高中數(shù)學(xué)橢圓的知識(shí)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)橢圓的經(jīng)典知識(shí)總結(jié)2知識(shí)要點(diǎn)小結(jié)：知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù) ,這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形.知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)， 才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓：

2、的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說(shuō)明：把換成、或把換成、或把、同時(shí)換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線(xiàn)和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，。（3）頂點(diǎn)：橢圓的對(duì)稱(chēng)軸與橢圓的交點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ， 線(xiàn)段，分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。（4）離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢

3、圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線(xiàn)段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2）；（3）；知識(shí)點(diǎn)四：橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距 范圍，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程焦半徑，注意：橢圓，的相同點(diǎn)：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。規(guī)律方法： 1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，兩條對(duì)稱(chēng)軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)

4、方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型。 2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，且?？山柚覉D理解記憶： 顯然：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。 4方程是表示橢圓的條件方

5、程可化為，即，所以只有A、B、C同號(hào)，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類(lèi)問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線(xiàn)關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的依據(jù)： 若把曲線(xiàn)方程中的換成，方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)； 若把曲線(xiàn)方程中的換成，方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)； 若把曲線(xiàn)方程中的、同時(shí)換成、，方程不變，則曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。8如何求解與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題？ 思路分析：與焦點(diǎn)三角形PF1F2有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線(xiàn)段，有關(guān)角 ()結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系. 9如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離