的極坐標(biāo)方程為2 3sin.(1)寫出C 的直角坐標(biāo)方程；(2)P 為直線 l 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) P 到圓心 C 的距離最小時(shí)，求 P 的直角坐標(biāo)解：(1)由2 3sin，得22 3sin，從而有 x2y22 3y，所以 x2(y 3)23.

11、(2)設(shè) P312t，32t，又 C(0， 3)，則|PC|312t232t 32 t212，故當(dāng) t0 時(shí)，|PC|取得最小值，此時(shí)，P 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3，0)5(2014課標(biāo)，23，10 分，中)在直線坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓 C 的極坐標(biāo)方程為2cos，0，2 .(1)求 C 的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn) D 在 C 上，C 在 D 處的切線與直線 l：y 3x2 垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定 D 的坐標(biāo)解：(1)C 的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得 C 的參數(shù)方程為x1cos t，ysin t(t 為參數(shù)，0t)(2)

12、設(shè) D(1cos t，sin t)由(1)知 C 是以 G(1，0)為圓心，1 為半徑的上半圓因?yàn)?C在點(diǎn) D 處的切線與 l 垂直，所以直線 GD 與 l 的斜率相同，tan t 3，t3.故 D 的直角坐標(biāo)為1cos3，sin3 ，即32，32 .7(2013課標(biāo)，23，10 分，中)已知?jiǎng)狱c(diǎn) P，Q 都在曲線 C：x2cos t，y2sin t(t 為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為 t與 t2(02)，M 為 PQ 的中點(diǎn)(1)求 M 的軌跡的參數(shù)方程；(2)將 M 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d 表示為的函數(shù)，并判斷 M 的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)解：(1)依題意有 P(2cos，2sin)，Q(2cos

13、2，2sin 2)，因此 M(coscos 2，sinsin 2)M 的軌跡的參數(shù)方程為xcoscos 2，ysinsin 2(為參數(shù)，02)(2)M 點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d x2y2 22cos(02)當(dāng)時(shí)，d0，故 M 的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(2014課標(biāo)，23，10 分)已知曲線 C：x24y291.直線 l：x2t，y22t(t 為參數(shù))(1)寫出曲線 C 的參數(shù)方程，直線 l 的普通方程；(2)過(guò)曲線 C 上任意一點(diǎn) P 作與 l 夾角為 30的直線，交 l 于點(diǎn) A，求|PA|的最大值與最小值【思路導(dǎo)引】(1)由基本關(guān)系式可消參求出普通方程；(2)把|PA|用參數(shù)來(lái)表示，從而求其最值【解析

14、】(1)曲線 C 的參數(shù)方程為x2cos，y3sin(為參數(shù))直線 l 的普通方程為 2xy60.(2)曲線 C 上任意一點(diǎn) P(2cos，3sin)到 l 的距離為d55|4cos3sin6|.則|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中為銳角，且 tan43.當(dāng) sin()1 時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為22 55.當(dāng) sin()1 時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為2 55.(2013遼寧，23，10 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以 O 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓 C1，直線 C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin，cos4 2 2.(1)求 C1與 C2交點(diǎn)的極坐

15、標(biāo)；(2)設(shè) P 為 C1的圓心，Q 為 C1與 C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線 PQ 的參數(shù)方程為xt3a，yb2t31(tR 為參數(shù))，求 a，b 的值【解析】(1)圓 C1的直角坐標(biāo)方程為 x2(y2)24，直線 C2的直角坐標(biāo)方程為 xy40.解x2（y2）24，xy40得x10，y14，x22，y22.所以 C1與 C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為4，2 ，2 2，4 .注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)由(1)可得，P 點(diǎn)與 Q 點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0，2)，(1，3)故直線 PQ 的直角坐標(biāo)方程為 xy20.由參數(shù)方程可得 yb2(xa)1b2xab21，所以b21，ab212，解得 a1，b2

16、.【點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是明確轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，即把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把參數(shù)方程化為普通方程求解問(wèn)題2011課標(biāo)全國(guó)， 23， 10分)在直角坐標(biāo)系xOy中， 曲線C1的參數(shù)方程為x2cos，y22sin(為參數(shù))，M 是 C1上的動(dòng)點(diǎn)，P 點(diǎn)滿足OP2OM，P 點(diǎn)的軌跡為曲線 C2.(1)求 C2的方程；(2)在以 O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線3與 C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A，與 C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B，求|AB|.解：(1)設(shè) P(x，y)，則由條件知 Mx2，y2 .由于 M 點(diǎn)在 C1上，所以x22cos，y222sin，即x4cos，y44sin.從而 C2

17、的參數(shù)方程為x4cos，y44sin(為參數(shù))(2)C1化為普通方程為 x2(y2)24，故曲線 C1的極坐標(biāo)方程為4sin，同理可得曲線 C2的極坐標(biāo)方程為8sin.射線3與 C1的交點(diǎn) A 的極徑為14sin32 3，射線3與 C2的交點(diǎn) B 的極徑為28sin34 3.所以|AB|21|2 3.5(2014遼寧錦州一模，23，10 分)已知圓的極坐標(biāo)方程為24 2cos(4)60.(1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程；(2)若點(diǎn) P(x，y)在該圓上，求 xy 的最大值和最小值解：(1)原方程變形為24cos4sin60，化直角坐標(biāo)方程為 x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22.(2)設(shè)圓的參數(shù)方程為x2 2cos，y2 2sin(為參數(shù))，點(diǎn) P(x，y)在圓上，則 xy42sin4 .所以 xy 的最大值為 6，最小值為 2.6(2015山西太原聯(lián)考，23，10 分)已知平面直角坐標(biāo)系 xOy，以 O 為極點(diǎn)，x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為2 3，6 ，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為22 3sin1.(1)寫出點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)及曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；(2)若 Q 為曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn)，求 PQ 中點(diǎn) M 到