曲線、曲面積分方法小結(jié)

1、求曲線、曲面積分的方法與技巧曲線積分的計算方法與技巧計算曲線積分一般采用的方法有：利用變量參數(shù)化將曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積 分、利用格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分、 利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分、利用積分與路徑無關(guān)的條件通過改變積分路徑進行計算、利 用全微分公式通過求原函數(shù)進行計算等方法。例一.計算曲線積分.ydx xdy,其中L是圓x2 y 2x (y 0)上從原點L0(0,0)到 A(2,0)的一段弧。本題以下采用多種方法進行計算。解1: OA的方程為x = x,1 x2 L 由 0t 代 X 由 0t 2, dy2 dx.y = . 2x -x ,2x - x2J ydx

2、+ xdy = (2 x _ x2 + ：(1 x dxl 02x-x2二 x 2x _ x22_x(1 二X)0 2x -x2dX-x(x)dx、2x - x2分析：解1是利用變量參數(shù)化將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分進行計算的, 選用的參變量為X.因所求的積分為第二類曲線積分，曲線是有方向的，在這種解 法中應(yīng)注意參變量積分限的選定，應(yīng)選用對應(yīng)曲線起點的參數(shù)的起始值作為定積 分的下限。解2：在弧OA上取B(1,1)點,ob的方程為丿2 L 由 0t b, y 由 0-> 1, dx=丄dy. x=11-y2,J-y2BA的方程為ry = y,x = 1 .1ydx xdy 二 °

3、(L2y=+i_2-y 0 2 6 T：1y1y21 2-2dy - 2 0 J - y dy -J - y12.02y2dy -2y 1 - y2 -y1 2y2 y dy.1- y2 L 由 Bt 代 y 由 1t 0, dx= -=dy. -y，1-y2一2( .1 -0) =0.分析：解2是選用參變量為y,利用變量參數(shù)化直接計算所求曲線積分的， 在方法類型上與解1相同。不同的是以y為參數(shù)時，路徑L不能用一個方程表示, 因此原曲線積分需分成兩部分進行計算，在每一部分的計算中都需選用在該部分 中參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解 3： OA的參數(shù)方程為 x = 1 cos：, y = sin

4、 , L 由 O ； B A,二由：；0,dx = -sin ： d v, dy = cos v d K0ydx xdy 二_sin2 . 二in - (1 cosb)cosrd)-cos： - cos2d-1=(-sin -?sin2日)；=0.解4: OA的極坐標(biāo)方程為r =2cosp因此參數(shù)方程為2兀x = r cos v - 2 cos 匕 dy 二 r sin- 2sin cos , L 由 O ； B ； A,二由 0,2dx = -4sin v cos)d 亠 dy = 2(cos2 v - sin2 旳 d Aydx xdy 二8sin2cos2 丁 4cos2 丁(cos2

5、丁 - sin2 丁)d丁 l2*1 TTQ d -p=4 23cos2 二 4cos4 rd= 4(3 4 - -) = 0.02 24 2 2兀分析：解3和解4仍然是通過采用變量參數(shù)化直接計算的?？梢娨粭l曲線 的參數(shù)方程不是唯一的，采用不同的參數(shù)，轉(zhuǎn)化所得的定積分是不同的，但都需用對應(yīng)曲線起點的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解5:添加輔助線段AO，利用格林公式求解。因p =y,Q=X,-"-仁 0,于是 exdyydx xdy 二- Odxdy,L AOD0而勺 ydx + xdy = J20dx = 0,AO故得 ydx xdy 二： 八 =0.LL AO AO分析：在利用格林

6、公式- P(x, y)dx Q(x, y)dy二(-Q -dxdy將所求曲線 LD ex cy積分轉(zhuǎn)化為二重積分計算時，當(dāng)所求曲線積分的路徑非封閉曲線時，需添加輔助曲線，采用“補路封閉法”進行計算再減去補路上的積分，但P, Q必須在補路后的封閉曲線所圍的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 L是D的正向邊界曲線。解5中添加了輔助線段AO,使曲線L AO為正向封閉曲線解6：由于P二y, Q二x,衛(wèi)二蘭二1,于是此積分與路徑無關(guān), excy(2,0) 2Q：PD內(nèi)L、L、:x: yydx xdy = ydx xdy ydx xdy = o 0dx = 0. lOA'分析：由于P, Q在閉區(qū)域D上應(yīng)具有

7、一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在因此所求積分只與積分路徑的起點和終點有關(guān)，因此可改變在L上的積分為在OA上積分，注意O點對應(yīng)L的起點。一般選用與坐標(biāo)軸平行的折線段作為新的積分路徑，可使原積分得到簡化。解7：由全微分公式y(tǒng)dx xdy二d(xy),.t(2,0)(2,0)ydx + xdy = J d(xy)=xy =0.J J'(0,0) ' “ 7 (0,0)L分析：此解根據(jù)被積表達式的特征，用湊全微分法直接求出例二.計算曲線積分： (z y)dx (x z)dy - (x - y)dz,其中C是曲線Ck 2 亠 2”x +y =1,x - y + z= 2,從z軸正向往z軸負向看C的方

8、向是順時針的解1:設(shè)二表示平面x - y z =2上以曲線L為邊界的曲面，其中匕的正側(cè)與L的正向一致，即3是下側(cè)曲面，匕在xoy面上的投影區(qū)域Dxy : x2 y 1.由dydzdzdxdxdydxdzz- yX zx y斯托克斯公式斗(z _y)dx + (x _z)dy +(x _ y)dz = JJCX=2 i dxdy 二-2 i dxdy 二 -2 二.IDxy解2：利用兩類曲面積分間的聯(lián)系，所求曲線積分了可用斯托克斯公式的另cos-cos :cos:X-y-zz yx -zx ydSI形式求得出q(z_y)dx+(x_z)dy+ (x_y)dz = JJC=(0 0 2cos )d

9、S,y而平面戈：xy+z = 2的法向量向下，故取n= -1,1,一1, cos 了 =卓,&32 - 2.1 (-1)2 1dxdyx2 y2 分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計算的。在利用斯托克斯公式Pdydz dzdx dxdy一 =q Pdx 十 Qdy + Rdz 計算 czL時首先應(yīng)驗證函數(shù)P,Q, R在曲面連同邊界L上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且L的 正向與二的側(cè)符合右手規(guī)則。在計算空間曲線積分時，此法也是常用的。解3：將積分曲線用參數(shù)方程表示，將此曲線積分化為定積分。設(shè)x = cos t y = si nr,貝 U z = 2 -x y

10、= 2 -cos v si n v, v 從 2 ： 0.：(z _ y)dx (x _ z)dy (x _ y)dzC0(2-cosR(-sin j) (2cos)-2sin v)cos)2二(cos v - sin)(sincos jdv2 二 22(sinv cosv)-2cos v-cos2dr2 二2sin v -1 - cos2rd v - -2-.例三.計算q(x2 + y2 +2z)ds,其中卩為曲線*rx2 + y2 + z2 = & + y + z = 0.R2,(1)解1:由于當(dāng)積分變量x,y,z輪換位置時，曲線方程不變，而且第一類曲線積分與弧的方向無關(guān)，故有22

11、21222Rds 二 y ds 二 z ds (x y - z )dsds.3 3由曲線是球面x2 y2 z2 = R2上的大圓周曲線，其長為2二R.故2 4(x2 y2)dsR2 2R R3.3 3由于關(guān)于原點對稱，由被積函數(shù)為奇函數(shù)，得NdS = 0.于是:(x2 y2 2z)ds =4 二R3.r3解2：利用在丨上，x 2、2 ? y2 Z = R2，原式=:(x2 y2 z2 _z2 2z)ds = R2、ds _ z2ds 2 zds rr r r再由對稱性可得勺Z2ds = 2rR （同解1），于是 r (x y )2Rj43上式=R2 2二R2R 2 0 R3.33分析：以上解1

12、解2利用對稱性，簡化了計算。在第一類曲線積分的計算中，當(dāng)積分變量在曲線方程中具有輪換對稱性（即變量輪換位置，曲線方程不變） 時，采用此法進行計算常常是有效的。+ y2 =1上在上半平面內(nèi)從92 例四.求（略轡,其中L為橢圓曲線以1）L x + yA(-2,0) > B(4,0)的弧。解：添加輔助線I為x2 y2二；2的順時針方向的上半圓周以及有向線段Ac, db，其中；是足夠小的正數(shù)，使曲線£ y = 2包含在橢圓曲線 屮宀1內(nèi)。由于:yK x2 y2)2 2x -y由格林公式，有.4- .AC-DB 巾設(shè) y - ；sin H x - ； cosv,有ydx - xdy :2

13、 2 一 2 2 一c。,2 . 2ac x y=0.于是DB X yydxxdyydx - xdy _J 2 422 42 il x y i x y22 RG爲(wèi)。乂 1(_x)2dxx 一一m 0 R2-x2Rdx：2R R2-x2分析：利用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的， 但必須要考慮被積 函數(shù)和所考慮的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件。由于本題中在(0,0)點附近p 21 2, Q 亍冷無定義，于是采用在橢圓內(nèi)部(0,0)附近挖去一個小圓，x yx y使被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域上滿足格林公式條件。這種采用挖去一個小圓的方法是 常用的，當(dāng)然在內(nèi)部挖去一個小橢圓也是可行的。同時在用格林公式時

14、，也必須 注意邊界曲線取正向。例五.求八分之一的球面x2 y2 z R2, x _ 0, y _ 0, z _ 0的邊界曲線的 重心，設(shè)曲線的密度卜-1.解：設(shè)邊界曲線L在三個坐標(biāo)面內(nèi)的弧段分別為L-, L2, L3,則L的質(zhì)量為厶灼、3m =:ds = ds = 3R.4 2設(shè)邊界曲線L的重心為(x, y, z)，則L2L3x - xds= xds Ods xds mL m l-2 22R 2R 4R4R由對稱性可知x = y = z =分析：這是一個第一類曲線積分的應(yīng)用題。在計算上要注意將曲線L分成三個部分：L| : y = 0, 0 一 x 一 R, z 二R2 - x2L2 : z =

15、 0, 0 二 x 二 R, y =、R2 - x2,L3 : x = 0, 0乞y乞R, z = JR2=y2.另一方面由曲線關(guān)于坐標(biāo)系的對稱性，利用可 x = y = z簡化計算。.曲面積分的計算方法與技巧計算曲面積分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三換”的法則，將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分、利用“一投，二代，三定號”的法則將第二類曲面 積分轉(zhuǎn)化為求二重積分，利用高斯公式將閉曲面上的積分轉(zhuǎn)化為該曲面所圍區(qū)域 上的三重積分等。例六.計算曲面積分 zdS,其中匕為錐面z = :<x2 - y2在柱體x2 y2冬2x內(nèi) 的部分。解：匕在xOy平面上的投影區(qū)域為D : x2 y2x，

16、曲面匕的方程為z = .$x2y2,(x, y) D.因此!)zdS ： i ll x2 y2 1 (Zx)2(Zy)2dxdy = . 2x2y2dxdy.D對區(qū)域D作極坐標(biāo)變換X = r co曲,口 則該變換將區(qū)域D變成（r, B）坐標(biāo)系中的區(qū)=si門日，JI31(r： :乞 乞?,0 _ r _ 2cost,因此! ! - x2 y2dxdy-D匹 2cosT 28 M 332汕0內(nèi)二嚴(yán)“盲32分析：以上解是按“一投,二代，三換”的法則，將所給的第一類曲面積分化為二重積分計算的?！耙煌丁笔侵笇⒎e分曲面3投向使投影面積不為零的坐標(biāo) 面?！岸笔侵笇⒇暗姆匠滔然癁橥队懊嫔蟽蓚€變量的顯函數(shù)，

17、再將這顯函數(shù) 代入被積表達式?！叭龘Q”是指將S換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的 曲面面積元素，即dS= +（乞）2 +（邑）2dxdy,或dS = .1 + （學(xué)）2 + （學(xué)）2dzdx,或IexcyexczdS =/十(空y)2十(空)2dxdz.上解中的投影區(qū)域在 xOy平面上，因此用代換VdxczdS = J +(%2 +(空)2dxdy,由于投影區(qū)域是圓域，故變換成極坐標(biāo)計算。exdy例七.設(shè)半徑為R的球面匕的球心在定球面x2 y2 z2 = a2 (a 0)上，問R為何值時，球面匕在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？解：不妨設(shè)匕的球心為(0, 0, a)，那么1的方程為x2 y

18、2 (z - a)2 = R2,它與定球面的交線為*y2y22z 二 a _2 2-z a ,2 2(z-a)二R_ R2(4a2 _R2)-4a22a.設(shè)含在定球面內(nèi)部的匕上那部分球面ii在xOy面上的投影區(qū)域為D，那么2 2 2D : x2 y2 _ R (4a 2 R),且這部分球面的方程為4az = a _ R2 _ x2 _ y2, (x, y) D.則二的面積為.J (zx)2D(Zy)2dxdy = RDdxdyR2 _x2 _y22 -R 4a2-R2=R dr 2a0 0rdr- R2 -r2V4aR22a0= 2R22a - R2a以下只需求函數(shù)S(R) =2”：R2空 R

19、在0,2a上的最大值。2a由令 S(R) =2二(2R3 R24 a4a石)P得唯一駐點RP且sp.由問4a4a題的實際意義知S(R)在R盲處取得最大值。即三時，匚i的面積最大，為32 2 a二.27分析：本題是第一類曲面積分的應(yīng)用題，在計算中關(guān)鍵是利用了球面的對稱性，和確定了含在定球面內(nèi)部的 匕上那部分球面11在xOy面上的投影區(qū)域D。在此基礎(chǔ)上，按上題分析中的“一投，二代，三換”的法則即可解得結(jié)果。例八.計算曲面積分ii(2x - z)dydz - zdxdy,其中S為有向曲面Sz =x2 y2 (0乞z叮)，其法向量與z軸正向的夾角為銳角。1:設(shè)D yz, Dxy分別表示S在yoz平面，

20、xoy平面上的投影區(qū)域，則,I i(2x z)dydz zdxdyS22z)dydz 亠 I i(x y )dxdyDxy2I2-.(2 z - y z)( -dydz)亠！ 1 (-2 . z - yDyzDyz-4 111 zy2dydz 亠 ii(x2y2)dxdy.DyzDxy其中！ ! -：z-y2Dyz1 1 ,2 4dydzdy .y2 z - y dz 310(_y22)Sy令 y =sint，11 丨 z - y2dydz = 4 2 cos4tdt 二-Dyz3所以.(x2Dxyiy )dxdy 二 o dr rdrTt JII i(2x z)dydz zdxdy - -4

21、s42分析：計算第二類曲面積分，若是組合型，常按“一投,二代，三定號”法則將各單一型化為二重積分這里的 “一投”是指將積分曲面匕投向單一型中已指定的坐標(biāo)面?！岸笔侵笇⒇暗姆匠滔然癁橥队懊嫔蟽蓚€變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達式?！叭ㄌ枴笔侵敢狼娑亩▊?cè)向量，決定二重積分 前的“+”，“-”符號，當(dāng)三的定側(cè)向量指向坐標(biāo)面的上(右，前)方時，二重 積分前面取“+”，反之取“-”。解2:利用dS二業(yè)COSGdzdxcos :CO?化組合型為單一型Il(2x z)dydz zdxdy 二(2x z)SSCOScoszdxdy.因S的法向量與z軸正向的夾角為銳角，取n二-2x,-2y,1,

22、故有0 = -2x,cos /于是原式二(2x z)(-2x) zdxdyS二 -4x2 _2x(x2 y2) (x2 y2)dxdy.X2 y2 辺因為 -2x(x2 y2)dxdy =0,所以x2 y2!上式=-4x2 (x2 y2)dxdyx2妒藝2- , 1 2 2 . 2=4 0J -4r cos) r )rdrji2分析：計算第二類曲面積分，若是組合型，也可利用公式ds二過，先化組合型為統(tǒng)一的單一型，再按“一投，二代，三cos ： cos - cos定號”法則將單一型化為為二重積分求得。解3:以S,表示法向量指向z軸負向的有向平面z = 1(x2y21)，D為S1在 xoy平面上的

23、投影區(qū)域，則i i(2x z)dydz zdxdy 二 (_dxdy)二-二.S1D設(shè)I表示由S和Si所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式得 - (2x z)dydz zdxdy - -(2 1)dvS SiI 1= -3；0 0rdr *dz = -6兀 J；(r _r3)dr3-一.224r r 16二 024 0因此ii(2x z)dydz zdxdyS3=一一兀2FP FQ FR分析：利用高斯公式 i i Pdydz Qdzdx Rdxdy =()dxdydz，-._ x_y _z可將曲面積分化為三重積分求得。但必需滿足P,Q, R在閉區(qū)域I上有一階連續(xù) 的偏導(dǎo)數(shù)，二是邊界曲面的外側(cè)。本題中

24、的曲面 S不是封閉曲面，故添加了 S， 使S Si為封閉曲面，并使S Si的側(cè)符合高斯公式對邊界曲面的要求。例九：計算曲面積分I = x(8y 1)dydz 2(1 - y2)dzdx-4yzdxdy,其中二是由 yz = Jv _11 吒 v 吒 3曲線產(chǎn)vV 13,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量與 y軸正向的x =0夾角恒大于.解：設(shè)£ :丿x'+z2蘭2,表示y = 3上與y軸正向同側(cè)的曲面，由龍和咅所圍y=3立體記為“由高斯公式得I l x(8y 1)dydz 2(1-y2)dzdx-4yzdxdy 二dxdyd乙因此 I 二 dxdydz- x(8y 1)dydz 2(1 - y2)dzdx-4yzdxdy.由于匕在xOz面上的投影區(qū)域為 D : x2 z 2.注意到11在xOz面，yOz面上的投影不構(gòu)成區(qū)域，且在 二1上y =3,從而門：x2 z2 仁y乞3,(x, y