淺談菲波納契數(shù)列的內(nèi)涵和應(yīng)用價(jià)值

1、淺談菲波納契數(shù)列的內(nèi)涵和應(yīng)用價(jià)值99數(shù)學(xué)本四班 莫少勇 指導(dǎo)教師 孫麗英摘 要 本文從菲波那契數(shù)列出發(fā)，通過探究其數(shù)學(xué)內(nèi)涵和它在實(shí)際生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的欣賞能力，初步建立數(shù)學(xué)建模的思想，從而提高用數(shù)學(xué)知識(shí)分析實(shí)際問題的能力。 關(guān)鍵詞 Fibonacci數(shù)列 黃金數(shù) 優(yōu)選法數(shù)學(xué)美不僅有形式的和諧美，而且有內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)美；不僅有語言的簡(jiǎn)明、精巧美，而且有公式、定理的結(jié)構(gòu)整體美；不僅有邏輯、抽象美，而且有創(chuàng)造應(yīng)用美。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，首先從數(shù)的比例中求出美的形式，發(fā)現(xiàn)了黃金數(shù)。神奇的菲波納契數(shù)列正是黃金數(shù)之后的一大發(fā)現(xiàn)，它又被譽(yù)為“黃金數(shù)列”。一 Fibonacci數(shù)列的由來Fibon

2、acci數(shù)列的提出，當(dāng)時(shí)是和兔子的繁殖問題有關(guān)的，它是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)模型。這個(gè)問題是：有小兔一對(duì)，若第二個(gè)月它們成年，第三個(gè)月生下小兔一對(duì)，以后每月生產(chǎn)一對(duì)小兔，而所生小兔亦在第二個(gè)月成年，第三個(gè)月生產(chǎn)另一對(duì)小兔，以后亦每月生產(chǎn)小兔一對(duì)，假定每產(chǎn)一對(duì)小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對(duì)？對(duì)于n=1，2，令Fn表示第n個(gè)月開始時(shí)兔子的總對(duì)數(shù)，Bn、An分別是未成年和成年的兔子（簡(jiǎn)稱小兔和大兔）的對(duì)數(shù),則Fn= An+Bn根據(jù)題設(shè)，有月份n123456An112358Bn111235Fn11235813顯然，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=1，而且從第三個(gè)月開始，每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個(gè)

3、月的兔子總數(shù)之和，于是按此規(guī)律我們得到一個(gè)帶有初值的遞推關(guān)系式：若我們規(guī)定F0=1，則上式可變?yōu)檫@就是Fibonacci數(shù)列的通常定義，也就是數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，這串?dāng)?shù)列的特點(diǎn)是：其中任一個(gè)數(shù)都是前兩數(shù)之和。這個(gè)兔子問題是意大利數(shù)學(xué)家梁拿多（Leomardo）在他所著的算盤全集中提出的，而梁拿多又名菲波納契（Fibonacci），所以這個(gè)數(shù)列稱作菲波納契數(shù)列，其中每一項(xiàng)稱作Fibonacci數(shù)。它的通項(xiàng)是Fn=()n+1-()n+1，由法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）求出的。二Fibonacci數(shù)列的內(nèi)涵（1）Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)的證明我們可以通過求解

4、常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系或者利用生成函數(shù)法來實(shí)現(xiàn)。證法一： 菲波納契數(shù)列是一個(gè)2階的線性齊次遞推關(guān)系，它的遞推方程是x2-x-1=0，特征根是通解是Fn=C1()n+C2()n代入初值來確定C1、C2，得方程組解這個(gè)方程組得 C1=, C2=原遞推關(guān)系的解是 Fn=()n+1-()n+1證法二：設(shè)Fn的生成函數(shù)為 F(x) ，則有 F(x)=F0+F1x+F2x2+Fnxn+x(F(x)-F0)= F1x2+F2x3+Fn-1xn+x2F(x)= F0x2+F1x3+把以上式子的兩邊由上而下作差得F(x)(1-x-x2)+x=F0+F1x+(F2-F1-F0)x2+(F3-F2-F1)x3+ =

5、1+x+0+0+F(x)=+由 解得A=，B=F(x)= -取x=1,k=n，則Fn=()n+1-()n+1（2）在Fibonacci數(shù)列中，前后兩項(xiàng)的比值是以黃金數(shù)0.618為極限的。記bn=，則有b0=1 b1=b2= b3=b4= b5= bn=在求數(shù)列的極限之前我們首先來證明以下兩個(gè)命題：（i）引理：Fibonacci數(shù)列的任意相鄰四項(xiàng)滿足 Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n ， n3證明：根據(jù)行列式與線性方程組的關(guān)系，方程組 的解是 x=()n-()n=Fn-1y=()n+1-()n+1=Fn Fn-1、Fn滿足原方程組，于是有把以上方程組的兩邊對(duì)應(yīng)相乘，得=整理得， Fn-

6、12+FnFn-1-Fn2=(-1)n+1 (Fn-Fn-1)(Fn+Fn+1)-FnFn-1=(-1)n Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n 證畢。（ii）數(shù)列存在極限。證明：由引理可知，當(dāng)n=2k+1，F(xiàn)k-2Fk+1-FkFk-1=-10：當(dāng)n=2k，F(xiàn)k-2Fk+1-FkFk-1=10因此分別有， 即數(shù)列遞增，數(shù)列遞減。 顯然， 數(shù)列有界。根據(jù)“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”可知、存在極限。設(shè)=A, =B， 分別對(duì)b2n=及b2n+1=兩邊取極限有A=, 與 B=即有與，則必有A=B0數(shù)列極限的存在性可證。 于是由（ii）我們可求。根據(jù)Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)以及1得, =0.61

7、8三Fibonacci數(shù)列的應(yīng)用價(jià)值科學(xué)家發(fā)現(xiàn)無論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是在自然界中都有很多有趣的現(xiàn)象與Fibonacci數(shù)列有關(guān)，現(xiàn)在舉例如下：例1 楊輝三角對(duì)角線上各數(shù)之和構(gòu)成Fibonacci數(shù)列，即Fn=例2 多米諾牌（可以看作一個(gè)2×1大小的方格）完全覆蓋一個(gè)n×2的棋盤，覆蓋的方案數(shù)等于Fibonacci數(shù)。例3 從蜜蜂的繁殖來看，雄峰只有母親，沒有父親，因?yàn)榉浜螽a(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂，未受精的孵化為雄峰。人們?cè)谧匪菪鄯宓淖嫦葧r(shí)，發(fā)現(xiàn)一只雄峰的第n代祖先的數(shù)目剛好就是Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng)Fn。 例4 鋼琴的13個(gè)半音階的排列完全與雄峰第六代的排列情況類似，說明

8、音調(diào)也與Fibonacci數(shù)列有關(guān)。例5 自然界中一些花朵的花瓣數(shù)目符合于Fibonacci數(shù)列，也就是說在大多數(shù)情況下，一朵花花瓣的數(shù)目都是3，5，8，13，21，34，。例6 如果一根樹枝每年長出一根新枝，而長出的新枝兩年以后，每年也長出一根新枝，那么歷年的樹枝數(shù)，也構(gòu)成一個(gè)Fibonacci數(shù)列。 Fibonacci數(shù)列的重要價(jià)值還在于它能作為一些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，從而使復(fù)雜的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的數(shù)學(xué)問題的解決上。問題一：有一條n級(jí)樓梯，如果每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，問欲登上去，共有幾種走法？分析：由于登上n級(jí)臺(tái)階可以從第n-2直接上來，也可以通過第n-1級(jí)分步上來，這樣登上n級(jí)臺(tái)階

9、的走法不僅與登上n-1級(jí)走法有關(guān)，且也與登上n-2級(jí)臺(tái)階的走法有關(guān)，故這里可以考慮通過二階遞推式來進(jìn)行求解。解：登上第一級(jí)只有一種走法，記a1=1，登上第二級(jí)，有兩種走法，記a2=2，如果要登上第n級(jí)，那么可能是第n-1級(jí)走上來，也可能是第n-2級(jí)跨上兩級(jí)上來的，故有 an=an-1+an-2顯然這是缺了F0項(xiàng)的Fibonacci數(shù)列，它的通項(xiàng)為 Fn=()n+1-()n+1所以要登上第n級(jí)樓梯，共有Fn種不同的走法。問題二：某一種產(chǎn)品的質(zhì)量取決于它的溫度，這個(gè)溫度估計(jì)在1000C1500C之間，怎樣試驗(yàn)才能找到最好的溫度？ 有人從1001C開始做試驗(yàn)，一直做到1499C，共做499次試驗(yàn)，找

10、到了最好溫度，這叫均分法。顯然這是一種很笨的方法。若我們利用Fibonacci數(shù)列的知識(shí)只須做13次實(shí)驗(yàn)就可達(dá)到同樣的效果。 這里我們利用Fibonacci數(shù)列中的極限，因?yàn)樗菬o理數(shù)不好計(jì)算，所以取它的三位不足近似值0.618來代替它。 我們用一張有刻度的紙條上寫上1000C1500C，在1500C的點(diǎn)記為Fn，第一次試驗(yàn)在紙條總長的0.618處即1309C處取第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)記為Fn-1，使得=0.618 第二次試驗(yàn),將紙條對(duì)折，找到與1309C（即Fn-1）相重合的點(diǎn)，即1191C點(diǎn)記為Fn-2，顯然Fn-2=Fn-Fn-1，取Fn-2作第二個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，比較Fn-1和Fn-2，如果Fn-2處比

11、Fn-1處好，就將Fn-1的右邊的紙條剪去（反之，剪去Fn-2左邊的一段）。 第三次試驗(yàn)，將剩下的紙條再對(duì)折，在與1191C（Fn-2）重合的點(diǎn)，即在1118C（Fn-3）點(diǎn)處做，做完后進(jìn)行比較，如仍是1191C處好，則剪去1118C左邊的一段（反之，剪去1191C右邊的一段）第四次試驗(yàn)，將1118C1309C這段紙條再對(duì)折，又可找到與1191C重合的點(diǎn)1236C(Fn-4)，在1236C處做第四次試驗(yàn)。然后再比較、剪裁，依次做下去，直至達(dá)到所要求的精度為止。試驗(yàn)中依次所取的試驗(yàn)點(diǎn)就構(gòu)成了一個(gè)Fibonacci數(shù)列。為什么這里只要做13次試驗(yàn)就可抵用均分法做499次試驗(yàn)?zāi)兀课覀兿旅鎭硖接戇@種試

12、驗(yàn)方法的原理。一方面，在試驗(yàn)中我們是通過用折紙法也就是來回調(diào)試法來縮短試驗(yàn)的范圍，減少試驗(yàn)次數(shù)的。它比均分法優(yōu)化得多。例如，取Fibonacci數(shù)列的F5點(diǎn)為第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，則用對(duì)稱來回調(diào)試法做5次試驗(yàn)。相當(dāng)于均分法做13次試驗(yàn)。一般地，取Fm-1為第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，用對(duì)稱來回調(diào)試法做m-1次試驗(yàn)。相當(dāng)于均分法做Fm-1次試驗(yàn)。m越大，效果越佳，由于0.618而=，因此，從0.618出發(fā)做13次試驗(yàn)相當(dāng)于均分法做600多次試驗(yàn)，這就是它的優(yōu)越性所在。如果我們將區(qū)間0，1均分為n+1份，做n次試驗(yàn)，可以知道最優(yōu)點(diǎn)在長的區(qū)間內(nèi)，叫做精度，記為=。對(duì)折紙法而言，做n次試驗(yàn)最優(yōu)點(diǎn)在長度為(0.618)n-1

13、的區(qū)間內(nèi)。題中做499次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)區(qū)間長度為1，則=由(0.618)n-1= 解得n13另一方面，我們?cè)谠囼?yàn)中每次剪去一段后，最優(yōu)點(diǎn)是不會(huì)丟掉的，這是試驗(yàn)有效的前提保證。設(shè)每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果是試驗(yàn)點(diǎn)的函數(shù)，我們假定它滿足以下定義：設(shè)f(x)是區(qū)間a,b上的一個(gè)函數(shù)，如有一點(diǎn)m屬于a,b使f(x1)f(x2)f(m)，當(dāng)ax1x2m時(shí)；f(m)f(x1)f(x2)，當(dāng)mx1x2b時(shí)，則f(x)叫做區(qū)間a,b上的一個(gè)單峰函數(shù)，點(diǎn)m叫做好點(diǎn)，也就是我們要找的最優(yōu)點(diǎn)。因此我們?cè)谠囼?yàn)中某段區(qū)間a,b上比較兩個(gè)點(diǎn)Fm和Fm-1時(shí)，如果f(Fm)f(Fm-1)，則可丟區(qū)間a,Fm；如果f(Fm)f(Fm-1)，則可丟區(qū)間Fm-1,b；如果f(Fm)=f(Fm-1)，則可丟區(qū)間a,Fm和Fm-1,b。以上這種試驗(yàn)方法是今天科學(xué)領(lǐng)域上所謂的優(yōu)選法，它體現(xiàn)了Fibonacci數(shù)列在現(xiàn)代最優(yōu)化理論中重要的應(yīng)用價(jià)值?？傊?，F(xiàn)ibonac