解答題重難點題型(七)-第22題類比、拓展探究題

1、解答題重難點題型(七)第22題類比、拓展探究題(2016·河南T22·10分)(1)發(fā)現如圖1，點A為線段BC外一動點，且BCa，ABb.填空：當點A位于_時，線段AC的長取得最大值，且最大值為_(用含a，b的式子表示)(2)應用點A為線段BC外一動點，且BC3，AB1.如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；直接寫出線段BE長的最大值(3)拓展如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(5，0)，點P為線段AB外一動點，且PA2，PMPB，BPM90°.

2、請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標【思路點撥】(1)當點A在線段CB延長線上時，AC長度最大；最大值是AB與BC長度之和；(2)圖中與BE相等的線段是CD.運用三角形全等的判定方法即可證明；因為BECD，所以求BE的最大值即求CD的最大值，根據(1)中結論可知CD的最大值為BD與CB的長度之和；(3)通過(2)的學習可知，如圖4，需要構造BPNMPA，則BNAM，由(1)得當點N在BA的延長線上時，NB有最大值(如圖5)，易得AN2，所以AMNB32.過點P作PEx軸于點E，PEEA，從所以P(2，)解：(1)CB的延長線上ab2分(2)CDBE，理由如下：ABD與ACE是等邊三角形

3、，ADAB，ACAE，BADCAE60°.BADBACCAEBAC，即CADEAB.5分在CAD與EAB中，CADEAB(SAS)CDBE.6分BE長的最大值是4.8分(3)AM的最大值32，點P的坐標為(2，).10分【解法提示】如圖4，連接BM，將APM繞著點P順時針旋轉90°得到PBN，連接AN，則APN是等腰直角三角形，PNPA2，BNAM.A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(5，0)，OA2，OB5.AB3.線段AM長的最大值線段BN長的最大值當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，最大值ABAN.ANAP2，最大值為23.如圖5，過P作PEx軸于點E，AP

4、E是等腰直角三角形，PEAE.OEOAAE2.P(2，)(2015·河南T22·10分)如圖1，在RtABC中，B90°，BC2AB8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE.將EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為.(1)問題發(fā)現當0°時，；當180°時，；(2)拓展探究試判斷：當0°360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明；(3)問題解決當EDC旋轉至A，D，E三點共線時，直接寫出線段BD的長【思路點撥】(1)根據題意可知DE是ABC的中位線，根據中位線的性質和勾股定理求得AE的長度即可求解；根據旋轉1

5、80°，畫出圖形，結合，分別得到AC，CE，BC和CD的長即可求解；(2)由(1)可知，結合旋轉的性質得到任然成立，運用兩邊對應成比例，夾角相等求得，ACEBCD，利用相似三角形的性質，求得的值(3)當EDC旋轉至A，D，E三點共線時分兩種情況討論，即邊DE在BC上方和在BC下方，再針對每一種情況分類討論計算即可【自主解答】(2)證明：在圖1中，DE是ABC的中位線，DEAB，EDCB90°.EDC在旋轉過程中形狀大小不變，仍然成立在圖2中，又ACEBCD，ACEBCD.在RtABC中，AC4，.的大小不變(3)4或.提示：如圖3，當EDC在BC上方，且A，D，E三點共線時

6、，四邊形ABCD為矩形，BDAC4；如圖4，當EDC在BC下方，且A，E，D三點共線時，ADC為直角三角形，由勾股定理可求得AD8，AEADDE6，根據可求得BD.1(2017·河南T22·10分)如圖1，在RtABC中，A90°，ABAC，點D，E分別在邊AB，AC上，ADAE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(1)觀察猜想圖1中，線段PM與PN的數量關系是PMPN，位置關系是PMPN；(2)探究證明把ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷PMN的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸把ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD

7、4，AB10，請直接寫出PMN面積的最大值解：(2)等腰直角三角形，理由如下：由旋轉可得BADCAE.又ABAC，ADAE，BADCAE(SAS)，BDCE，ABDACE.點P，M分別是DC，DE的中點，PM是DCE的中位線PMCE且PMCE.同理可證PNBD且PNBD.PMPN，MPDECD，PNCDBC.MPDECDACDACEACDABD.DPNPNCPCNDBCPCN.MPNMPDDPNACDABDDBCPCNABCACB90°.即PMN為等腰直角三角形(3).提示：由(2)知，PMN是等腰直角三角形，PMPNBD，PM最大時，PMN面積最大，點D在BA的延長線上，BDABA

8、D14，PM7，SPMN最大PM2×72.2(2017·河南模擬預測二)(1)發(fā)現如圖1，直線l1l2，l1和l2的距離為d，點P在l1上，點Q在l2上，連接PQ，填空：PQ長度的最小值為d；(2)應用如圖2，在四邊形ABCD中，DCAB，ADAB，DC2，AD4，AB6，點M是線段AD上，AM3MD，點N在直線BC上，連接MN，求MN長度的最小值；(3)拓展如圖3，在四邊形ABCD中，DCAB，ADAB，DC2，AD4，AB6，點M在線段AD上任意一點，連接MC并延長到點E，使MCCE，以MB和ME為邊作平行四邊形MBNE，請直接寫出線段MN長度的最小值解：(2)如圖AD

9、4，AM3DM，AM3，DM1.延長AD，BC交于點E，當MNBC時，MN的值最小，DCAB，EDCEAB，.ED2.EDDC2.EDC是等腰直角三角形E45°.EMN是等腰直角三角形，EM3，MN.(3)10.提示：當MNAD時，MN的長最小，MNDCAB，DCMCMNMNBNBH，設MN與BC相交于點G，MEBN，MCCE，.G是BC上一定點作NHAB，交AB的延長線于H，DH90°，RtMDCRtNHB，即.BH2DC4，AHABBH6410，當MNAD時，MN的長最小，即為10.則線段MN長度的最小值為10.3(2017·南陽新野縣二模)(1)問題發(fā)現如圖

10、1，ABC和ADE均為等邊三角形，點D在邊BC上，連接CE.請?zhí)羁眨篈CE的度數為60°；線段AC，CD，CE之間的數量關系為ACCDCE；(2)拓展探究如圖2，ABC和ADE均為等腰直角三角形，BACDAE90°，點D在邊BC上，連接CE.請判斷ACE的度數及線段AC，CD，CE之間的數量關系，并說明理由；(3)解決問題如圖3，在四邊形ABCD中，BADBCD90°，ABAD2，CD1，AC與BD交于點E，請直接寫出線段AC的長度圖1圖2圖3解：(1)ABC和ADE均為等邊三角形，ABAC，ADAE，BACDAEB60°.BACDACDAEDAC，即B

11、ADCAE.BADCAE(SAS)ACEB60°.線段AC，CD，CE之間的數量關系為：ACCDCE.理由是：由得：BADCAE，BDCE.ACBCBDCD，ACCDCE.(2)ACE45°，ACCDCE，理由如下：ABC和ADE均為等腰直角三角形，且BACDAE90°，ABAC，ADAE，BACDACDAEDAC，即BADCAE.ABDACE(SAS)BDCE，ACEB45°.BCCDBD，BCCDCE.在等腰直角三角形ABC中，BCAC，ACCDCE.(3).提示：在CB的延長線上截取BFDC，易證ABFADC.AFAC，FABCAD.FACFABB

12、ACDACBAC90°.ACF是等腰直角三角形，由(2)得ACBCCD.AC.4(2017·周口市商水縣二模)(1)探究發(fā)現下面是一道例題及其解答過程，請補充完整：如圖1，在等邊ABC內部，有一點P，若APB150°.求證：AP2BP2CP2.證明：將APC繞A點逆時針旋轉60°，得到APB，連接PP，則APP為等邊三角形APP60°，PAPP，PCPBAPB150°，BPP90°，PP2BP2PB2，即PA2PB2PC2.(2)類比延伸如圖2，在等腰三角形ABC中，BAC90°，內部有一點P，若APB135

13、76;，試判斷線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明；(3)聯(lián)想拓展如圖3，在ABC中，BAC120°，ABAC，點P在直線AB上方，且APB60°，滿足(kPA)2PB2PC2，請直接寫出k的值解：(2)關系式為：2PA2PB2PC2.證明：將APC繞A點逆時針旋轉90°，得到APB，連接PP，則APP為等腰直角三角形APP45°，PPPA，PCPB，APB135°，BPP90°.PP2BP2PB2.2PA2PB2PC2.(3)k.提示：將APC繞A點順時針旋轉120°得到APB，連接PP，過點A作AHPP，可得APP

14、30°，PPPA，PCPB.APB60°，BPP90°.PP2BP2PB2.(PA)2PB2PC2.(kPA)2PB2PC2，k.5(2017·濮陽模擬)已知，如圖1，ABC，AED是兩個全等的等腰直角三角形(其頂點B，E重合)，BACAED90°，O為BC的中點，F為AD的中點，連接OF.(1)問題發(fā)現如圖1，線段OF與EC的數量關系為OFEC；將AED繞點A逆時針旋轉45°，如圖2，OF與EC的數量關系為OFEC；(2)類比延伸將圖1中AED繞點A逆時針旋轉到如圖3所示的位置，請判斷線段OF與EC的數量關系，并給出證明；(3)拓展

15、探究將圖1中AED繞點A逆時針旋轉，旋轉角為，0°90°，AD，AED在旋轉過程中，存在ACD為直角三角形，請直接寫出線段CD的長解：(2)OFEC.證明：在等腰直角ADE中，F為AD的中點，AFADAE.在等腰直角ABC中，O為BC的中點，連接AO，AOAC，BAOCAO45°.DAE45°，DAECAO.DAEEAOCAOEAO，即DAOCAE.AEAC，AFAO，.AFOAEC，OFEC.(3)或1.提示：ABC和AED是兩個全等的等腰直角三角形，ADBC，EDAEABAC1.ACD為直角三角形時，分兩種情況：當AD與AB重合時，如圖4，連接CD，

16、ACD為直角三角形，ADAC，即將ADE逆時針旋轉45°.AD，AC1，由勾股定理可得CD；當AE與AC重合時，如圖5，ACD為直角三角形，ACCD，即將ADE逆時針旋轉90°，此時CDAC1.綜上：CD的長為或1.6(2013·河南T22·10分)如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C90°，BE30°.(1)操作發(fā)現如圖2，固定ABC，使DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是DEAC；設BDC的面積為S1，AEC的面積為S2.則S1與S2的數量關系是S1S2；(2)猜

17、想論證當DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想(1)中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想；(3)拓展探究已知ABC60°，點D是其角平分線上一點，BDCD4，DEAB交BC于點E(如圖4)若在射線BA上存在點F，使SDCFSBDE，請直接寫出相應的BF的長解：(2)根據已知DCE90°，作ANEC交EC延長線于點N，則ANCDCN90°.而ACB90°，ACN90°NCMDCM，ACDC，MDBC于點M，則DMC90°.在ANC和DMC中，則ANCDMC(AAS)

18、，ANDM.而CEBC，BDC和AEC等底等高，BDC和AEC面積相等，則S1S2的數量關系仍然成立(3)BF長度是或.圖5提示：(3)如圖5，過點D作DF1BE，易求四邊形BEDF1是菱形，BEDF1，且BE，DF1上的高相等，此時SDCF1SBDE.過點D作DF2BD，ABC60°，F1DBE，F2F1DABC60°.BF1DF1，F1BDABC30°，F2DB90°，F1DF2ABC60°.DF1F2是等邊三角形DF1DF2.BDCD，ABC60°，點D是角平分線上一點，DBCDCB×60°30°.

19、CDH1180°BCD180°30°150°.CDF2360°150°60°150°.CDF1CDF2.在CDF和CDF2中，CDF1CDF2(SAS)點F2也是所求的點ABC60°，點D是角平分線上一點，DEAB，DBCBDEABD×60°30°.又BD4，BE×4÷cos30°2÷.BF1，BF2BF1F1F2.故BF的長為或.7(2017·南陽唐河縣一模)(1)問題發(fā)現：如圖1，在RtABC中，ABAC2，BAC90&#

20、176;，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數量關系為BEAF；(2)拓展探究：在(1)的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決：當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時，直接寫出線段AF的長解：(2)無變化理由如下：在RtABC中，ABAC2，ABCACB45°，sinABC.在正方形CDEF中，FECFED45°，在RtCEF中，sinFEC，.FCEACB45°，FCEACEACBACE.FCAECB.ACFB

21、CE.BEAF.線段BE與AF的數量關系無變化(3)1或1.提示：分兩種情況討論：當點E在線段BF上時，如圖2由(1)知，CFEFCD.在RtBCF中，CF，BC2，根據勾股定理得BF，BEBFEF.由(2)知，BEAF，AF1.當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，ABC，CFE為等腰直角三角形易證：ACFBCE.BEAF.由(1)知，CFEFCD.在RtBCF中，CF，BC2，根據勾股定理得，BF，BEBFEF.由(2)知，BEAF，AF1.即當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為1或1.8(2014·河南T22·10分)(1)問題發(fā)現如圖1，AC

22、B和DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE.填空：AEB的度數為60°；線段AD，BE之間的數量關系為ADBE；(2)拓展探究如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90°，點A，D，E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并說明理由；(3)解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD，若點P滿足PD1，且BPD90°，請直接寫出點A到BP的距離解：(2)AEB90°，AE2CMBE.理由：ACB和CDE均為等腰直角三角形，ACBDCE90°，AC

23、BC，CDCE，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE.ACDBCE(SAS)ADBE，BECADC135°.AEBBECCED135°45°90°.在等腰直角三形DCE中，CM為斜邊DE上的高，CMDMME，DE2CM.AEDEAD2CMBE.(3)或.提示：PD1，BPD90°.BP是以點D為圓心，以1為半徑的D的切線，點P為切點第一種情況：如圖4，過點A作AP的垂線，交BP于點P，可證APDAPB，PDPB1.CD，BD2，BP，AMPP(PBBP).第二種情況，如圖5，可得AMPP(PBBP).9(2017·江西)我們定義：如圖1，在ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(0°<<180°)得到AB，把AC繞點A逆時針旋轉得到AC，連接BC.當180°時，我們稱ABC是ABC的“旋補三角形”，ABC邊BC上的中線AD叫做ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”特例感知：(1)在圖2，圖3中，A