江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試卷

1、2017學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研高二數(shù)學(xué)理科試題注意事項(xiàng)1本試卷共4頁(yè)，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分。本試卷滿分160分，考試時(shí)間120分鐘。2答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用毫米黑色簽字筆填寫在答題卡指定位置。3答題時(shí)，必須用毫米黑色簽字筆填寫在試卷卡的指定位置，在其它位置作答一律無效。4如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并加黑加粗，描寫清楚。5. 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損。一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液及可擦洗的圓珠筆。參考公式：（1）若，則；（2） 球的體積為，其中為球的半徑.一填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答

2、題卡相應(yīng)位置上.1. 若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則的實(shí)部為 2. 用反證法證明“若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè) 3. 已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模為 4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)左端應(yīng)在 的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為 5. 若則的值為 6. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值為 7. 已知向量，若則實(shí)數(shù)的值為 8. 從2，4，8中任取2個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成 個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).（用數(shù)字作答） 9. 某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú) 立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，此時(shí)若則 10. 已知?jiǎng)t 11. 袋中有2個(gè)白球，1個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同

3、.現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取1個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)2次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了次球，則 12. 在平面幾何中有如下結(jié)論：若正方形的內(nèi)切圓面積為外接圓面積為則，推廣到立體幾何中可以得到類似結(jié)論：若正方體的內(nèi)切球體積為外接球體積為，則 13. 如圖，在正三棱柱中，分別是的中點(diǎn).設(shè)是線段上的（包括兩個(gè)端點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與 所成角的余弦值為，則線段的長(zhǎng)為 14. 在一個(gè)如圖所示的6個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一塊區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊區(qū)域中種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則不同的栽種方案的總數(shù)為 二解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說

4、明證明過程或演算步驟.15. (本小題滿分14分）（1） 已知矩陣的一個(gè)特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量，求矩陣及它的另一個(gè)特征值.（2） 在極坐標(biāo)系中，設(shè)P為曲線C：上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：的最小距離.16.（本小題滿分14分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)（用數(shù)字作答）（1）全體排成一行，其中男生甲不在最左邊；（2）全體排成一行，其中4名女生必須排在一起；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰.17.（本小題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列中，且（1）分別計(jì)算出的值，然后猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.18.（本小題滿分16分）如圖，在直三棱柱中，分

5、別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（包括兩個(gè)端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：；求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍. 19.（本小題滿分16分）為了讓觀賞游玩更便捷舒適，常州恐龍園推出了代步工具租用服務(wù).已知有腳踏自行車與電動(dòng)自行車兩種車型，采用分段計(jì)費(fèi)的方式租用.型車每分鐘收費(fèi)元（不足分鐘的部分按分鐘計(jì)算），型車每分鐘收費(fèi)元（不足分鐘的部分按分鐘計(jì)算），現(xiàn)有甲乙丙丁四人，分別相互獨(dú)立地到租車點(diǎn)租車騎行（各租一車一次），設(shè)甲乙丙丁不超過分鐘還車的概率分別為，并且四個(gè)人每人租車都不會(huì)超過分鐘，甲乙丙均租用型車，丁租用型車（1）求甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為

6、25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的費(fèi)用之和等于丁所付的費(fèi)用的概率；（3）設(shè)甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望20.（本小題滿分16分）已知（1）求及的值；（2）求證：（），并求的值.（3）求的值. 高二期末數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（理科） 一填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1 3； 2； 3； 4； 56； 6； 7；8216； 90.7； 108； 11； 12； 13；14588.二解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.15.（1）解：由得：， 3分 矩

7、陣的特征多項(xiàng)式為 5分 ，令，得，解得或所以矩陣的另一個(gè)特征值為 7分 （2）解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系因?yàn)?，所以?將其化為普通方程，得 9分將曲線C：化為普通方程，得 11分所以圓心到直線的距離 13分 所以到直線的最小距離為 14分16.解：（1）先排最左邊，除去甲外有種，余下的6個(gè)位置全排有種，則符合條件的排法共有種. 3分（2）將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，再與其他元素進(jìn)行全排列，共有576種； 8分（3）先排好女生，然后將男生插入其中的五個(gè)空位，共有種；13分答：（1）全體排在一行，其中男生甲不在最左邊的方法總數(shù)為4320種；（2）全體排成一行，其中4名女生必須

8、排在一起的方法總數(shù)為576種；（3）全體排成一行，3名男生兩兩不相鄰的方法總數(shù)為1440種；14分17.解：（1） 令得化簡(jiǎn)得，解得或. 1分令得化簡(jiǎn)得，解得或 2分令得化簡(jiǎn)得，解得或 3分猜想（*） 5分（1） 當(dāng)時(shí)，（*）式成立； 6分假設(shè)時(shí)（*）式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，9分化簡(jiǎn)得所以當(dāng)時(shí)，（*）式也成立.13分綜上：由得當(dāng)時(shí)， 14分 18. 解：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，則因?yàn)樗约?分因?yàn)樵O(shè)平面的一個(gè)法向量為由可得，取，則所以5分又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，則.因?yàn)闉殇J角，所以所以平

9、面與平面所成銳二面角的余弦值為8分（2） 因?yàn)樵诰€段上，所以設(shè)（），解得，所以. 9分因?yàn)樵O(shè)平面的一個(gè)法向量為由可得，取則所以11分設(shè)直線與平面所成的角為則12分因?yàn)樗栽O(shè)則所以，設(shè)則，設(shè)可求得的取值范圍為，進(jìn)一步可求得的取值范圍為所以直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為16分19.解：（1）記“甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元”為事件，即4人均不超過30分鐘，則.答：求甲乙丙丁四人所付的費(fèi)用之和為25元的概率是···············

10、····3分（2）由題意，甲乙丙丁在分鐘以上且不超過分鐘還車的概率分別為，設(shè)“甲乙丙三人所付費(fèi)用之和等于丁所付費(fèi)用”為事件，則答：甲乙丙三人所付的費(fèi)用之和等于丁所付的費(fèi)用的概率是···················8分（3）若“4人均不超過30分鐘”此時(shí)隨機(jī)變量的值為25，即為事件，由（1）所以.記“4人中僅有一人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分

11、鐘的這一人是甲乙丙中的一個(gè)”和“超過30分鐘的這一人是丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對(duì)應(yīng)的的值為30，此時(shí)；ii.事件對(duì)應(yīng)的的值為35，此時(shí).記“4人中僅有兩人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的兩個(gè)”和“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的一個(gè)和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對(duì)應(yīng)的的值為35，此時(shí)；i.事件對(duì)應(yīng)的的值為40，此時(shí)記“4人中僅有三人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的三人是甲乙丙”和“超過30分鐘的三人是甲乙丙中的兩個(gè)和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.i.事件對(duì)應(yīng)的的值為40，此時(shí)；i.事件對(duì)應(yīng)的

12、的值為45，此時(shí).記“4人均超過30分鐘”為事件，則隨機(jī)變量的值為50，此時(shí)；綜上：隨機(jī)變量的所有取值為25，30，35，40，45，50，且； ···············10分； ···············11分； ······&

13、#183;········12分； ···············14分所以甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和的分別為253035404550所以.答：甲乙丙丁四人所付費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為 ···············16分（注

14、：不作答扣1分，不多扣?。?0.解：（1）當(dāng)時(shí)，（*）在（*）中，令得 ···········1分在（*）中，令得，所以······3分（2）證明：因?yàn)椋?······6分（注：證明共3分，其他證法酌情給分?。┯啥?xiàng)式定理可得 ······7分所以因?yàn)?，所?······9分（3）法一：由（2）知 ·····12分因?yàn)?，所?+ ·····15