實(shí)驗(yàn)一采樣率對(duì)信頻譜的影響

1、實(shí)驗(yàn)一 米樣率對(duì)信號(hào)頻譜的影響1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1) 理解采樣定理；(2) 掌握采樣頻率確定方法；(3) 理解頻譜的概念；(4) 理解三種頻率之間的關(guān)系2實(shí)驗(yàn)原理理想米樣過(guò)程是連續(xù)信號(hào)Xa(t)與沖激函數(shù)串M (t)的乘積的過(guò)程M(t)(t kTs)k(7-13)Xa(t)Xa(t)M(t)(7-14)式中Ts為采樣間隔。因此，理想采樣過(guò)程可以看作是脈沖調(diào)制過(guò)程，調(diào)制信號(hào)是連續(xù)信號(hào)Xa(t),載波信號(hào)是沖激函數(shù)串M(t)。顯然?a(t)Xa(t) (t kTs)Xa(kTs) (t kTs )(7-15)kk所以，Xa(t)實(shí)際上是Xa(t)在離散時(shí)間kTs 上的取值的集合，即Xa(kTs)。對(duì)信

2、號(hào)采樣我們最關(guān)心的問(wèn)題是，信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣后是否會(huì)丟失信息，或者說(shuō)能否不失真地恢復(fù)原來(lái)的模擬信號(hào)。下面從頻域?qū)绨l(fā)，根據(jù)理想采樣信號(hào)的頻譜)？a(j )和原來(lái)模擬信號(hào)的頻譜X( j )之間的關(guān)系，來(lái)討論采樣不失真的條件刃a(j ) 丁 X(j kj s)(7-16)Ts k上式表明，一個(gè)連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣后，其頻譜將以采樣頻率2討Ts為間隔周期延拓，其頻譜的幅度與原模擬信號(hào)頻譜的幅度相差一個(gè)常數(shù)因子1/Tso只要各延拓分量與原頻譜分量之間不發(fā)生頻率上的交疊，則可以完全恢復(fù)原來(lái)的模擬信號(hào)。根據(jù)式(7-16)可知，要保證各延拓分量與原頻譜分量之間不發(fā)生頻率上的交疊，則必須滿足Qs> 2Q。這就是

3、奈奎斯特采樣定理：要想連續(xù)信號(hào)采樣后能夠不失真地還原原信號(hào)，采樣頻率必須大于或等于被采樣信號(hào)最高 頻率的兩倍Ths 2 h，或者 fs 2 fh，或者 Ts-(7-17)2即對(duì)于最高頻率的信號(hào)一個(gè)周期內(nèi)至少要采樣兩點(diǎn)，式中Qh、fs、Th分別為被采樣模擬信號(hào)的最高角頻率、頻率和最小周期。在對(duì)正弦信號(hào)采樣時(shí)，采樣頻率要大于這一最低的采樣頻率，或小于這一最大的采樣間隔才能不失真地恢復(fù)信號(hào)。對(duì)正弦信號(hào)采樣時(shí)，一般要求在一個(gè)周期至少采樣3個(gè)點(diǎn)，即采樣頻率 fs3fh。3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(1) 采樣率的確定在本實(shí)驗(yàn)中要用到正弦信號(hào)、余弦信號(hào)和矩形波：正弦信號(hào)：sin(20 n);余弦信號(hào)：cos(20 n)；

4、矩形波：頻率為 50Hz 、占空比為 1 的矩形波(2) 計(jì)算采樣后所得序列的頻譜 正弦信號(hào)在采樣率為 15Hz 、20Hz 和 50Hz 時(shí)采樣所得序列的頻譜； 余弦信號(hào)在采樣率為 15Hz 、20Hz 和 50Hz 時(shí)采樣所得序列的頻譜； 矩形波在采樣率為 100Hz、400Hz 和 800Hz 時(shí)采樣所得序列的頻譜；(3) 分析不同信號(hào)在不同采樣率下頻譜的特點(diǎn)4實(shí)驗(yàn)步驟( 1)復(fù)習(xí)并理解時(shí)域采樣定理；(2) 編寫 Matlab 程序計(jì)算不同采樣率下信號(hào)的頻譜；( 3)調(diào)試程序，排除程序中的錯(cuò)誤；(4) 分析程序運(yùn)行結(jié)果，檢驗(yàn)是否與理論一致。5實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求( 1)闡明實(shí)驗(yàn)的目的、原理和內(nèi)容

5、；(2)打印主要程序并粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中；( 3)打印實(shí)驗(yàn)結(jié)果并粘貼在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中；(4)針對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果加以分析和總結(jié)。6思考題( 1)對(duì)相同頻率的正弦和余弦信號(hào)，均采用信號(hào)頻率2 倍的采樣率采樣時(shí)所得序列的頻譜有何不同？為什么？(2)50Hz 的矩形波的采樣率為何不能為100Hz ？(3) 對(duì)矩形波，要完全不失真采樣率應(yīng)為多少？一般采樣率為信號(hào)頻率的多少倍時(shí)就可近似認(rèn)為沒(méi)有失真？例3-5-1試求信號(hào)x(t) = sin(100 n)用采樣率為80Hz、100Hz、101Hz、150Hz時(shí)采樣所得序列的頻譜，要求頻率分辨率 為 0.5Hz。解： 頻率分辨率為 0.5Hz ，則頻域采樣點(diǎn)數(shù)分別為 16

6、0、 200、 202 和 300。程序如下：deltf=0.5;% 頻率分辨率Fs1=80;Fs2=100;Fs3=101;Fs4=150;% 采樣率N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;% 采樣點(diǎn)數(shù) n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;% 采樣點(diǎn)x1=sin(100*pi*n1/Fs1);x2=sin(100*pi*n2/Fs2);% 采樣 x3=sin(100*pi*n3/Fs3);x4=sin(100*pi*n4/Fs4);% 采樣y1=fft(x1);y2=fft(x2);y

7、3=fft(x3);y4=fft(x4);% 快速傅里葉變換y仁 y1.*conj(y1)/N1A2;y2=y2.*conj(y2)/N2A2;%計(jì)算功率y3=y3.*conj(y3)/N3A2;y4=y4.*conj(y4)/N4A2;% 計(jì)算功率 subplot(2,2,1);plot(0:49)/Fs1,x1(1:50);xlabel('時(shí)間 /s');ylabel('幅度');axis(0 0.6 -1 1.5);text(0.02,1.2,' 采樣率為 80Hz 的時(shí)域波形 ');subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N

8、1,y1);xlabel('頻率 /Hz');ylabel('幅度(功率)');text(10,0.32,'采樣率為 80Hz 的頻譜');%下面顯示波形的程序省略程序運(yùn)行結(jié)果如圖3-15所示，信號(hào)實(shí)際頻率為50Hz，現(xiàn)分析如下： 在采樣率為 80Hz 時(shí)，頻譜中有兩個(gè)沖激，分別對(duì)應(yīng) 30Hz 和 50Hz， 50Hz 的沖激與理論一致， 30Hz 的沖激為 采樣率(80Hz)與信號(hào)實(shí)際頻率(50Hz)之差，即30Hz沖激其實(shí)是下一周期負(fù)頻率對(duì)應(yīng)的沖激，表明頻譜前后周期之間岀現(xiàn)了重疊，即混疊； 采樣率為 100Hz 時(shí)，時(shí)域波形和頻譜幅度均極小，

9、近似為0，時(shí)域波形雜亂無(wú)章，頻譜也無(wú)規(guī)律可言，原因在于，采樣率剛好為頻率的 2 倍，所以采樣點(diǎn)剛好落在了幅值為 0 處，故幾乎無(wú)信號(hào)； 采樣率為 101Hz 時(shí)，時(shí)域波形幅度由 0 逐漸遞增直至達(dá)到1，頻譜中有兩個(gè)沖激，一個(gè)對(duì)應(yīng)50Hz ，一個(gè)對(duì)應(yīng)51Hz( 兩個(gè)沖激距離很近 )，從時(shí)域來(lái)看出現(xiàn)了失真，從頻域來(lái)看，基本沒(méi)有混疊； 采樣率為 150Hz 時(shí)，時(shí)域波形與理論波形變化規(guī)律一致，但幅度沒(méi)達(dá)到最大理論值1 ，頻譜中有兩個(gè)沖激，一個(gè)對(duì)應(yīng)50Hz，個(gè)對(duì)應(yīng)100Hz，兩者關(guān)于中心點(diǎn)N/2對(duì)稱，根據(jù)前面的分析可知，100Hz的沖激其實(shí)對(duì)應(yīng)于下一周期的負(fù)頻率的沖激，由于數(shù)字頻率一般取nn對(duì)應(yīng)于N/

10、2N/2)，故100Hz的沖激沒(méi)有影響。因此，對(duì)于正弦信號(hào)，采樣率低于2fh時(shí)將岀現(xiàn)頻譜混疊。圖3-15 x(t) = sin(100n)不同采樣率的時(shí)域波形和頻譜例 3-5-2 試求頻率為 50Hz 的矩形波用采樣率為400Hz、500Hz、600Hz、1000Hz 時(shí)采樣所得序列的頻譜，要求頻率分辨率為 0.5Hz。解：矩形波是由基頻的奇次諧波構(gòu)成，最高頻率為因此無(wú)論如何都將產(chǎn)生頻譜的混疊。但是隨著頻率的升高，其 幅度衰減很快，因此，只要采樣頻率達(dá)到一定程度，就認(rèn)為沒(méi)有失真。在實(shí)際處理一些波形時(shí)也常采用這一近似。deltf=0.5;% 頻率分辨率Fs1=400;Fs2=500;Fs3=60

11、0;Fs4=1000;% 采樣率 N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;% 采樣點(diǎn)數(shù) n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;% 采樣點(diǎn) x1=square(100*pi*n1/Fs1);x2=square(100*pi*n2/Fs2);% 采樣 x3=square(100*pi*n3/Fs3);x4=square(100*pi*n4/Fs4);% 采樣 y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);% 快速傅里葉變換 y1=abs(y1);y2=

12、abs(y2);% 計(jì)算絕對(duì)值 y3=abs(y3);y4=abs(y4);% 計(jì)算絕對(duì)值 figure(1)subplot(2,2,1);stem(0:399)/Fs1,x1(1:400);xlabel('時(shí)間 /s');ylabel('幅度');axis(0 0.1 -1.5 1.5);text(0,1.25,' 采樣率為 400Hz 的時(shí)域波形 ');subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度(絕對(duì)值)');text(8,550,&

13、#39;采樣率為 400Hz 的頻譜'); subplot(2,2,3);stem(0:499)/Fs2,x2(1:500);xlabel(' 時(shí)間 /s');ylabel(' 幅度 ');axis(0 0.1 -1.5 1.5);text(0,1.25,' 采樣率為 500Hz 的時(shí)域波形 ');subplot(2,2,4);plot(n2*Fs2/N2,y2);xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度(絕對(duì)值)');text(8,750,'采樣率為 500Hz 的頻譜');f

14、igure(2) subplot(2,2,1);stem(0:599)/Fs3,x3(1:600); xlabel(' 時(shí)間 /s');ylabel(' 幅度 ');axis(0 0.08 -1.5 1.5);text(0,1.25,' 采樣率為 600Hz 的時(shí)域波形 '); subplot(2,2,2);plot(n3*Fs3/N3,y3);xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度(絕對(duì)值)');text(8,750,'采樣率為 600Hz 的頻譜'); subplot(2,2,3)

15、;stem(0:999)/Fs4,x4(1:1000);xlabel(' 時(shí)間 /s');ylabel(' 幅度 ');axis(0 0.06 -1.5 1.5);text(0.02,1.2,'采樣率為1000Hz的時(shí)域波形');subplot(2,2,4);plot(n4*Fs4/N4,y4);xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度(絕對(duì)值)');text(10,1300,'采樣率為 1000Hz 的頻譜');現(xiàn)分析如下： 在采樣頻率為 400Hz 時(shí)，頻譜圖中出現(xiàn)了比較明顯的 4個(gè)

16、沖激，頻率分別對(duì)應(yīng)于50Hz 、150Hz 、250Hz 和 350Hz 。50Hz 為基頻， 150Hz 為 3次諧波， 250Hz 和 350Hz 對(duì)應(yīng)于下一周期的 3 次諧波和基頻的負(fù)頻率。 顯然沒(méi)有 5次諧波及 以上的沖激，因?yàn)?5次諧波頻率為 250Hz ，采樣率 400Hz 小于其 2倍，出現(xiàn)了混疊失真； 在采樣率為 500Hz 時(shí)，頻譜與采樣率為 400Hz 時(shí)類似， 3 次諧波的沖激更加明顯，采樣率剛好為 5 次諧波的 2 倍，但還是沒(méi)有 5 次諧波的沖激； 在采樣率為 600Hz 時(shí)，與采樣率為 500Hz 時(shí)類似，但是在 250Hz 處出現(xiàn)了沖激 (相對(duì)幅度較小 )，對(duì)應(yīng)于

17、 5 次 諧波； 在采樣率為 1000Hz 時(shí)，基頻、 3 次諧波、 5 次諧波和 7 次諧波 (350Hz) 的沖激均很明顯， 9 次諧波 (450Hz) 并不 明顯，說(shuō)明矩形波在 7 次諧波以上的諧波可以忽略不計(jì)了。圖 3-16 矩形波在不同采樣率的時(shí)域波形和頻譜在實(shí)際中有一些典型的采樣率， 數(shù)字電話中的采樣率為 8KHz ，高保真語(yǔ)音采樣率為 44.1KHz ，一般在對(duì)語(yǔ)音進(jìn)行 處理時(shí)， 22.05KHz 的采樣率和 11.025KHz 的采樣率也經(jīng)常用到。deltf=0.5;% 頻率分辨率Fs1=15; Fs2=20;Fs3=50; %采樣率N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/de

18、ltf;N3=Fs3/deltf; % 采樣點(diǎn)數(shù)n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1; %采樣點(diǎn)x1=sin(20*pi*n1/Fs1);x2=sin(20*pi*n2/Fs2);%采樣x3=sin(20*pi*n3/Fs3);%采樣y1= fft (x1); y2=fft(x2); y3=fft(x3);%快速傅里葉變換y仁 y1.*conj(y1)/N1A2;y2=y2.*conj(y2)/N2A2;y3=y3.*conj(y3)/N3A2; % 計(jì)算功率subplot(2,2,1);plot(0:49)/Fs1,x1(1:50);xlabel('時(shí)間 /s'); ylabel('幅度');axis(0 0.6 -11.5);text(0.02,1 .2,'采樣率為 15Hz 的時(shí)域波形 ');subplot (2,2,2);plot (n1*Fs1/N1,y1);xlabel('頻率 /Hz'); ylabel('幅度(功率)');text(10,0.