第20章第3節(jié)積分在物理上的應用ppt課件

1、20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用一、質(zhì)心一、質(zhì)心 .M 設設為為一一塊塊可可以以度度量量的的幾幾何何體體，它它的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為 M 又又假假設設為為 上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)， 將將幾幾何何體體 分分劃劃為為若若干干可可度度量量的的小小塊塊，12n， ，記記它它們們的的度度量量大大小小亦亦為為12n， ， 1maxii nd 令令的的直直徑徑 ，20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用 ,iidM 當當 充充分分小小時時，每每一一小小塊塊的的質(zhì)質(zhì)量量近近似似地地等等于于 ,.iiiiiMxy z 這這里里為為上上的的任任意意一一點點GGGxyz 于于是是幾幾何何體體

2、的的, , ,分分別別近近似似地地等等于于以以下下質(zhì)質(zhì)心心坐坐標標三三個個量量： 111111,nnniiiiiiiiinnniiiiiiiiiiiixyMMMMzMM 靜靜矩矩與與物物體體質(zhì)質(zhì)量量之之商商為為質(zhì)質(zhì)該該物物體體的的 心心坐坐標標. .20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用0d 令令，上上述述三三個個量量的的極極限限可可用用積積分分表表示示，它它們們正正是是幾幾何何體體,GGGxyz 的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標標： GxM dxdmxM ddm GyM dydmyM ddm GzM dzdmzM ddm 20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用 .dmM d 這這里里,V

3、若若幾幾何何體體是是空空間間一一塊塊體體積積那那么么這這塊塊體體積積的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標標為為( , , )( , , )VGVxx y z dxdydzxx y z dxdydz ( , , )( , , )VGVyx y z dxdydzyx y z dxdydz ( , , )( , , )VGVzx y z dxdydzzx y z dxdydz 20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用1求求一一均均勻勻的的球球頂頂錐錐體體的的質(zhì)質(zhì)心心。 設設該該球球的的例例球球心心在在原原點點，.0.2azz 半半徑徑為為錐錐體體的的頂頂點點在在原原點點，軸軸為為 軸軸，錐錐面面與與 軸軸交交角

4、角為為求求幾幾何何體體的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標標. .zyx20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用0GGxy 所所以以zyxV 由由于于立立體體 關關于于z z軸軸對對稱稱，并并且且 立立體體是是均均勻勻的的，解解：即即密密度度 是是常常數(shù)數(shù)，VVVGVVVzdvzdxdydzz dxdydzzdvdxdydzdxdydz 分子分子 22000cossinaVz dxdydzddrrdr 20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用3002cossinadr dr 2442sin12sin244aa 22000sinaVdxdydzddrdr 2002sinadr dr 3322(1cos

5、)(1cos)33aa 于是于是 4231sin34(1cos)28(1cos)3Gazaa 20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用二、矩二、矩 ,VMMV 設設 為為一一塊塊可可度度量量的的幾幾何何形形體體，它它的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為并并設設在在 上上連連續(xù)續(xù). .分分別別稱稱( (定定：k k義義0 0) ) , ,kyzVIxx y z dxdydz , ,kxzVIyx y z dxdydz , ,kxyVIzx y z dxdydz ,YZZXYk為為物物體體關關于于坐坐標標平平面面坐坐標標平平面面坐坐標標平平面面X X 的的 階階矩矩. .20.3 積分在物理上的應用積分

6、在物理上的應用012kVkk 靜靜矩矩與與物物體體質(zhì)質(zhì)量量之之商商為為該該物物零零階階矩矩體體的的質(zhì)質(zhì)量量靜靜矩矩. .質(zhì)質(zhì)心心坐坐標標當當時時稱稱為為，表表示示物物體體 的的. .當當時時稱稱為為. .轉轉當當時時稱稱為為動動慣慣量量. .又分別稱又分別稱222222() ( , , ),() ( , , ),() ( , , )OzVOxVOyVIxyx y z dxdydzIyzx y z dxdydzIzxx y z dxdydz zxyV關關于于 軸軸， 軸軸， 軸軸的的為為物物體體轉轉動動慣慣量量. .20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用 顯然有顯然有(物體關于坐標軸與坐

7、標面的轉物體關于坐標軸與坐標面的轉動慣量之間的關系動慣量之間的關系)2222() ( , , )( , , )( , , )OZVVVyzzxIxyx y z dxdydzxx y z dxdydzyx y z dxdydzII 2222() ( , , )( , , )( , , )OxVVVzxxyIyzx y z dxdydzyx y z dxdydzzx y z dxdydzII 20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用2222() ( , , )( , , )( , , )OyVVVxyyzIzxx y z dxdydzzx y z dxdydzxx y z dxdydzII

8、,.,xyyzzxVXYYZZXIII物物體體 關關于于坐坐標標平平面面坐坐標標平平面面坐坐標標平平面面的的轉轉其其分分別別表表示示動動慣慣量量中中20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用zxy解：解： 2xyVIz dxdydz z 是一個直角三角形，兩直角邊的長度分別為z ()()a czb czcc和和20zcdzz dxdy 1,0,0,0,21.xyzxyzabc 計計算算由由平平面面所所圍圍成成的的均均勻勻物物體體（設設 ）對對于于坐坐標標平平面面例例的的轉轉動動慣慣量量：abc(向向z軸投影軸投影)20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用所以所以 2200zzccxy

9、Idzz dxdyz dzdxdy 32220()260cababczczdzc 同樣可得同樣可得 33,6060yzzxa bcab cII 201()()2ca czb czzdzcc (向向x軸投影軸投影)(向向y軸投影軸投影)20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用解解1,DxxdxdyA1.DyydxdyAoyx,hbA 區(qū)區(qū)域域面面積積hb20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用oyxhbuvo 2uDIv dudv 22222hbhbv dvdu 3.12bh 2vDIu dudv 3.12b h 因此因此, ,所求轉動慣量即所求轉動慣量即)2,2(hb20.3 積分

10、在物理上的應用積分在物理上的應用三、引力三、引力 000,M xyzNM 設設一一塊塊可可以以度度量量的的幾幾何何體體 ，為為 外外一一點點，幾幾何何體體 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為 上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，質(zhì)質(zhì)點點具具有有單單位位質(zhì)質(zhì)量量. . ,1,2,.iMFin 考考慮慮幾幾何何體體 對對質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力將將 分分為為若若干干可可度度量量的的小小塊塊 .maxiiiii i niddMF 并并把把每每一一小小塊塊度度量量大大小小仍仍記記為為令令的的直直徑徑 ，當當 充充分分小小時時，每每一一小小塊塊對對質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力的的大大小小近近似似地地為為 2iiiNKr 20.3 積分

11、在物理上的應用積分在物理上的應用 222000,iiiiiiiiiiiKNxy zrNMrxxyyzz其其中中 為為引引力力常常數(shù)數(shù)，為為上上任任意意一一點點，它它的的坐坐標標為為為為和和之之間間距距離離，iF所所以以在在三三個個坐坐標標軸軸上上的的分分量量分分別別為為： 03iiiiNxxKr 03iiiiNyyKr 03iiiiNzzKr 20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用MF 從從而而幾幾何何體體對對質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力 在在三三坐坐標標軸軸上上的的分分量量應應分分別別近近似似等等于于： 0*31niiixiiNxxFKr 0*31niiiyiiNyyFKr 0*31niiiziiNzzFKr 20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用0,xyzdF F F當當時時，以以上上三三個個分分量量的的極極限限就就是是所所要要求求的的引引力力F F在在三三個個坐坐標標軸軸上上的的分分量量按按積積分分的的定定義義，得得 03xNxxFKdr 03yNyyFKdr 03zNzzFKdr 222000rxxyyzz這這里里20.3 積分在物理上的應用積分在物理上的應用 222,0,0,0,02.xyRzzcc 求求均均勻勻薄薄片片對對于于 軸軸上上一一點點處處單單位位質(zhì)質(zhì)量量的的引引力力例例 0 0設設均均勻勻薄薄片片的的面面密密度度為為 解解：，