2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題文(北京卷,含解析)

1、高考提醒一輪看功夫，二輪看水平，三輪看士氣梳理考綱，進(jìn)一步明確高考考什么！梳理高考題，進(jìn)一步明確怎么考！梳理教材和筆記，進(jìn)一步明確重難點！梳理錯題本，進(jìn)一步明確薄弱點！抓住中低檔試題。既可以突生重點又可以提高復(fù)習(xí)信心，效率和效益 也會雙豐收。少做、不做難題，努力避免“心理飽和”現(xiàn)象的加劇。保持平常心，順其自然i2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題文(北京卷)本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚?結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題 共40分)一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出

2、符合題目要求的一項。1.已知集合 A=( ?| ?|<2), B=-2,0,1,2,則A. 0,1 B. -1,0,1C. -2,0,1,2 D. -1,0,1,2【答案】A【解析】分析：將集合化成最簡形式，再進(jìn)行求交集運算.詳解：|B- -2.0J.2-AFIB- ；0;1)故選A.點睛：此題考查集合的運算，屬于送分題.2 .在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) T的共軻復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于 l-i|A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】分析：將復(fù)數(shù)化為最簡形式，求其共軻復(fù)數(shù)，找到共軻復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點，判斷其所在象限、 I I +11 1.1 , 1 1詳斛：- - + -1的

3、共聊ij!數(shù)為 -11-1 (1 1)(1 U) 2 22 2對應(yīng)點為在第四象限，故選 D.點睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于送分題，解題時注意審清題意，切勿不可因簡單導(dǎo)致馬虎丟分3 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 s值為】pA. B.、kc. D.【答案】B【解析】分析：初始化數(shù)值 Jc=u-,執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷條件是否成立，詳解：初始化數(shù)值循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：在，1 I 1一第一次：5 1 - Ik 2之？不成立；2 2第二次：號;+（一3k 3占3成立，循環(huán)結(jié)束，輸出,6|故選B.點睛：此題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)型程序框圖，解決此類問題的關(guān)鍵在于：第一，要確定是利用當(dāng)型還是直到 型循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，

4、要準(zhǔn)確表示累計變量；第三，要注意從哪一步開始循環(huán)，弄清進(jìn)入或終止的循環(huán) 條件、循環(huán)次數(shù).4 .設(shè)a,b,c,d是非零實數(shù)，則" ad=bc”是“ a,b,c,d成等比數(shù)列”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】分析：證明“虱 W "乩氏"成等比數(shù)列”只需舉出反例即可，論證“ ahsd成等比數(shù)列”4可利用等比數(shù)列的性質(zhì).詳解：當(dāng)4-4,卜l二Ld時，上不成等比數(shù)列，所以不是充分條件； 4當(dāng)猛bcC成等比數(shù)列時，則 Mbd，所以是必要條件.綜上所述，“：mbd”是“乩b©d成等比數(shù)列”的必要不充

5、分條件故選B.點睛：此題主要考查充分必要條件，實質(zhì)是判斷命題“ pnq”以及“q=p”的真假.判斷一個命題為真命題，要給出理論依據(jù)、推理證明；判斷一個命題為假命題，只需舉出反例即可，或者當(dāng)一個命題正面很難判斷真假時，可利用原命題與逆否命題同真同假的特點轉(zhuǎn)化問題5 . “十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載培最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率f,則第八個單音頻率為A. B.匕“C. . D.【答案】D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的

6、定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為45，所以5-之國之2J,又即則用憫，/兩故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：(1)定義法，若(q/Uji E )或 ± = qN"),數(shù)列f&J 是等比數(shù)列；(2)等比中項公式法，若數(shù)列 汨口中，且%' = %'(:i>3.nFN* ),則數(shù)列印京是等比數(shù)列.196 .某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為A. 1 B.2C. 3 D.

7、4【答案】C【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形 的個數(shù).詳解：由三視圖可得四棱錐 p ABCD,在四棱錐 p ABC口中，PD 工AD -二CD - I ,由勾股定理可知：|PA 2更優(yōu)242PB 3,BC則在四棱錐中，直角三角形有：4PADRPCD£PA:共三個,故選C.點睛：此題考查三視圖相關(guān)知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進(jìn)行還原，分析線面、線 線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長，進(jìn)而可進(jìn)行棱長、表面積、體積等相關(guān)問題的求解以C?為始7 .在平面坐標(biāo)系中，齦（用|是圓（尸上的四段?。ㄈ鐖D），點p在其中一段

8、上，角邊，O以終邊，若rnrw cosa- sina,則P所在的圓弧是【解析】分析：逐個分析 A、B、C D四個選項，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.詳解：由下圖可得：有向線段 0M為余弦線,有向線段卜印為正弦線，有向線段八丁為正切線.A 選項：當(dāng)點、在4:上時，|cofid - x,sinu入COSU SSIIXX,故 A選項錯誤；*B選項：當(dāng)點 P在面)上時，|cofid x,sinu ), tana ,Xsma ' cosa,故 B 選項錯誤；.C選項：當(dāng)點P在醉上時，cosa x.sina y, lana ；x-sina yusu '' Umci,故 C選

9、項正確；D選項：點F在J1I上且在第三象限，tarm j0,與咖仁Oq5溟。，故D選項錯誤.綜上，故選C.點睛：此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到 所對應(yīng)的三角函數(shù)線進(jìn)行比較.8 .設(shè)集合 |a - £Xy)憎-y 2 1小 4 y -7* ay 三 2,則A.對任意實數(shù)a, (2JJEAB.對任意實數(shù)a, （2,1 ） ”C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，（2,1）至八D.當(dāng)且僅當(dāng)心，時，（2,1）|顯A|【答案】D【解析】分析：求出1.2）6A及1.2）至,所對應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解詳解：若則3>三且2三0,即若仁】）EA,

10、則心2,此命題的逆否命題為：若a<-,則有E1）WA,故選D.點睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)|p國成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.設(shè)“-僅4XN，若,二球 則bnd；若A B，則pq,當(dāng)一個問題從正面思考很難入手時，可以考慮其逆否命題形式.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9 .設(shè)向量a=（1,0）,b=（-1,m，若a 工ma-b）,則m=.【答案】【解析】分析：根據(jù),萩坐標(biāo)表示出席18,再根據(jù)bt,得坐標(biāo)關(guān)系，解方程即可.詳解：a =（1.0，b = I Lm）

11、,B =5.0）-（-Lm） =* L-m）,由得：a- （ina- b） = 0,工a （ma-b） = m + 】=0,即 .總= iX.yJ.h.(x>yp ,則點睛：此題考查向量的運算，在解決向量基礎(chǔ)題時，常常用到以下：設(shè)士yj廣 0.10 .已知直線l過點（1,0）且垂直于？?軸，若l被拋物線卜 4型截得的線段長為4,則拋物線的焦點坐標(biāo)為.【答案】【解析】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點將點坐標(biāo)代入可求參數(shù)甘的值，進(jìn)而可求焦點坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點在拋物線上，將 區(qū)二I代入J N抬入中,解得：國,:4，由拋物線方程可得：2P 4P 工？ = 1 ,工焦點

12、坐標(biāo)為而）.點睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對稱性質(zhì)，得到拋物線上點的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.11 .能說明“若a>b,則1”為假命題的一組 a, b的值依次為 .【答案】I -1（答案不唯一）【解析】分析：根據(jù)原命題與命題的否定的真假關(guān)系，可將問題轉(zhuǎn)化為找到使“若sb,則 士a b根據(jù)不等式的性質(zhì)，去特值即可.詳解：使“若強-瓦則"為假命題|a b|則使“若 瓦則卜:為真命題即可，只需取區(qū),l.b 即可滿足所以滿足條件的一組的值為L （答案不唯一）點睛：此題考查不等式的運算，解決本題的核心關(guān)鍵

13、在于對原命題與命題的否定真假關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換,對不等式性質(zhì)及其等價變形的充分理解，只要多取幾組數(shù)值，解決本題并不困難12 .若雙曲線x '的離心率為,則a=J 4工【答案】4【解析】分析：根據(jù)離心率公式已£,及雙曲線中hb$的關(guān)系可聯(lián)立方程組，進(jìn)而求解參數(shù) a的值.a詳解：在雙曲線中，|c -/+ b' & *,且三f 一 r = 16| *'* a > 0, ：, a 7|點睛：此題考查雙曲線的基本知識，離心率是高考對于雙曲線考查的一個重要考點，根據(jù)雙曲線的離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及雙曲線的漸近線都是常見的出題形式，解題的關(guān)鍵在于利用公式1,1=

14、上=1.”，找到01tl之間的關(guān)系.JJ13 .若？,y滿足X/ I二y三入，貝U 2y-?的最小值是 .【答案】3【解析】分析：將原不等式轉(zhuǎn)化為不等式組， 畫出可行域，分析目標(biāo)函數(shù)e %-x的幾何意義，可知當(dāng)方 二 時取得最小值詳解：不等式可轉(zhuǎn)化為滿足條件的ty在平面直角坐標(biāo)系中的可行域如下圖 11令由圖象可知，當(dāng) 為過點時，取最小值，此時Z-2X： 1-3,、2y-x的最小值為3.點睛：此題考查線性規(guī)劃，求線性目標(biāo)函數(shù),匣45式址>至0）的最值，當(dāng)b，0時，直線過可行域在卜軸上截距最大時，/值最大，在卜軸上截距最小時，z值最?。划?dāng)b、：。時，直線過可行域在卜軸上截距最大時，/值最小，

15、在卜軸上截距最小時， /直最大.14 .若a:BC的面積為 % /-|，且/ C為鈍角，則/ B=的取值范圍是 【答案】（1）.（2）. .一司【解析】分析：根據(jù)題干結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可得tynB 3 可求得4r :;再利用十 + 十K sinB此1C 胤力（八* 8），將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) RA）的取值范圍問題口 esinB,即 cosB =：-sinB 廠cosiB2n 下1sint A) 一 ccsA ( ) . snnA : 則2 lanA點睛：此題考查解三角形的綜合應(yīng)用，余弦定理的公式有三個，能夠根據(jù)題干給出的信息選用合適的余弦定理公式是解題的第一個關(guān)鍵；根據(jù)三角形內(nèi)角A +

16、 B4C=fl的隱含條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式及正弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為求解含 £A的表達(dá)式的最值問題是解題的第二個關(guān)鍵三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15 .設(shè)同是等差數(shù)列，且的卜亡.町十題一釉二（I）求國的通項公式；（n）求.【答案】（I）Hn2（II ） 2n + ,-2【解析】分析：（1）設(shè)公差為d,根據(jù)題意可列關(guān)于 小,d的方程組，求解己i/d ,代入通項公式可得；（2）由（1）可得=2",進(jìn)而可利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.詳解：（I ）設(shè)等差數(shù)列f%的公差為d,% 卜 a., 51 n2,2電 + Rd - 51n2,又為 Tn2,

17、 d 欣.1. / R (n -】)d nln2.(II )由(I )知 nh亡,戶產(chǎn)以2為首項，2為公比的等比數(shù)列體現(xiàn)了用(2)根據(jù)詳解:點睛：等差數(shù)列的通項公式及前 n項和共涉及五個基本量 %知道其中三個可求另外兩個, 方程組解決問題的思想.16 .已知函數(shù) f(x) -+ xSsmxwsx.(I)求Rxj的最小正周期；. ，一、一 亢 ，一，3,、 ，一，(n)右Rxj在區(qū)間上的取大值為,求m的取小值.【答案】(I) w沈()3【解析】分析：(1)將(用化簡整理成 的;)/1即!13工4昉的形式，利用公式卜斗可求最小正周期;I l®|&的范圍，結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì)，可得參

18、數(shù)m的取值范圍.一，、1 - COS2X 下 一 (3 一 -1 r %1(I) H,x) =4 -$m2x =不mix - -co：s2x + 一 =- 一)- 一,2222 2所以霞用的最小正周期為T -彳 x.,.兀 1(n)由(I)知 儂 sm(2x*-)4-.一、，_ 加K5北因為x £ -加，所以2x - - E - -2366要使得 心在一 $力上的最大值為!即弘（加- j在- ,疝上的最大值為1.所以2m - > -,即：譏> 一 6"2 一 3所以m的最小值為H點睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識，解題時要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化

19、簡，化簡時要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號的正負(fù)17 .電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第F第三類第四類第五類第八,類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值（I ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（n）隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；（出）電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好

20、評率增加0.1 ,哪類電影的好評率減少 0.1 ,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）【答案】（I） 0 025（D）（出）增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率.【解析】分析：（1）分別計算樣本中電影總部數(shù)及第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，計算沒有獲得好評的電影部數(shù)，代入公式可得概率；（3）根據(jù)每部電影獲得好評的部數(shù)做出合理建議. 詳解：（I）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000.第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200X 0.25=50 ,故所求概率為-。

21、025.2000（n）設(shè)“隨機選取 1部電影，這部電影沒有獲得好評”為事件B.部.沒有獲得好評的電影共有140X 0.6+50 X 0.8+300 X 0.85+200 X 0.75+800 X 0.8+510 X 0.9=1628由古典概型概率公式得2000(出)增加第五類電影的好評率，減少第二類電影的好評率.點睛：本題主要考查概率與統(tǒng)計知識，屬于易得分題，應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件a ;第二步，分別求出基本事件的總數(shù)h與所求事件3中所包含的基本事件個數(shù)m；第三步，利用公式 hA)日求出事件閭的概率.n18 .(本小題14分)如圖，在四棱錐

22、 P-ABCDL 底面 ABCM矩形，平面 PADL平面 ABCD PALPD PA=PD E, F分別為 AD PB的中點.(I)求證：PEI BC(n)求證：平面 PABL平面PCD(m)求證：EF/平面PCD【答案】(I )見解析(n)見解析(m)見解析【解析】分析：(1)欲證pELBC,只需證明PE LAD即可；(2)先證PD。平面PAB,再證平面 PABL平面PCD (3)取民中點G,連接FG.DG,證明|EF，2G ,則EF；平面PCD.詳解：(1) PA-PD,且E為.山的中點，pE,AD.底面 ABCT為矩形，UCIIAD,T . .L 二.(n) .底面 ABCD為矩形，|A

23、B 1AD|.平面PAD 1平面,XBCD, AB 1平面PAD. LPd.又 PAPD,.pD_L平面PAB，平面pAB，平面PCD（出）如圖，取PC|中點G,連接|FG幻D.出6分別為PE和PC的中點，IFGIIBC,且F0：HC.丁四邊形RBCD為矩形，且'為AD|的中點，_ 1EDIBC.DE-BC, 2lEDNFG,且Bd FG, 四邊形EFGD為平行四邊形，N I-.又BFH平面PCD, GDC平面PCD,|EF II 平面 PCD.點睛：證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系，證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證明線線平行的方法：（1）線面平行的性質(zhì)定理；（2）三角形中位線法；

24、（3）平行四邊形法.證明線線垂直的常用方法：（1）等腰三角形三線合一；（2）勾股定理逆定理；（3）線面垂直的性質(zhì)定理；（4）菱形對角線互相垂 直.19.設(shè)函數(shù)貿(mào)幻=卜值?一（跖4 1）k*M4Q.（I）若曲線y R中在點（2或1處的切線斜率為0,求a;（n）若氐整在k:處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】（I） g（n）【解析】分析：（1）求導(dǎo)?。?構(gòu)建等量關(guān)系 if 5解方程可得參數(shù)a的值；對a分ml及”1兩種 情況進(jìn)行分類討論，通過研究 長刈的變化情況可得R中取得極值的可能，進(jìn)而可求參數(shù) x的取值范圍.詳解：解：（I ）因為 儀x） - ax3 * （3a + 十 3a + 2e ,所以

25、迎)72日-)c;由題設(shè)知，0，即Q -0，解得a -(n)方法一：由(I)得.若 a>1 ,則當(dāng)時，%)V。；當(dāng)xW(l,4cu 時，&:0.所以f(xi在x=1處取得極小值.若;I三,則當(dāng)XE (Oil時，ax-l,Krlj0,所以 .所以1不是瓦用的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是；L +.方法一：(1)當(dāng) a=0 時，令 _ 1：得 x=1.隨x的變化情況如下表：x"叫 1)11+0-/極大值Rx在x=1處取得極大值，不合題意.(2)當(dāng) a>0 時，令 :得* - I.a當(dāng)力-x：,即 a=1 時,f(x) (x- l)!ex> 0, Rxi在R上

26、單調(diào)遞增， Kk無極值，不合題意.當(dāng)即0<a<1時，&)工區(qū))隨x的變化情況如下表:x匕犯”1114哈 a+0-0+畸1極大值極小值在x=i處取得極大值，不合題意.當(dāng)* < 士，即a>1時，隨x的變化情況如下表:x1a |1 (-J) a1|也4網(wǎng)fk)l+0-0+lKx)|極大值極小值R中在x=l處取得極小值，即 a>l滿足題意.(3)當(dāng)a<0時，令匕得:<| 一明- L隨x的變化情況如下表：x卜/口 aTn(二 1) a11人4-0+0-lKx)|極小值極大值.在x=l處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為(I, +.點睛：導(dǎo)數(shù)類

27、問題是高考數(shù)學(xué)中的必考題，也是壓軸題，主要考查的形式有以下四個：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及求曲線切線方程的問題；利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間問題；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值最值問題；關(guān)于不等式的恒成立問題解題時需要注意的有以下兩個方面：在求切線方程問題時，注意區(qū)別在某一點和過某一點解題步驟的不同；在研究單調(diào)性及極值最值問題時常常會涉及到分類討論的思想，要做到不重不漏；不等式的恒成立問題屬于高考中的難點，要注意問題轉(zhuǎn)換的等價性20.已知橢圓M.t + Luig/的離心率為仁",焦距為j5.斜率為k的直線l與橢圓Ml有兩個不同的交J b23點A, B（I ）求橢圓M的方程;（口）若k,求的最大