例析中考中探索性問題

1、例析中考中探索性問題索性試題是近幾年來中考比較常見的開放型試題，也是中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的一種新題型。今后的中考數(shù)學(xué)試題中必將繼續(xù)出現(xiàn)這種題型，而且在質(zhì)量上也會上一個新臺階。一. 常見的問題的類型： 1. 條件探索型結(jié)論明確，而需探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目。 2. 結(jié)論探索型給定條件，但無明確結(jié)論或結(jié)論不惟一。 3. 存在探索型在一定條件下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在。 4. 規(guī)律探索型發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性與不變性的題目。二. 常用的解題切入點： 1. 利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置）進行歸納、概括，從而得出規(guī)律。2. 反演推理法(反證法)，即假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假

2、設(shè)進行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致 3分類討論法當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不惟一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)果4、類比猜想法即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法，并加以嚴密的論證以上并不能全面概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應(yīng)更注重數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用ABDEFGHC三、探索性問題歸納有四種題型:1、探索題設(shè)下的圖形或數(shù)量之間的關(guān)系;2、探索解決問題的方法;3、探索圖形具備某性質(zhì)或關(guān)系的條件或結(jié)論;4、探索改變題設(shè)條件后結(jié)論是否變化.四、知識運用舉例（一）條件探

3、索型例1（呼和浩特市中考）在四邊形中，順次連接四邊中點，構(gòu)成一個新的四邊形，請你對四邊形填加一個條件，使四邊形成為一個菱形這個條件是_解：或四邊形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）。例2（荊門市中考）將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1圖1圖3圖4圖2（1）四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由：_（2）如圖2，將RtBCD沿射線BD方向平移到RtB1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由：_（3）在RtBCD沿射線BD方向平移的過程中，當(dāng)點B的移動距離為_時，四邊形ABC1D1為矩形，其理由是_；當(dāng)點B的移動距

4、離為_時，四邊形ABC1D1為菱形，其理由是_(圖3、圖4用于探究)解：（1）是，此時ADBC，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（2）是，在平移過程中，始終保持ABC1D1，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（3），此時ABC190°，有一個角是直角的平行四邊形是矩形，此時點D與點B1重合，AC1BD1，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（二）結(jié)論探索型例1 （北京市中考）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在中，點分別在上，設(shè)相交于

5、點，若，請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；圖1（3）在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論解：（1）回答正確的給1分（如平行四邊形、等腰梯形等）（2）答：與相等的角是（或）四邊形是等對邊四邊形（3）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形證法一：如圖1，作于點，作交延長線于點 ，為公共邊， ， 可證 所以四邊形是等邊四邊形證法二：如圖2，以為頂點作，交于點圖2，為公共邊， ， ， 四邊形是等邊四邊形說明：在結(jié)論探索題中，常見的一類就是探索存在性的問題，這類問題的特點是探求命題的結(jié)論是否存在。一般的求解方法是

6、：假設(shè)結(jié)論存在，如果求出的結(jié)論符合已知條件則結(jié)論存在；如果求出結(jié)論不符合已知條件或與定理、公理等相矛盾，則結(jié)論不存在。探求存在型試題可以考查學(xué)生的判斷能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。（三）存在探索型 存在性探索問題是指在某種題設(shè)條件下，判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在的一類問題.解題的策略與方法是：先假設(shè)數(shù)學(xué)對象存在，以此為條件進行運算或推理.若無矛盾，說明假設(shè)正確，由此得出符合條件的數(shù)學(xué)對象存在；否則，說明不存在例1 (內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中考題)如圖1，把矩形ABCD折疊使點C落在AB上的C¢處(不與A、B重合)，點D落在D¢處，此時，C¢D¢交

7、AD于E，折痕為MN. 如果AB=1，BC=，當(dāng)點C¢在什么位置時，可使NBC¢C¢AE？圖1 如果AB=BC=1，使NBC¢C¢AE的C¢還存在嗎？若存在，請求出C¢的位置，若不存在，請說明理由.分析與解答 當(dāng)C¢在距A點的時，可使NBC¢C¢AE.當(dāng)矩形ABCD是邊長為1的正方形時，假設(shè)存在這樣的C¢，使NBC¢C¢AE，設(shè)AC¢=x，則有ÞBC¢=NC¢，這與B=90°矛盾，假設(shè)錯誤，故這樣的C¢不存

8、在.例2 (湖北省武漢市中考題)已知：二次函數(shù)y=x2 -(m+1)x+m的圖象交x軸于A(x1，0)、B(x2，0)兩點，交y軸正半軸于點C，且x12 +x22 =10.求此二次函數(shù)的解析式；是否存在過點D(0，-)的直線與拋物線交于點M、N，與x軸交于點E，使得點M、N關(guān)于點E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由. 分析與解答 依題意，得x1x2=m，x12 +x22 =10，x1 +x2 = m +1，(x1 +x2)2 -2x1x2 =10，(m+1)2 -2m=10，m=3或m= -3，又點C在y軸的正半軸上，m=3.所求拋物線的解析式為y=x2 -4x+3.假設(shè)存

9、在過點D(0，-)的直線與拋物線交于M(xM，yM)、N(xN，yN)兩點，與x軸交于點E，使得M、N兩點關(guān)于點E對稱.M、N兩點關(guān)于點E對稱，yM +yN=0. 設(shè)直線MN的解析式為：y=kx-.由得x2 -(k+4)x+=0，xM +xN =4+k，yM +yN =k(xM +xN)-5=0. k(k+4)-5=0，k=1或k = -5. 當(dāng)k=-5時，方程x2 -(k+4)x+=0的判別式<0，k=1，直線MN的解析式為y=x-. 存在過點D(0，-)的直線與拋物線交于M、N兩點，與x軸交于點E，使得M、N兩點關(guān)于點E對稱.例3（樂山市中考）如圖（13），在矩形中，直角尺的直角頂點

10、在上滑動時（點與不重合），一直角邊經(jīng)過點，另一直角邊交于點我們知道，結(jié)論“”成立（1） 當(dāng)時，求的長；PAEBCD圖（13）（2） 是否存在這樣的點，使的周長等于周長的倍？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由解（1）在中，由，得，由知，（2）假設(shè)存在滿足條件的點，設(shè)，則由知，解得，此時，符合題意例4 （臨沂市中考）如圖261，已知拋物線的頂點為A(O，1)，矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點B(0，2)，且其面積為8(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖262，若P點為拋物線上不同于A的一點，連結(jié)PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作軸的垂線，垂足分別為S、R

11、求證：PBPS；判斷SBR的形狀；試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由解：方法一：B點坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8，CF=4.C點坐標(biāo)為(一2，2)F點坐標(biāo)為(2，2)。設(shè)拋物線的解析式為其過三點A(0，1)，C(-22)，F(xiàn)(2，2)。得 解得 此拋物線的解析式為 方法二：B點坐標(biāo)為(0，2)，OB2，矩形CDEF面積為8， CF=4.C點坐標(biāo)為(一2，2)。 根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為。其過點A(0，1)和C(-22) 解得此拋物線解析式為(2)解：過點B作BN，

12、垂足為NP點在拋物線y=+l上可設(shè)P點坐標(biāo)為PS，OBNS2，BN。PN=PSNS= 在RtPNB中PB2PBPS 根據(jù)同理可知BQQR。，又 ，同理SBPB . SBR為直角三角形 方法一：設(shè)，由知PSPBb，。假設(shè)存在點M且MS，別MR 。若使PSMMRQ，則有。即。 SR2M為SR的中點. 若使PSMQRM，則有。M點即為原點O。綜上所述，當(dāng)點M為SR的中點時PSMMRQ；當(dāng)點M為原點時，PSMMRQ 方法二：若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點三角形相似，有PSMMRQ和PSMQRM兩種情況。 當(dāng)PSMMRQ時SPMRMQ，SMPRQM 由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)知PMS+

13、QMR90°。 取PQ中點為N連結(jié)MN則MNPQ= MN為直角梯形SRQP的中位線,點M為SR的中點 當(dāng)PSMQRM時，。又，即M點與O點重合。點M為原點O。綜上所述，當(dāng)點M為SR的中點時，PSMMRQ；當(dāng)點M為原點時，PSMQRM。 點撥：通過對圖形的觀察可以看出C、F是一對關(guān)于y軸的對稱點，所以（1）的關(guān)鍵是求出其中一個點的坐標(biāo)就可以應(yīng)用三點式或 y=ax2+c型即可而對于點 P既然在拋物線上，所以就可以得到它的坐標(biāo)為（a，a2+1）這樣再過點B作BNPS得出的幾何圖形求出PB 、PS的大小最后一問的關(guān)鍵是要找出PSM與MRQ相似的條件（四）規(guī)律探索型規(guī)律探索問題是根據(jù)已知條件或

14、所提供的若干個特例，通過觀察、類比、歸納，提示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊含的本質(zhì)規(guī)律與特征的一類探索性問題例1（資陽市中考）設(shè)a13212，a25232，an(2n1)2(2n1)2 (n為大于0的自然數(shù))（1） 探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結(jié)論；（2） 若一個數(shù)的算術(shù)平方根是一個自然數(shù)，則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)”. 試找出a1，a2，an，這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并指出當(dāng)n滿足什么條件時，an為完全平方數(shù)(不必說明理由) 解：（1） an(2n1)2(2n1)2，又 n為非零的自然數(shù)， an是8的倍數(shù)這個結(jié)論用文字語言表述為：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù) 說明：

15、第一步用完全平方公式展開各1分，正確化簡1分（2） 這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)為16，64，144，256n為一個完全平方數(shù)的2倍時，an為完全平方數(shù) (五)其它五、探索最值問題 例 如圖，ABC中，BC=4，AC=2，ACB=60°，P為BC上一點，過點P作PD/AB，交AC于D。連結(jié)AP，問點P在BC上何處時，APD的面積最大？ 分析：從題目條件看本題是一個幾何問題，而從所求結(jié)論看，是求最大值的代數(shù)問題，因此把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)問題是指導(dǎo)我們思路的靈魂。為了實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，就要把靜止轉(zhuǎn)化為運動，把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，得出函數(shù)的解析式，使問題得以解決。 如設(shè)BP=x，則點P在BC邊上的運動轉(zhuǎn)化為x的取值變化，并且圖形中APD的存在條件制約了x的取值，所以0<x<4，這些都體現(xiàn)了位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化。ABC的面積是常量，ABP，APD，PDC的面積都是變量，ABP面積雖然是變量，但BP邊上的高是常量，PCD面積是變量，但變化中PCD始終與BCA相似，這些