可靠性和可靠性靈敏度分析的MonteCarlo數(shù)值模擬法

1、授課老師：黃賢振授課老師：黃賢振機械系統(tǒng)是指由多個機械根本要素如機械零、部件，機構，機機械系統(tǒng)是指由多個機械根本要素如機械零、部件，機構，機器等組成的，可以完成所需動作器等組成的，可以完成所需動作( (或動作過程或動作過程) )，實現(xiàn)動作的傳，實現(xiàn)動作的傳遞和力的變換以及機械能的轉化和利用的裝置。遞和力的變換以及機械能的轉化和利用的裝置。 1 機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)2 機械可靠性機械可靠性應力分析應力分析應力分布參數(shù)應力分布參數(shù)強度分析強度分析 強度分布參數(shù)強度分布參數(shù) 載荷載荷分布參數(shù)分布參數(shù)機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)構件分布參數(shù)構件分布參數(shù)機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)性能分布參數(shù)性能分布參數(shù)機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)構件分布參

2、數(shù)構件分布參數(shù) f(x)fR(xR) fS(xS) x機械可靠性模型機械可靠性模型應力是指對產品功能有影響的各種因素，比方機械應力、變形、磨損等。強度是指產品承受應力的才能，比方機械強度、剛度、抗裂度等。假定機械系統(tǒng)的強度隨機變量 xR，應力隨機變量為 xS，機械系統(tǒng)極限狀態(tài)函數(shù)（功能函數(shù)）為(,)RSRSZg xxxx極限狀態(tài)的定義為：整個機械系統(tǒng)的一部分超過某一特定狀極限狀態(tài)的定義為：整個機械系統(tǒng)的一部分超過某一特定狀態(tài)就不能滿足設計規(guī)定的某一功能要求，此特定狀態(tài)為該功態(tài)就不能滿足設計規(guī)定的某一功能要求，此特定狀態(tài)為該功能的極限狀態(tài)。能的極限狀態(tài)。0(,)00RSZg xx失效狀態(tài)極限狀態(tài)

3、可靠狀態(tài)2 機械可靠性機械可靠性xSdxS應力xS落在小區(qū)間dxS內，同時強度xR小于應力xS的概率為根據可靠度的定義，對于應力xS所有的可能值強度xR均小于應力xS的概率，及事件(xRxS)的邊緣概率就是機械系統(tǒng)的可靠度(對上式的求和)2 機械可靠性機械可靠性(0)( )( )d d()()()()SxfRSSSRRRSr sRSSSSPP Zfr fsr sfxfx dxdxFxfx dx(0)()()1()()RfRRSSSRSRRRRxPP Zfxfx dxdxF xfx dx同理，也可以求得失效概率的另一種表達式2 機械可靠性機械可靠性具有n設計變量的機械系統(tǒng)的功能函數(shù)可以表示為12

4、( )( ,.,)nZgg x xxx那么極限狀態(tài)方程g(x1, x2, , xn)=0將構造的根本隨機變量空間分為失效域和可靠區(qū)域兩部分。2 機械可靠性機械可靠性12f1212( ) 0()()()d ddnXXXnngPfx fxfxx xx x式中, f(xi) (i=1, 2, , n)為隨機變量xi的概率密度函數(shù)。Monte Carlo 可靠性分析方法又稱隨機抽樣法、概率模擬法或統(tǒng)計試驗法。該方法是通過隨機模擬或者說統(tǒng)計試驗來進展構造可靠性分析的。由于它是以概率和數(shù)理統(tǒng)計理論為根底的，故被無理學家以賭城Monte Carlo來命名。3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析3

5、Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析上式表明樣本均值 是依概率收斂于母體的均值 的。3.1 Monte Carlo 模擬的理論根底模擬的理論根底3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析3.2 Monte Carlo 可靠性分析的原理與計算公式可靠性分析的原理與計算公式1. Monte Carlo 方法求解失效概率估計值的計算公式方法求解失效概率估計值的計算公式失效概率可以改寫成下式所示的失效域指示函數(shù)IF(x)的數(shù)學期望形式：f1212( ) 01212( ,)d dd( )( ,)d ddE( )nnngFnnFRPfx xxx xxIfx xxx xxI XxXxx式中，

6、為失效域指示函數(shù)；Rn為n維變量空間；E.為數(shù)學期望算子。1,( )0,FxFIxxF3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析失效概率為失效域指示函數(shù)的數(shù)學期望，根據大數(shù)定律，失效域指示函數(shù)的數(shù)學期望可以有失效域指示函數(shù)的樣本均值來近似。即隨機變量的結合概率密度函數(shù)fX(x)抽取N個樣本xj(j=1, 2, , N), 落入失效域F內樣本點的個數(shù)Nf與總樣本點的個數(shù)N之比即為失效概率的估計值。 f11()NfFjjNPINNx(1)2. Monte Carlo 失效概率估計值的方差分析失效概率估計值的方差分析ff11()()NFjFjjE PEIE IPN xx3 Monte Carl

7、o 可靠性分析可靠性分析由上式可知， ，即為Pf的無偏估計ffE PPff11()NFFjjE PIIPNxff11()()NFjFjjE PEIE IPN xx3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析失效概率估計值的方差可以通過對式(1)兩邊求方差得如下：f21111VarVar()Var()jxNNFjFjjjPIINNxx獨立f1VarVar( )FPINx(2)3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析？3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析f11()NFjjPINxf11VarVar()NFjjPINxf211VarVar()NFjjPINxf1VarVar(

8、)FjPINx2f1Var()1ffPPPNfVar1Cov()(1)ffffPPPE PNPxj相互獨立根據隨機變量的分布形式和參數(shù)，由隨機樣本的產生方法產生N組隨機樣本向量的樣本xj=(xj1, xj2, , xjn) (j=1, 2, , N)。 將隨機向量樣本xj代人極限狀態(tài)方程，并根據狀態(tài)指示函數(shù)IF(xj)進展累加。 3 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析常見分布隨機數(shù)生成函數(shù)的調用格式常見分布隨機數(shù)生成函數(shù)的調用格式,0.577.6XXXXXabb,0.577.6XXXXXabb型極小值分布由均值和方差求型極小值分布的分布參數(shù)mu -mean parameter sig

9、ma -standard deviation parameter mu -location parametersigma -scale parameter,0.577.6XXXXXabb5 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析5 Monte Carlo 可靠性分析可靠性分析采用向量運算代替循環(huán)進步Matlab計算效率4 可靠性靈敏度可靠性靈敏度可靠性靈敏度定義為根本隨機變量分布參數(shù)的變化引起失效概率變化的比率，在數(shù)學上可靠性靈敏度是由失效概率Pf對根本隨機變量分布參數(shù)x的偏導數(shù)予以表達，即?？煽啃造`敏度反響了根本變量分布參數(shù)對失效概率的影響程度，無量綱正那么化的可靠性靈敏度可以給出根本

10、變量分布參數(shù)對可靠度的重要排序。5 Monte Carlo 可靠性靈敏度分析可靠性靈敏度分析可靠性靈敏度為失效概率 Pf 對基本隨機變量 xi 的分布參數(shù) (i=1, 2, , n; k=1, 2, , mi)，其中mi為第i個變量xi的分布參數(shù)的總數(shù)) 的偏導數(shù)，將失效概率的積分公式對分布參數(shù) 求導數(shù)，便可以得到可靠性靈敏度 如下所示：( )ihx( )ifkxPf( )( ),( )dhhFX iX iPf Xxxf( ) 0( )dyPf Xxxx5.1 Monte Carlo 可靠性靈敏度估計的計算公式可靠性靈敏度估計的計算公式將可靠性靈敏度定義式做如下變換，可使可靠性靈敏度變成數(shù)學期

11、望的形式，之后就可以采用 Monte Carlo 數(shù)值模擬來估計可靠性靈敏度。5 Monte Carlo 可靠性靈敏度分析可靠性靈敏度分析( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )1( )( )( )( )iiiniifkkkxxxFFkkRxxPffdfdffIfIfdEff XXXXXXXXXxxxxxxxxxxxxxxf1212( ) 01212( ,)d dd( ,)d ddnnngFnnRPfx xxx xxfx xxx xx XxXI( )( )1()1( )()iijNfFjkkjxjxPIfNfXXx xxxxxj是按結合概率密度函是按結合概率密

12、度函數(shù)數(shù)fX(x)抽取抽取N個樣本中個樣本中的第的第j個樣本。個樣本。5 Monte Carlo 可靠性靈敏度分析可靠性靈敏度分析當 x為相互獨立的n維正態(tài)隨機變量時12121112( )( )1211( )()()()( )( )()()()()()niiiiiniXXXnkkxxXiXXXiXiXnkxfxfxfxffxfxfxfxfxfxXx( )( )( )1( )1( )()()1( )()( )( )()1( )iiiiijiiijNXifFjFjkkkjxjxXixNXiFjkjXixfxPIIfENffxfxINfxXXx xx xxxxxx可靠性靈敏度為5 Monte Car

13、lo 可靠性靈敏度分析可靠性靈敏度分析2. Monte Carlo 可靠性靈敏度估計的方差分析可靠性靈敏度估計的方差分析對可靠性靈敏度估計值計算表達式兩邊求數(shù)學期望 f( )( )1,( )1()jNFhhjX ijX iIPfEENfXXx xxxx由于樣本點xj與母體x獨立同分布，所以可以用樣本的均值近似代替總體的期望，于是可以得到Monte Carlo 可靠性靈敏度分析結果的數(shù)學期望為 ff( )( )( ),( )( )()FhhhX ijX iX iPIfPEEfXXxxx故Monte Carlo 可靠性靈敏度估計值為無偏估計。5 Monte Carlo 可靠性靈敏度分析可靠性靈敏度分析用樣本方差近似代替母體方差，可得Monte Carlo 可靠性靈敏度估計值得方差如下22ff( )( )( )1,()0( )11Var1()jNjhhhjX ijX iX iI yPfPNNfXXx xxxx而估計值得變異系數(shù)為fffff( )( )( )( )( ),CovVarVarhhhhhX iX iX iX iX iPPPPPE22()1( )exp22XXXXxfx22( )( )( )11( )XXXXXXXXXXXXXfxxfxfxxfxkk