等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和典型例題+答案解析

1、 等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題1、等比數(shù)列的定義：，稱為公比2、通項(xiàng)公式：，首項(xiàng)：；公比：推廣：3、等比中項(xiàng)：（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)，即：或注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（2）數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）5、等比數(shù)列的判定方法：（1）用定義：對(duì)任意的，都有為等比數(shù)列（2）等比中項(xiàng)：為等比數(shù)列（3）通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義：若或?yàn)榈缺葦?shù)列7、等比數(shù)列的性質(zhì)：（2）對(duì)任何，在等比數(shù)列中，有。（3）若，則。特別的，當(dāng)時(shí)，得 注：等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；通項(xiàng)

2、公式（）中項(xiàng)（）（）前項(xiàng)和重要性質(zhì)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例1等比數(shù)列中，, ,求.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于和的二元方程組，解出和，可得；或注意到下標(biāo)，可以利用性質(zhì)可求出、，再求.總結(jié)升華： 列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式1】an為等比數(shù)列，a1=3，a9=768，求a6?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值?！咀兪?】已知等比數(shù)列，若，求。類型二：等比數(shù)列的前

3、n項(xiàng)和公式例2設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.舉一反三：【變式1】求等比數(shù)列的前6項(xiàng)和?！咀兪?】已知：an為等比數(shù)列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【變式3】在等比數(shù)列中，求和。類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例3. 等比數(shù)列中，若,求. 舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列中，若a1·a100=100; 則lga1+lga2+lga100=_.【變式2】在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_。類型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4在等比數(shù)列中，已知，求。思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法

4、，即等比數(shù)列中前k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，第n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。舉一反三：【變式1】等比數(shù)列中，公比q=2, S4=1,則S8=_.【變式2】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【變式3】等比數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，若Sn=80, S2n=6560，前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54，求n.【變式4】等比數(shù)列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 則a5+a6=_.【變式5】等比數(shù)列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32，

5、則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列.求原來的三個(gè)數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式.總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為，x, xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a，公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列.【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，

6、它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個(gè)數(shù)?！咀兪?】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù).類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷an是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷an類型.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列Cn，其中Cn=2n+3n，且數(shù)列Cn+1-pCn為等比數(shù)列，求常數(shù)p?！敬鸢浮縫=2或p=3；【證明】設(shè)數(shù)列an、bn的公比分別為p, q，且pq【變式3】

7、判斷正誤：(1)an為等比數(shù)列a7=a3a4；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數(shù)列；(3)an，bn均為等比數(shù)列，則anbn為等比數(shù)列；(4)an是公比為q的等比數(shù)列，則、仍為等比數(shù)列；(5)若a，b，c成等比，則logma，logmb，logmc成等差.類型七：Sn與an的關(guān)系例7已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足，且a1，a3，a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an.總結(jié)升華：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，它們是，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系.舉一反三：【變式】命題1：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a1)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；命題2：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na

8、-n，則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列。上述兩個(gè)命題中，真命題為 個(gè).經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例1等比數(shù)列中，, ,求.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于和的二元方程組，解出和，可得；或注意到下標(biāo)，可以利用性質(zhì)可求出、，再求.解析：法一：設(shè)此數(shù)列公比為，則由(2)得：.(3) .由(1)得： , .(4)(3)÷(4)得：， ,解得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.法二：,又, 、為方程的兩實(shí)數(shù)根， 或 , 或.總結(jié)升華： 列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形

9、要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式1】an為等比數(shù)列，a1=3，a9=768，求a6?！敬鸢浮?#177;96法一：設(shè)公比為q，則768=a1q8，q8=256，q=±2，a6=±96；法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，a6=±96?！咀兪?】an為等比數(shù)列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值?！敬鸢浮?4；，又an0，a45=4?！咀兪?】已知等比數(shù)列，若，求?！敬鸢浮炕?；法一：，從而解之得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。故或。法二：由等比數(shù)列的定義知，代入已知得將代入（1）得，解得或由（2）得或 ，以下同方法一。類型

10、二：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例2設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.解析：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a10，得S3+S62S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q1.由得，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，從而(2q3+1)(q3-1)=0，因q31，故，所以。舉一反三：【變式1】求等比數(shù)列的前6項(xiàng)和?！敬鸢浮浚唬??！咀兪?】已知：an為等比數(shù)列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】；，則a1=1或a1=9.【變式3】在等比數(shù)列中，求和?！敬鸢浮炕?，；，解方程組，得 或?qū)⒋?，得，由，解得?/p>

11、將代入，得，由，解得?；?，。類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例3. 等比數(shù)列中，若,求.解析： 是等比數(shù)列， 舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列中，若a1·a100=100; 則lga1+lga2+lga100=_.【答案】100；lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1·a2·a3··a100)而a1·a100=a2·a99=a3·a98=a50·a51 原式=lg(a1·a100)50=50lg(a1·a100)=50×lg100=100?！咀兪?】在和之間插入三個(gè)數(shù)

12、，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_?！敬鸢浮?16；法一：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為，其公比為，。法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為，公比為，則，加入的三項(xiàng)分別為，由題意，也成等比數(shù)列，故，。類型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4在等比數(shù)列中，已知，求。思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，第n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。解析：法一：令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n觀察b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3=a2n+1+a2n+2

13、+a3n=q2n(a1+a2+an)易知b1,b2,b3成等比數(shù)列，S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：，由已知得÷得，即 代入得，。法三：為等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，。舉一反三：【變式1】等比數(shù)列中，公比q=2, S4=1,則S8=_.【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×(1+24)=17【變式2】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【答案】130；法一：S10，S20-S10，S30-S2

14、0構(gòu)成等比數(shù)列，(S20-S10)2=S10·(S30-S20) 即302=10(S30-40),S30=130.法二：2S10S20，, , .【變式3】等比數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，若Sn=80, S2n=6560，前n項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54，求n.【答案】 ，(否則)=80 .(1)=6560.(2)，(2)÷(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，由(3)知q>1an為遞增數(shù)列，an為最大項(xiàng)54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得，q=3,n=4.【變式4】等比數(shù)列中，若a1+a2=324, a3+a4

15、=36, 則a5+a6=_.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知：b1, b2, b3成等比數(shù)列，b3=4,即a5+a6=4.【變式5】等比數(shù)列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值?！敬鸢浮?48；an是等比數(shù)列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32，則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第

16、二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列.求原來的三個(gè)數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式.解析：法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d, a,a+d.則a-d, a, a+d+32成等比數(shù)列，a-d, a-4, a+d成等比數(shù)列.由(2)得a=.(3)由(1)得32a=d2+32d .(4)(3)代(4)消a，解得或d=8.當(dāng)時(shí),；當(dāng)d=8時(shí),a=10原來三個(gè)數(shù)為,或2,10,50.法二：設(shè)原來三個(gè)數(shù)為a, aq, aq2，則a, aq,aq2-32成等差數(shù)列，a, aq-4, aq2-32成等比數(shù)列由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13當(dāng)q

17、=5時(shí)a=2；當(dāng)q=13時(shí).原來三個(gè)數(shù)為2，10，50或，,.總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為，x, xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a，公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列.【答案】為2，6，18或；設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=

18、3或，q=-5；故所求的等比數(shù)列為2，6，18或.【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，由已知得得，所以或，即或故所求三個(gè)數(shù)為：1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1?！咀兪?】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù).【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；設(shè)四個(gè)數(shù)分別是x,y,12-y,16-x由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)14

19、4-24y+y2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4或9， x=0或15，四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并判斷an是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷an類型.解析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1 (nN+), a1=S1=51-1=4,當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4&

20、#215;5n-1而n=1時(shí)，4×5n-1=4×51-1=4=a1, nN+時(shí)，an=4×5n-1由上述通項(xiàng)公式，可知an為首項(xiàng)為4，公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列Cn，其中Cn=2n+3n，且數(shù)列Cn+1-pCn為等比數(shù)列，求常數(shù)p?！敬鸢浮縫=2或p=3；Cn+1-pCn是等比數(shù)列，對(duì)任意nN且n2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)·(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)&

21、#183;2n+(3-p)·3n2=(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1·(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1整理得：,解得：p=2或p=3,顯然Cn+1-pCn0，故p=2或p=3為所求.【變式2】設(shè)an、bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，Cn=an+bn,證明數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【證明】設(shè)數(shù)列an、bn的公比分別為p, q，且pq為證Cn不是等比數(shù)列，只需證.,又 pq, a10, b10,即數(shù)列Cn不是等比數(shù)列.【變式3】判斷正誤：(1)an為等比數(shù)列a7=a3a4；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數(shù)列；(3)an，bn均為等比數(shù)列，則anbn為等比數(shù)列；(4)an是公比為q的等比數(shù)列，則、仍為