一、矩陣的初等變換與初等矩陣

1、山東財政學(xué)院一、矩陣的初等變換與初等矩陣定義 1.13 ,( )ij m nAa設(shè)則以下三種變換：(1)交換A的兩行(列);(2)用一個非零的數(shù)乘以A的某一行(列);(3) 將A某一行(列)的k倍加到另一行(列)上。 稱為A的初等行(列)變換，通稱初等變換。1.6 矩陣的初等變換例山東財政學(xué)院101( , )10100P i j 定義 1.14 由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩 陣稱為初等矩陣。 一般的，由三種初等變換得到三種初等矩陣，分別記為(1)Eijij),P(i,j)交換 的第、行（列）（得到的初等矩陣計作，演示山東財政學(xué)院(2) 用非零常數(shù)k乘以E的第i行(列),得到的初等矩陣記

2、作( ( ),P i k11( ()11P i kk演示山東財政學(xué)院(3)將E的第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,得到的初等矩陣記作( , ( )P i j k11( , ( )11kP i j k可以驗證，初等矩陣具有以下性質(zhì)：（1）初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣；（2）初等矩陣皆為可逆矩陣，且其逆矩陣仍為同類型的初等矩陣。演示山東財政學(xué)院(1) 對A進(jìn)行一次行初等變換，相當(dāng)于用一個m階的初等矩陣左乘A;(2)對A進(jìn)行一次列初等變換，相當(dāng)于用一個m階的初等矩陣右乘A; 矩陣的初等變換和初等矩陣之間有如下的密切聯(lián)系：A=(a )ijm n設(shè)是矩陣，則定理1.6例山東財政學(xué)院11121312

3、1113212223222123121112132221222322212223121112133333aaaaaaABaaaaaaaaaaaaaaCPaaaaaaaa例：山東財政學(xué)院二、求逆矩陣的初等變換法1. 矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形定義1.15 如果矩陣B可以由矩陣A經(jīng)過有限次初等變換得到，則稱A與B等價。定理1.7 任意矩陣A都與一個形如000rE的矩陣等價，這個矩陣稱為矩陣A的等價標(biāo)準(zhǔn)形。山東財政學(xué)院推論1 12121 212,0.00strstm nAmP PPnQ QQEPPPAQQQ對于任意矩陣存在 階初等矩陣和階初等矩陣使得 推論2 ,0,.00rm nAmPnEQPAQ對于任意矩陣

4、存在 階可逆矩陣 和 階可逆矩陣使得推論3.nnAAE階矩陣 可逆的充要條件是 的等價標(biāo)準(zhǔn)形為山東財政學(xué)院推論4 n階矩陣A可逆的充要條件是A可以表示為有限個初等矩陣的乘積。11212kkAGGG EEGGG A從這兩式可以看出，當(dāng)對矩陣A進(jìn)行有限次初等行變換，將A化為單位矩陣E時，對單位矩陣E進(jìn)行相同的初等行變換，就將E化為1.A2. 求逆矩陣的初等變換法山東財政學(xué)院對矩陣（A, E)做一系列行初等變換，將其左半部分化為單位矩陣E,這時右半部分就是1, ), )AEEA（行 初 等 變 換（1,:2,).AAEnnA E于是 我們可以采用以下方法求將 與 并排在一起，組成一個的矩陣（山東財政學(xué)院1241152.1114AA求例設(shè)1253 A=.13A求例設(shè)4232,115 0123AXAXA求解矩陣方程其中例山東財政學(xué)院11121314111213142122232421222324313233343132333411121314112111221323142431323334