數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第2講函數(shù)的解析式與表示方法

1、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第2講：函數(shù)的解析式與表示方法要求： 1.由所給函數(shù)表達(dá)式正確求出函數(shù)的定義域；2.掌握求函數(shù)值域的幾種常用方法；3.能根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質(zhì)或它所滿足的一些關(guān)系，求出它的解析式； 4.會(huì)進(jìn)行函數(shù)三種表示方法的互化，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、多樣性.知識(shí)點(diǎn)歸納1.函數(shù)的三種表示法（1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式.（2）列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系.（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系.2.求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法

2、；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式解方程組法；（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等題型講解： 例1（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（4）已知滿足，求解：（1），（或）（2）令（），則，（3）設(shè)，則，（4） ，把中的換成，得 ，得，注：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（4）題用方程組法例1 已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.aB.12a0C.12a0D.a解：由a=0或可得12a0.答案：B例2 在ABC中，BC=2，

3、AB+AC=3，中線AD的長為y，AB的長為x，建立y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域.解：設(shè)ADC，則ADB.根據(jù)余弦定理得12y22ycos（3x）2， 12y22ycos（）x2.由整理得y.其中 解得x.函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?評述：函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時(shí)也要注意變量的實(shí)際意義的要求.例3 若函數(shù)f（x）=的值域?yàn)?，5，求實(shí)數(shù)a、c.解：由y=f（x）=，得x2yax+cy1=0.當(dāng)y=0時(shí)，ax=1，a0.當(dāng)y0時(shí)，xR，=a24y（cy1）0.4cy24ya20.1y5，1、5是方程4cy24ya2=0的兩根.評述：求f（x）=（a12+a220）的值域

4、時(shí)，常利用函數(shù)的定義域非空這一隱含的條件，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，利用0轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)值的不等式.求解時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)要討論.例4設(shè)定義在N上的函數(shù)f（x）滿足f（n）= 試求f（2002）的值.解：20022000，f（2002）=ff（200218）=ff（1984）=f1984+13=f（1997）=1997+13=2010.例5設(shè)f（x）=2x+1，已知f（m）=，求f（m）.解法一：f（m）=，2m+1=. 2m=1.f（m）=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+2m+1=+ 2m+1=（2m）+1=（1）+1=2.解法二：f（x）=2x+12x+1令，則例6某市有小靈通與全

5、球通兩種手機(jī)，小靈通手機(jī)的月租費(fèi)為25元，接聽電話不收費(fèi)，打出電話一次在3 min以內(nèi)收費(fèi)0.2元，超過3 min的部分為每分鐘收費(fèi)0.1元，不足1 min按1 min計(jì)算（以下同）.全球通手機(jī)月租費(fèi)為10元，接聽與打出的費(fèi)用都是每分鐘0.2元.若某人打出與接聽次數(shù)一樣多，每次接聽與打出的時(shí)間在1 min以內(nèi)、1到2 min以內(nèi)、2到3 min以內(nèi)、3到4 min以內(nèi)的次數(shù)之比為4311.問，根據(jù)他的通話次數(shù)應(yīng)該選擇什么樣的手機(jī)才能使費(fèi)用最省？（注：m到m+1 min以內(nèi)指含m min，而不含m+1 min）解：設(shè)小靈通每月的費(fèi)用為y1元，全球通的費(fèi)用為y2元，分別在1 min以內(nèi)、2 min

6、以內(nèi)、3 min以內(nèi)、4 min以內(nèi)的通話次數(shù)為4x、3x、x、x，則y1=25+（4x+3x+x+x）×0.2+0.1x=25+1.9x，y2=10+2（0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.令y1y2，即25+1.9x10+6.8x，解得x3.06.總次數(shù)為（4+3+1+1）×2×3.06=55.1.故當(dāng)他每月的通話次數(shù)小于等于55次時(shí)，應(yīng)選擇全球通，大于55次時(shí)應(yīng)選擇小靈通.例7 某市收水費(fèi)的方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+耗損費(fèi)，若每月用水量不超過最低限量am3時(shí)，只付基本費(fèi)8元及每戶每月的定額耗損費(fèi)c元，若用

7、水量超過am3時(shí)，除了付同上的基本費(fèi)和耗損費(fèi)之外，超過部分每m3付b元的超額費(fèi)，已知耗損費(fèi)不超過5元。該市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：月份用水量水費(fèi)一月9m39元二月15m319元三月22m333元根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)求a，b，c解：設(shè)每月用水量為xm3,支付費(fèi)用為y元，由收費(fèi)方法知：依題意：0<c£5, 8+c£13所以該用戶第二、三月份的用水量均大于am3,將x=15,x=22代入上面的第二個(gè)式子，得：， b=2,2a=c+19若該用戶一月份的用水量大于am3,則9=8+2(9-a)+c,2a=c+17與2a=c+19矛盾， a

8、79;9將y=9代入y=8+c得c=1, a=10, b=2, c=1例8已知扇形的周長為10，求扇形半徑r與面積S的函數(shù)關(guān)系式及此函數(shù)的定義域、值域.解：設(shè)扇形的弧長為l，則l=102r，S=lr=（5r）r=r2+5r.由得r5.S=r2+5r的定義域?yàn)椋ǎ?）.又S=r2+5r=（r）2+且r=（，），當(dāng)r=時(shí)，S最大=.又S52+5×5=0，S=r2+5r，r（，5）的值域?yàn)椋?，.小結(jié)：1求函數(shù)的解析式主要有待定系數(shù)法和換元法。如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可以用待定系數(shù)法求，如函數(shù)為二次函數(shù)，可設(shè)為y=ax2+bx+c(a0)。2根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)表達(dá)式，是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決

9、實(shí)際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達(dá)式后，還要注意函數(shù)定義域常受到實(shí)際問題本身的限制。學(xué)生練習(xí)： 題組一：1.若f（sinx）=2cos2x，則f（cosx）等于A.2sin2x B.2+sin2xC.2cos2xD.2+cos2x解析：f（sinx）=2（12sin2x）=1+2sin2x，f（cosx）=f（sinx）=1+2sin2（x）=1+2cos2x=2+cos2x.答案：D2.已知f（）=，則f（x）的解析式可取為A. B.C.D.解析：令=t，則x=，f（t）=.f（x）=.答案：C3.函數(shù)f（x）=|x1|的圖象是解析：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)y= 答案：B4.

10、函數(shù)y=的定義域?yàn)開，值域?yàn)開.答案：1，2 ，0，5.函數(shù)y=的值域是A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）解法一：y=1.1+x21，02.1y1.解法二：由y=，得x2=.x20，0，解得1y1.解法三：令x=tan（），則y=cos2.2，1cos21，即1y1.答案：B6.如果ff（x）=2x1，則一次函數(shù)f（x）=_.解析：設(shè)f（x）=kx+b，則ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.由于該函數(shù)與y=2x1是同一個(gè)函數(shù)，k2=2且kb+b=1.k=±.當(dāng)k=時(shí)，b=1；當(dāng)k=時(shí)，b=1+.答案：f（x）=x+1或f（x）=x+1

11、+7.已知f（x24）=lg，則f（x）的定義域?yàn)開.解析：設(shè)x24=t，則t4，x2=4+t.f（t）=lg.f（x）=lg（x4）.由得x4.答案：（4，+）8.用長為l的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域. 解：AB=2x，則=x，AD=.y=2x·+=（+2）x2+lx.由0，解得0x.9.已知函數(shù)f（x）=則f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.解析：f（lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2，f（x1）=當(dāng)x3時(shí)，x（x3）102x5，故3x5.當(dāng)x3時(shí)，2

12、x10x5，故5x3.總之x（5，5）.答案：2 x|5x510.定義“符號(hào)函數(shù)”f（x）=sgnx=則不等式x+2（x2）sgnx的解集是_.解析：分類討論.答案：（，+）題組二：1設(shè)f(2x+1)=x,f-1(x)是f(x)的反函數(shù)，則f-1(2)= 。2已知函數(shù)f(x)=,則ff(5/2)= 。3在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量y噸與單價(jià)x元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，如果購買1000噸，每噸價(jià)格為800元，購買2000噸，每噸為700元，一客戶購買400噸，單價(jià)應(yīng)該是()A.820元 B.840元 C.860元 D.880元4若函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，則方程f(x)=c(c為常數(shù)）A.有且

13、只有一個(gè)實(shí)根 B.至少有一個(gè)實(shí)根 C.至多只有一個(gè)實(shí)根 D.沒有實(shí)數(shù)根5已知f(x-1/x)=x2+1/x2,則f(x)= 6函數(shù)f(x)是一個(gè)偶函數(shù)，g(x)是一個(gè)奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=1/(x-1),則f(x)= .7設(shè)函數(shù)f(x)=f(1/x)lgx+1,則f(10)的值是 8已知f(x)=log2(x+1),當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)(x,y)在y=f(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(x/2,y/3)在y=g(x)的圖象上運(yùn)動(dòng)，求y=g(x)的解析式。9若函數(shù)f(x)=(ax+b)/(cx+d)與g(x)=(4x+3)/(2-x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則a:b:c:d= .10從盛滿20升純酒精的容器里倒