高中數(shù)學史資料集-概率中的故事與故事中的概率素材

1、概率中的故事與故事中的概率苗學軍（寧波市鎮(zhèn)海區(qū)外語實驗學校 315200）研讀數(shù)學史我們可以發(fā)現(xiàn)，在概率的起源和發(fā)展過程中有許多生動有趣的故事，相信大家會在故事中得到啟發(fā)。一、賭金風波。公元1651年夏天，當時盛譽歐洲號稱“神童”的數(shù)學家巴斯卡（B.Pascal，16231662），在旅途中偶然遇到了賭徒梅累，梅累是一個貴族公子哥兒，他對巴斯卡大談“賭經(jīng)”，以消磨旅途時光。梅累還向巴斯卡請教一個親身所遇的“分賭金”問題。問題是這樣的：一次梅累和賭友擲骰子，各押賭注32個金幣，梅累若先擲出三次“6點”，或賭友先擲出三次“4點”，就算贏了對方。賭博進行了一段時間，梅累已擲出了兩次“6點”，賭友也擲

2、出了一次“4點”。這時，梅累奉命要立即去晉見國王，賭博只好中斷。那么兩人應該怎么分這64個金幣的賭金呢？賭友說，梅累要再擲一次“6點”才算贏，而他自己若能擲出兩次“4點”也就贏了。這樣，自己所得應該是梅累的一半，即得64個金幣的三分之一，而梅累得三分之二。梅累爭辯說，即使下一次賭友擲出了“4點”，兩人也是秋色平分，各自收回32個金幣，何況那一次自已還有一半的可能得16個金幣呢？所以他主張自己應得全部賭金的四分之三，賭友只能得四分之一。公說公有理，婆說婆有理。梅累的問題居然把巴斯卡給難住了。他為此苦苦想了三年，終于在1654年悟出了一點道理。于是他把自己的想法寫信告訴他的好友，當時號稱數(shù)壇“怪杰

3、”的費爾馬（Fermat，16011665），兩人對此展開熱烈的討論。后來荷蘭數(shù)學家惠更斯（C.Huygens，16291695）也加入了他們的探討行列。最后，他們一致認為，梅累的分法是對的！惠更斯還把他們討論的結果，載入1657年出版的一本叫論賭博中的計算的書中。這本書至今被公認為概率論的第一部著述。梅累的分法為什么是對的？巴斯卡和費爾馬他們又是怎么想的？這一連串的疑團要等今后大家學到更多概率論知識的時候，才能一一解開。賭金風波終于以概率論的誕生命宣告平息。二、布豐的投針試驗公元1777年的一天，法國科學家D·布豐（D·buffon17071788）的家里賓客滿堂，原來他

4、們是應主人的邀請前來觀看一次奇特試驗的。試驗開始，但見年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來，紙上預先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布： “請諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過，請大家務必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我。”客人們不知布豐先生要干什么，只好客隨主意，一個個加入了試驗的行列。一把小針扔完了，把它撿起來又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了將近一個鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704

5、次。總數(shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142?！闭f到這里，布豐先生故意停了停，并對大家報以神秘的一笑，接著有意提高聲調(diào)說：“先生們，這就是圓周率的近似值！”眾賓嘩然，一時議論紛紛，個個感到莫名其妙；“圓周率？這可是與圓半點也不沾邊的呀！”布豐先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解釋道：“諸位，這里用的是概率的原理，如果大家有耐心的話，再增加投針的次數(shù)，還能得到的更精確的近似值。不過，要想弄清其間的道理，只好請大家去看敝人的新作了?！彪S著布豐先生揚了揚自己手上的一本或然算術試驗的書。在這種紛紜雜亂的場合出現(xiàn)，實在是出乎人們的意料，然而它卻是千真萬確的事實。由于投針試驗的問題，是布豐先生最先提

6、出的，所以數(shù)學史上就稱它為布豐問題。布豐得出的一般結果是：如果紙上兩平行線間相距為d，小針長為l，投針的次數(shù)為n，所投的針當中與平行線相交的次數(shù)是m，那么當n相當大時有：，便是著名的布豐公式。概率雖然起源于歐洲，但在我國古代的許多成語故事中，我們?nèi)詴l(fā)現(xiàn)概率的萌芽和應用的影子。三、田忌賽馬戰(zhàn)國時期，齊王與大將田忌商議賽馬，雙方約定：各自出上、中、下三種等級的馬各一匹。每輪舉行三場對抗賽。輸者每輸一場要付給勝者黃金一千兩。由于田忌的馬比齊王同等級的馬都要略遜一籌，而在頭一輪的比賽中，雙方都是用同等級的馬進行對抗，所以齊王很快贏了全部三場，得到了三千兩黃金。鑒于第一次賽馬的慘敗，所以當齊王滿面春風

7、地再次邀請?zhí)锛少愸R時，田忌感到很為難。一方面君王的旨意不好違背，另一方面自己對這種必敗的比賽失去了信心。田忌的軍師孫臏是頗有才能的軍事家，他得知后，便替田忌出了一個主意：用自己的下等馬和國王的上等馬比賽，而用自己的上等馬和國王的中等馬比賽，中等馬和國王的下等馬比賽。比賽開始，第一場國王的馬以極大的優(yōu)勢取得了勝利。國王沒有料到田忌的馬竟然如此不堪一擊，為此俯仰大笑，得意不已。但美景不長，在二、三場中田忌的馬都取得了勝利。這一輪國王不但沒贏，反而輸了一千金?？尚Φ氖牵R王輸了錢還弄不清自己是怎樣輸?shù)哪?！其實，齊王出馬的對策有六種；（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下

8、、上、中）、（下、中、上）。括號中寫的是出馬的等級和順序。田忌的對策也同樣有六種。這樣搭配起來就有36種對賽的格局。其中齊王贏三千金的格局有6種，贏一千金的格局有24種，只有6種才反輸一千金。因此，從總的來看，田忌輸?shù)母怕蕿榱种?。贏的概率只有六分之一。既然田忌贏的可能性是這樣小，那么孫臏是根據(jù)什么來取勝的呢？原來關鍵在于孫臏摸準了齊王的對策。他估計到齊王由于上一次的大獲全勝，這一次是不會輕易更改這種對策的。因此，他“對癥下藥”，利用僅有的六分之一的獲勝概率取得了勝利。四、歧路亡羊歧路亡羊是列子中一篇寓意深刻的故事。原文如下：楊子之鄰人亡羊，既率其黨，又請楊子之豎追之。楊子曰：“嘻！亡一羊，

9、何追者之眾？”鄰人曰：“多歧路?！奔确?，問：“獲羊乎？”曰：“亡之矣”曰：“奚亡之？”曰；“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也。”下面我們就來研究一下楊子的鄰人，找到丟失的羊的可能性有多大。假定所有的分叉口都各有兩條新的歧路。這樣，每次分歧的總歧路數(shù)分別為21，22，23，24，到第n次分歧時，共有條歧路。因為丟失的羊走到每條歧路去的可能性都是相等的，所以當羊走過n個三叉路口后，一個人在某條歧路上找到羊的概率只有。例如，當n5時，即使楊子的鄰人動員了6個人去找羊，找到羊的可能性也只有還不及五分之一?？梢?，鄰人空手而返，是很自然的事了！五、狄青占卜。公元1053年，宋朝元帥狄青率重兵征討南方

10、叛亂。在決戰(zhàn)的前夕，狄青主演了歷史上蔚為壯觀的一幕：月黑風高的一個夜晚，狄青精心準備了一百枚“宋元天寶”銅幣，當眾向將士念念有詞、殷殷許愿：“把這些錢幣扔在地上，如果錢面（有字的一面）全部朝上的，那么這次出兵就一定可以打敗敵人，愿神助我一臂之力！”面對左右官員之誠惶誠恐，萬千士兵之瞠目咋舌，狄青全然無視。那一刻的狄青，盡顯成竹在胸、乾坤在握之“大將風度”，表現(xiàn)出一種勝負了然在一身之英雄氣概！在千軍萬馬的注目之下，狄青奮力向空中拋去了其絞盡腦汁換來的一百枚銅幣。于是，一個幾可與阿基米德“撬動地球”相媲美的奇跡發(fā)生了：一百枚錢幣，在鬼使神差中，參差排列，錢面枚枚朝上。眾將士相顧失色，但驚愕之后，當

11、然是全軍響徹山野之歡呼雀躍聲，將士個個認定老天睜眼，神靈保佑，戰(zhàn)爭之勝利尤囊中之物無疑，士氣頓時高漲萬分。于是狄青立即出兵，一鼓作氣，勢如破竹，平定了叛亂。一個讓千萬人都不能相信的事實，居然讓狄青撞上了！是神靈真的顯了靈，還是狄青向人們?nèi)隽艘粋€彌天大謊？在狄青得勝回師，取回那一百枚錢幣時，其同僚們先是面面相覷，繼而又都會心的相視一笑。狄青那區(qū)區(qū)一百枚也非精雕細琢的錢幣，原來都是正反面一樣的“假幣”！真相大白于天下，狄青之“瞞天過?！被颉安豢筛嫒恕钡闹腔?，也因此載入了史冊。有一點可以肯定，狄青作出如此舉動，說明他十二分的清醒，正反面不一樣的一百枚錢幣全部出現(xiàn)錢面向上的情形，上帝是不會給他的！但他又是多么的希望那樣一件“小概率事件”（今人稱之）的發(fā)生？當然，當時的狄青，還不清楚今人眼中的100次方是何樣的概念？但他還是意識到了那種渺茫的機會幾乎是零！這很重要。狄青作出史無前例之一拋，除了力挽狂