第十講閱讀理解題專題

1、中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座第十講閱讀理解題專題【例1】2010,朝陽，一模問題：如圖1，在等邊三角形 ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2 , PB, PC=1.求/ BPC度數(shù)的大小和等邊三角形 ABC的邊長.李明同學(xué)的思路是：將 BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）.連接PP',可得 P' PB是等邊三角形，而 PP' A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）.所以/ AP ' C=150 °，而/ BPC= / AP ' C=150。.進(jìn)而求出等邊 ABC 的邊長為請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖ABC

2、D的邊長.3,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且【思路分析】首先仔細(xì)閱讀材料，問題中小明的做法總結(jié)起來就是通過旋轉(zhuǎn)固定的角度將已 知條件放在同一個（組）圖形中進(jìn)行研究。旋轉(zhuǎn)60度以后BP就成了 BP', PC成了 P'A,借助等量關(guān)系 BP'=PP'，于是 APP'就可以計算了。至于說為什么是60°,則完全是因?yàn)榇髨D形是等邊三角形，需要用60度去構(gòu)造另一個等邊三角形?？赐赀@個，再看所求的問題，幾乎是一個一模一樣的問題，只不過大圖形由三角形變成了正方形。那么根據(jù)題中所給的思路，很自然就會想到將 BPC旋轉(zhuǎn)90度看看行不行旋轉(zhuǎn)90度之后，成功將 PC挪

3、了出來，于是 很自然做AP'延長線，構(gòu)造出一個直角三角形來， 于是問題得解。說實(shí)話如果完全不看材料， 在正方形內(nèi)做輔助線，當(dāng)成一道普通的線段角計算問題也是可以算的但是借助材料中已經(jīng)給出的旋轉(zhuǎn)方法做這道題會非常簡單快捷。大家可以從本題中體會一下領(lǐng)會材料分析方法的重要性所在?！窘馕觥?1)如圖，將 BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn) 90 °，得 BP ' A，則 BPCA BP' A . AP ' =PC=1 , BP=BP連結(jié)P P'，在Rt BP' P中,BP=BP ' =，/ PBP' =90P P' =2，/ BP&#

4、39; P=45在厶AP ' P中,數(shù)有如下關(guān)系:，即 AP '2 + PP'2 = AP2 . AP ' P是直角三角形，即/ A P 'P=90 ° . / AP ' B=135 ° . / BPC= / AP ' B=135 ° .(2)過點(diǎn)B作BE丄AP '交AP '的延長線于點(diǎn) E. / EP 'B=45 ° OA EP' =BE=1. AE=2.在Rt ABE中，由勾股定理，得 AB= . / BPC=135。，正方形邊長為I. - N -liSAW【例2

5、】2010,大興，一模若八是關(guān)于的一元二次方程"的兩個根，則方程的兩個根'和系我們把它們稱為根與系數(shù)關(guān)系定理。如果設(shè)二次函數(shù) _ <"1 ，'-7_1的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為1廣。利用根與系數(shù)關(guān)系定理我們又可以得到 A、B兩個交點(diǎn)間的距離為:請你參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題：設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為 二亠丄-亠，拋物線的頂點(diǎn) 為：，顯然二匸T為等腰三角形。（1）當(dāng)一丄I為等腰直角三角形時，求11' - 口（2） 當(dāng)-1 /為等邊三角形時，丁。（3） 設(shè)拋物線丁 n 一與.軸的兩個交點(diǎn)為*、，頂點(diǎn)為，且 7'-IJ| 

6、9;，試問 如何平移此拋物線，才能使! > 1 J ？【思路分析】本題也是較為常見的類型，即先給出一個定理或結(jié)論，然后利用它們?nèi)ソ鉀Q一些問題。題干中給出拋物線與X軸的兩交點(diǎn)之間的距離和表達(dá)式系數(shù)的關(guān)系，那么第一問要求'1 取何值時厶ABC為等腰直角三角形于是我們可以想到直角三角形的性質(zhì)就是斜 邊中線等于斜邊長的一半。斜邊中線就是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而斜邊恰好就是兩交點(diǎn)的距離。于是將爲(wèi)1"作為一個整體，列出方程求解。第二問也是一樣，把握等邊三角形底邊與中線的 比例關(guān)系即可第三問則可以直接利用第一問求得的值求出K，然后設(shè)出平移后的解析式，使其滿足第二問的結(jié)果即可。注意左右平移是不

7、會改變度數(shù)的，只需上下即可【解析】.解：當(dāng)一-也：-為等腰直角三角形時，過-作丄，垂足為二，則丄 -拋物線與 軸有兩個交點(diǎn)，：，又當(dāng)'為等邊三角形時，汀- L即以-4 = 4,因?yàn)橄蜃蠡蛳蛴移揭茣r，一心匚的度數(shù)不變，所有只需要將拋物線一向上 或向下平移使，然后向左或向右平移任意個單位即可.設(shè)向上或向下平移后的拋物線解析式為.平移后.-L '' I''2拋物線11向下平移八個單位后，向左或向右平移任意個單位都能使 -的度數(shù)由變?yōu)椤纠?】2010,房山，一模小明遇到一個問題：如圖1,正方形中，I、；、分別是和邊上靠近 的等分點(diǎn)，連結(jié)、丄亡、'、丄，形

8、成四邊形I，r'7- 求四邊形-lJ"- 與正方形的面積比（用含丿的代數(shù)式表示）小明的做法是：先取亠，如圖2，將一一丄繞點(diǎn).順時針旋轉(zhuǎn)，一至一】，再將一丄一工 繞點(diǎn)山逆時針旋轉(zhuǎn)丿一至二：由，得到1個小正方形，所以四邊形與正方形-也（一的面積比是匚;然后取二-，如圖3,將繞點(diǎn)：順時針旋轉(zhuǎn)"一至丄*'，再將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)廠 至,得到-個小正方形，所以四邊形 - 與正方形- - 的面積42比是，即；請你參考小明的做法，解決下列問題：（1）在圖4中探究時四邊形'八與正方形：-'啟 的面積比（在圖4上畫圖并直接寫出結(jié)果）；（2）圖5是矩形紙片剪去一個小

9、矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）S8【思路分析】本題屬于典型的那種花10分鐘讀懂材料畫1分鐘就可以做出來題的類型。材料給出的方法相當(dāng)精妙，考生只要認(rèn)真看過去并且理解透這個思路，那么不光是這道題可以做，以后碰見類似的題目都可以用這種方法。材料中所給方法就是將周邊的四個三角形其中的兩個旋轉(zhuǎn)90 °,將三角形放在矩形當(dāng)中去討論面積。事實(shí)上無論是幾等分點(diǎn)，所構(gòu)造出 來的四個小三角形 AMD, ABN， BPC， CQD都是全等的，并且都是 90度，那么他 們旋轉(zhuǎn)以后所對應(yīng)的就是兩個矩形，如圖三中的BN'PC和CM'DQ。而矩形

10、的面積恰好和中間正方形的面積有聯(lián)系（想想看，是怎樣用 N等分點(diǎn)去證明面積比例的）于是順理成章當(dāng)N等于4的時候，去構(gòu)造一個類似的網(wǎng)格，第一問就出來了。至于第二問和裁剪問題沾點(diǎn)邊，完全 就是這個技巧方法的逆向思考，重點(diǎn)就在于找出這個多邊形是由哪幾部分構(gòu)成于是按下圖,連接BC，截外接矩形為兩個全等的直角三角形，然后旋轉(zhuǎn)即可。說白了，這種帶網(wǎng)格的裁剪 題，其實(shí)最關(guān)鍵的地方就在于網(wǎng)格全是平行線，利用平行線截線段的比例性質(zhì)去找尋答案?！窘馕觥緼四邊形'a '上與正方形的拼接后的正方形是正方形 二，.£面積比是：'.【例4】2010,海淀，一模閱讀：如圖 1,在和中,乙ES

11、F -，AB = DE= a, SC - EF 無估爲(wèi)），占、°、°、衛(wèi)四點(diǎn)都在直線皿上，點(diǎn)E與點(diǎn)&重合.連接-一、J ,我們可以借助于'-和卜的大小關(guān)系證明不等式：廠+；，_ ? -（八門）。證明過程如下：.BC = h = EE = tT、= b 茂£二1血佩二丄-吵.八. I , r。d)b > 丄g)口 即-'.護(hù)-血A砒-a1 .才十護(hù)：2邊.日倒 BC m圖1解決下列問題 現(xiàn)將沿直線門向右平移，設(shè)'，且二。如圖2,當(dāng)-丄一二時,。禾U用此圖，仿照上述方法，證明不等式：'：二八L ）。（2）用四個與 丄亠-全

12、等的直角三角形紙板進(jìn)行拼接，也能夠借助圖形證明上述不等式。請你畫出一個示意圖，并簡要說明理由【思路分析】本題是均值不等式丄1 一二“的一種幾何證明方法。材料中的思路就是利用兩個共底三角形的面積來構(gòu)建不等式，利用''1來證明。其中需要把握的幾個點(diǎn)就是（ba）是什么，以及如何通過（b a）來造出：' '。首先看第一問說要平移 DEF，在平移過程中，DE的長度始終不變,EF垂直于M的關(guān)系也始終不變。那么此時（b-a）代表什么？ 自然就是BD和ED之和了。于是看出K值。接下來就是找那兩個可以共底的三角形，由于材料所給提示，我們自然想到用BD來做這個底，而高自然就是 AB

13、和EF。于是連接AD , ABD和厶BDF的面積就可以引出結(jié)果了。第二問答案不唯一，總之就是先調(diào)整出（ba）可以用什么來表達(dá)，然后去找b和a分別和這個（b a）的關(guān)系，然后用面積來表達(dá)出 一 的式子就可以了 ，大家可以繼這個思路多想想.【解析】k = - ' 證明：連接炭)=丄(b 處 可得U撲D 皿口扭2?-町 嘔詁BD侃十瓠)4扭) b A 口。 5.1一一I|-,4(力-町U丄町3厲)即.勁一莊2期-心.材+滬 2觀.(2)延長BA、FE交于點(diǎn)I. ,務(wù)闕強(qiáng)3論膊ABC Dq =4丄吃2二加b四個直角三角形的面積和大正方形的面積' " r，' O丨，.S

14、嚴(yán)廠【例5】2010,昌平，一模。將圖1的平行四邊形用一定方法可分割成面積相等的八個四邊形，如圖2,再將圖2中的八個四邊形適當(dāng)組合拼成兩個面積相等且不全等的平行四邊形°(要求：無縫隙且不重疊)請你參考以上做法解決以下問題：(1) 將圖4的平行四邊形分割成面積相等的八個三角形；圖(2)將圖5的平行四邊形用不同于(1)的分割方案，分割成面積相等的八個三角形，再將2,圖3,用數(shù)字1這八個三角形適當(dāng)組合拼成兩個面積相等且不全等的平行四邊形，類比圖至8標(biāo)明.【思路分析】 這種拼接裁剪題目往往都是結(jié)合在閱讀理解題中考察，結(jié)合網(wǎng)格，對考生的發(fā)散思維要求較強(qiáng)。本題材料中將平行四邊形裁減成8份然后重新

15、組成兩個平行四邊形。要保證平行就需要這些小四邊形的邊長都是平行且相等的。第一問是面積相等， 那么直接利用中點(diǎn)這一個重要條件去做。第二問是分割為能重新組成平行四邊形的三角形，那么就要想如何利用三角形去構(gòu)建平行和相等的關(guān)系呢？于是可以想到平行四邊形的對角線所分的三角形 恰好也就滿足這種條件。于是從平行四邊形的對角線出發(fā)，去拆分出8個小三角形來具體答案有很多種，在此也不再累述?！究偨Y(jié)】這種閱讀理解題是近年來中考題的新趨勢，如果沒有材料直接去做的話，往往得不到思路。但是如果仔細(xì)理解材料中所給的內(nèi)容，那么就會變得非常簡單。這種題的重點(diǎn)不在于考察解題能力，而在于考察分析，理解和應(yīng)用能力。專門去找大量的類似

16、題目去做倒也不 必,而培養(yǎng)審題，分析的能力才是最重要的考生拿到這種題，第一就是要靜下心來慢慢看，切記不可圖方便而草草看完材料就去做題，如果這樣往往冥思苦想半天還要回來看，浪費(fèi)了大量時間。裁剪問題和拼接問題也是經(jīng)常出現(xiàn)在此類問題當(dāng)中的，面對這種題要把握好構(gòu)成那些等量關(guān)系的要素，如中點(diǎn)，N等分點(diǎn)等特殊的元素。綜合來說只要仔細(xì)理解材料中的意圖 那么這一部分的分?jǐn)?shù)十分好拿，考生不用太過擔(dān)心第二部分發(fā)散思考【思考1】幾何模型：條件：如下左圖，匸、是直線同旁的兩個定點(diǎn).問題:在直線'上確定一點(diǎn)廠，使：廠一 的值最小.方法：作點(diǎn)關(guān)于直線'的對稱點(diǎn)"，連結(jié)交'于點(diǎn)'，

17、則廠止的值最小 (不必證明).模型應(yīng)用：(1) 如圖1，正方形 2 的邊長為2，"為'二 的中點(diǎn)/是上一動點(diǎn).連結(jié)二丄, 由正方形對稱性可知，"與匚關(guān)于直線匸對稱.連結(jié)交-于L，則W的最小值是;(2) 如圖2 -的半徑為1，點(diǎn)小二 L 在：-上，_一_】'三，一_ 1',L是-上一動點(diǎn)，則 F占+恥 的最小值是 (3)如圖3,' ,-是丄二內(nèi)一點(diǎn)， 1，、分別是 上的動點(diǎn)，則刊氷周長的最小值是【思路分析】禾U用對稱性解題的例題前兩個圖形比較簡單，利用正方形和圓的對稱性就可以了.第三個雖然是求周長，但是只要將這個題看成是從P點(diǎn)到Q,然后到R再折

18、回來的距離最小，當(dāng)成是那種“將軍飲馬”題目去做就可以了。【思考2】直角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面積相等的矩形，方法如下:請你用上面圖示的方法，解答下列問題：(1) 對任意三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩 形；(2) 對任意四邊形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原四邊形面積相等的 矩形。【思路分析】材料的方法中，如果延長中位線，并且由底邊頂點(diǎn)做中位線的垂線。那么如 下圖，兩個三角形就是全等的，另外一邊也是一樣，所以這種裁減方法就是利用全等來走。 第一問純屬送分，按材料中所給的三角形拆法就可以了。第二問說裁剪梯形，實(shí)質(zhì)上梯形就是由兩個三角形組成的， 所以隨便找一條對角線將梯形拆開，然后按照第一問的思路去做就可以了?！舅伎?】將圖，將一張直角三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,這時DE為折痕， CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿厶CBE的對稱軸EF折疊，這時得到了兩個完全重合的矩形（其中一個是原直角三角形的內(nèi)接矩形