法拉第電磁感應定律動力學能量電荷量的求法

1、第二講 法拉第電磁感應定律的綜合應用一、電磁感應中的動力學問題F=BIL界狀態(tài)v與a方向關系運動狀態(tài)的分析a變化情況F=ma合外力運動導體所受的安培力感應電流確定電源（E，r）這類問題覆蓋面廣，題型也多種多樣；但解決這類問題的關鍵在于通過運動狀態(tài)的分析來尋找過程中的臨界狀態(tài)，如速度、加速度取最大值或最小值的條件等，基本思路是：【例1】如圖所示，AB、CD是兩根足夠長的固定平行金屬導軌，兩導軌間的距離為L，導軌平面與水平面的夾角為，在整個導軌平面內都有垂直于導軌平面斜向上方的勻強磁場，磁感應強度為B，在導軌的 AC端連接一個阻值為 R的電阻，一根質量為m、垂直于導軌放置的金屬棒ab，從靜止開始沿

2、導軌下滑，求此過程中ab棒的最大速度。已知ab與導軌間的動摩擦因數為，導軌和金屬棒的電阻都不計?！窘馕觥縜b沿導軌下滑過程中受四個力作用，即重力mg，支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安，如圖所示，ab由靜止開始下滑后，將是（為增大符號），所以這是個變加速過程，當加速度減到a=0時，其速度即增到最大v=vm，此時必將處于平衡狀態(tài)，以后將以vm勻速下滑ab下滑時因切割磁感線，要產生感應電動勢，根據電磁感應定律： E=BLv 閉合電路AC ba中將產生感應電流，根據閉合電路歐姆定律： I=E/R 據右手定則可判定感應電流方向為aAC ba，再據左手定則判斷它受的安培力F安方向如圖示，其大小為：F安

3、=BIL 取平行和垂直導軌的兩個方向對ab所受的力進行正交分解，應有： FN = mgcos Ff= mgcos由可得以ab為研究對象，根據牛頓第二定律應有：mgsin mgcos-=maab做加速度減小的變加速運動，當a=0時速度達最大因此，ab達到vm時應有：mgsin mgcos-=0 由式可解得【例2】如圖，兩根足夠長的金屬導軌ab、cd豎直放置，導軌間距離為L，電阻不計。在導軌上端并接兩個額定功率均為P、電阻均為R的小燈泡。整個系統置于勻強磁場中，磁感應強度方向與導軌所在平面垂直。現將一質量為m、電阻可以忽略的金屬棒MN從圖示位置由靜止開始釋放。金屬棒下落過程中保持水平，且與導軌接觸

4、良好。已知某時刻后兩燈泡保持正常發(fā)光。重力加速度為g。求： （1）磁感應強度的大小； （2）燈泡正常發(fā)光時導體棒的運動速率?！窘馕觥浚?）設小燈泡的額定電流為I0，有由題意，在金屬棒沿導軌豎直下落的某時刻后，小燈泡保持正常發(fā)光，流經MN的電流為此時金屬棒MN所受的重力和安培力相等，下落的速度達到最大值，有聯立式得 （2）設燈泡正常發(fā)光時，導體棒的速率為v，由電磁感應定律與歐姆定律得聯立式得【答案】（1） （2）【例3】如圖所示，長平行導軌PQ、MN光滑，相距m，處在同一水平面中，磁感應強度B=0.8T的勻強磁場豎直向下穿過導軌面橫跨在導軌上的直導線ab的質量m =0.1kg、電阻R =0.8，

5、導軌電阻不計導軌間通過開關S將電動勢E =1.5V、內電阻r =0.2的電池接在M、P兩端，試計算分析：（1）在開關S剛閉合的初始時刻，導線ab的加速度多大？隨后ab的加速度、速度如何變化？（2）在閉合開關S后，怎樣才能使ab以恒定的速度 =7.5m/s沿導軌向右運動？【解析】（1）在S剛閉合的瞬間，導線ab速度為零，沒有電磁感應現象，由a到b的電流，ab受安培力水平向右，此時瞬時加速度 ab運動起來且將發(fā)生電磁感應現象ab向右運動的速度為時，感應電動勢，根據右手定則，ab上的感應電動勢（a端電勢比b端高）在閉合電路中與電池電動勢相反電路中的電流（順時針方向，）將減?。ㄐ∮贗0=1.5A），a

6、b所受的向右的安培力隨之減小，加速度也減小盡管加速度減小，速度還是在增大，感應電動勢E隨速度的增大而增大，電路中電流進一步減小，安培力、加速度也隨之進一步減小，當感應電動勢與電池電動勢E相等時，電路中電流為零，ab所受安培力、加速度也為零，這時ab的速度達到最大值，隨后則以最大速度繼續(xù)向右做勻速運動設最終達到的最大速度為m，根據上述分析可知：所以m/s=3.75m/s（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿導軌運動，則ab中感應電動勢V=3V由于，這時閉合電路中電流方向為逆時針方向，大小為：A=1.5A直導線ab中的電流由b到a，根據左手定則，磁場對ab有水平向左的安培力作用，大小為N=0.6N所

7、以要使ab以恒定速度m/s向右運動，必須有水平向右的恒力N作用于ab二、電磁感應中的能量問題無論是使閉合回路的磁通量發(fā)生變化，還是使閉合回路的部分導體切割磁感線，都要消耗其它形式的能量，轉化為回路中的電能。這個過程不僅體現了能量的轉化，而且保持守恒，使我們進一步認識包含電和磁在內的能量的轉化和守恒定律的普遍性。分析問題時，應當牢牢抓住能量守恒這一基本規(guī)律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量參與了相互轉化，如有摩擦力做功，必然有內能出現；重力做功，就可能有機械能參與轉化；安培力做負功就將其它形式能轉化為電能，做正功將電能轉化為其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解。【例4】如圖所

8、示，兩根足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ間距離為l =0.5m，其電阻不計，兩導軌及其構成的平面均與水平面成30°角。完全相同的兩金屬棒ab、cd分別垂直導軌放置，每棒兩端都與導軌始終有良好接觸，已知兩棒質量均為m=0.02kg，電阻均為R=0.1，整個裝置處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度B=0.2T，棒ab在平行于導軌向上的力F作用下，沿導軌向上勻速運動，而棒cd恰好能夠保持靜止。取g=10m/s2，問：（1）通過棒cd的電流I是多少，方向如何？（2）棒ab受到的力F多大？（3）棒cd每產生Q=0.1J的熱量，力F做的功W是多少？ 【解析】（1）棒cd受到的安培力棒

9、cd在共點力作用下平衡，則由式，代入數據得I=1A根據楞次定律可知，棒cd中的電流方向由d至c（2）棒ab與棒cd受到的安培力大小相等Fab=Fcd 對棒ab，由共點力平衡知代入數據解得F=0.2N （3）設在時間t內棒cd產生Q=0.1J熱量，由焦耳定律知Q=I2Rt設棒ab勻速運動的速度大小為v，其產生的感應電動勢E=Blv由閉合電路歐姆定律知I由運動學公式知在時間t內，棒ab沿導軌的位移x=vt力F做的功W=Fx綜合上述各式，代入數據解得W=0.4J【答案】（1）1A 由d至c （2）0.2N （3）0.4J【例5】如圖，在水平面上有兩條平行導電導軌、,導軌間距離為，勻強磁場垂直于導軌所

10、在的平面（紙面）向里，磁感應強度的大小為，兩根金屬桿1、2擺在導軌上，與導軌垂直，它們的質量和電阻分別為和、，兩桿與導軌接觸良好，與導軌間的動摩擦因數為，已知：桿1被外力拖動，以恒定的速度沿導軌運動；達到穩(wěn)定狀態(tài)時，桿2也以恒定速度沿導軌運動，導軌的電阻可忽略，求此時桿2克服摩擦力做功的功率?！窘馕觥拷夥ㄒ唬涸O桿2的運動速度為v，由于兩桿運動時，兩桿間和導軌構成的回路中的磁通量發(fā)生變化，產生感應電動勢 感應電流 桿2作勻速運動，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，則 導體桿2克服摩擦力做功的功率 解得 解法二：以F表示拖動桿1的外力，以I表示由桿1、桿2和導軌構成的回路中的電流，達到穩(wěn)定時對桿1

11、有 對桿2有 外力F的功率 以P表示桿2克服摩擦力做功的功率，則有 由以上各式得 【答案】三、電磁感應中的電量問題根據法拉第電磁感應定律，在電磁感應現象中，只要穿過閉合電路的磁通量發(fā)生變化，閉合電路中就會產生感應電流。設在時間內通過導線截面的電量為，則根據電流定義式及法拉第電磁感應定律，得：如果閉合電路是一個單匝線圈（），則.上式中為線圈的匝數，為磁通量的變化量，R為閉合電路的總電阻?？梢姡陔姶鸥袘F象中，只要穿過閉合電路的磁通量發(fā)生變化，閉合電路中就會產生感應電流，在時間內通過導線截面的電量僅由線圈的匝數、磁通量的變化量和閉合電路的電阻R決定，與發(fā)生磁通量的變化量的時間無關。因此，要快速求

12、得通過導體橫截面積的電量，關鍵是正確求得磁通量的變化量。磁通量的變化量是指穿過某一面積末時刻的磁通量與穿過這一面積初時刻的磁通量之差，即。在計算時，通常只取其絕對值，如果與反向，那么與的符號相反。線圈在勻強磁場中轉動，產生交變電流，在一個周期內穿過線圈的磁通量的變化量=0，故通過線圈的電量q=0。穿過閉合電路磁通量變化的形式一般有下列幾種情況：（1）閉合電路的面積在垂直于磁場方向上的分量S不變，磁感應強度B發(fā)生變化時，；（2）磁感應強度B不變，閉合電路的面積在垂直于磁場方向上的分量S發(fā)生變化時，；（3）磁感應強度B與閉合電路的面積在垂直于磁場方向的分量S均發(fā)生變化時，。下面舉例說明：【例6】如

13、圖所示，閉合導線框的質量可以忽略不計，將它從如圖所示的位置勻速拉出勻強磁場。若第一次用0.3s時間拉出，外力所做的功為，通過導線截面的電量為；第二次用時間拉出，外力所做的功為，通過導線截面的電量為，則（ ）A. B. C. D. 解析：設線框長為L1，寬為L2，第一次拉出速度為V1，第二次拉出速度為V2，則V1=3V2。勻速拉出磁場時，外力所做的功恰等于克服安培力所做的功，有，同理 ，故W1>W2；又由于線框兩次拉出過程中，磁通量的變化量相等，即，由，得：故正確答案為選項C?！纠?】如圖所示，空間存在垂直于紙面的均勻磁場，在半徑為的圓形區(qū)域內部及外部，磁場方向相反，磁感應強度的大小均為B

14、。一半徑為，電阻為R的圓形導線環(huán)放置在紙面內，其圓心與圓形區(qū)域的中心重合。當內、外磁場同時由B均勻地減小到零的過程中，通過導線截面的電量_。解析：由題意知：，由【例8】如圖所示，平行導軌置于磁感應強度為B的勻強磁場中（方向向里），間距為L，左端電阻為R，其余電阻不計，導軌右端接一電容為C的電容器?，F有一長2L的金屬棒ab放在導軌上，ab以a為軸以角速度順時針轉過90°的過程中，通過R的電量為多少？【解析】（1）由ab棒以a為軸旋轉到b端脫離導軌的過程中，產生的感應電動勢一直增大，對C不斷充電，同時又與R構成閉合回路。ab產生感應電動勢的平均值 表示ab掃過的三角形的面積，即 通過R的

15、電量 由以上三式解得 在這一過程中電容器充電的總電量Q=CUm Um為ab棒在轉動過程中產生的感應電動勢的最大值。即 聯立得：（2）當ab棒脫離導軌后（電容器對R放電，通過R的電量為 Q2，所以整個過程中通過 R的總電量為： Q=Q1Q2=四、電磁感應中的圖象問題1、定性或定量地表示出所研究問題的函數關系2、在圖象中E、I、B等物理量的方向是通過正負值來反映3、畫圖象時要注意橫、縱坐標的單位長度定義或表達【例9】勻強磁場磁感應強度B = 0.2T，磁場寬度L = 3m，一正方形金屬框邊長ab = l = 1m，每邊電阻r = 0.2， 金屬框以v = 10m/s的速度勻速穿過磁場區(qū)，其平面始終

16、保持與磁感線方向垂直，如圖所示，求：（1）畫出金屬線框穿過磁場區(qū)的過程中，金屬框內感應電流的I-t圖像。（2）畫出ab兩端電壓的Ut圖像?！窘馕觥浚?）線框進入磁場區(qū)時，方向為逆時針，如圖(a)實線abcd所示，感應電流持續(xù)時間 線框在磁場中運動時，無電流的持續(xù)時間 線框穿出場區(qū)時，此電流為順時針方向，如圖(a)虛線abcd所示。若規(guī)定電流方向逆時針為正，則I-t圖線如圖(b)所示：（2）線框進入磁場區(qū)ab兩端的電壓U1 = I1r = 0.5V，線框在磁場中運動時，ab兩端的電壓等于感應電動勢U2 = Blv = 2V， 線框出磁場時ab兩端的電壓，由此得U-I圖線如圖(c)所示?！敬鸢浮咳?/p>

17、上圖所示。二、變B型【例9】如圖甲所示，在水平面上固定有長為m、寬為m的金屬“U”型導軌，在“U”型導軌右側m范圍內存在垂直紙面向里的勻強磁場，且磁感應強度隨時間變化規(guī)律如圖乙所示。在時刻，質量為kg的導體棒以v0=1m/s的初速度從導軌的左端開始向右運動，導體棒與導軌之間的動摩擦因數為，導軌與導體棒單位長度的電阻均為/m，不計導體棒與導軌之間的接觸電阻及地球磁場的影響（取m/s2）。（1）通過計算分析4s內導體棒的運動情況；（2）計算4s內回路中電流的大小，并判斷電流方向；（3）計算4s內回路產生的焦耳熱?！窘馕觥浚?）導體棒先在無磁場區(qū)域做勻減速運動，有代入數據解得 ，導體棒沒有進入磁場區(qū)

18、域。導體棒在1s末已停止運動，以后一直保持靜止，離左端位置仍為 （2）前磁通量不變，回路電動勢和電流分別為后回路產生的電動勢為 V回路的總長度為5m，因此回路的總電阻為電流為 A根據楞次定律可知在回路中的電流方向是順時針方向 （3）前2s電流為零，后2s有恒定電流，焦耳熱為 J【答案】（1）導體棒先在無磁場區(qū)域做勻減速運動，在1s末已停止運動，以后一直保持靜止，離左端位置仍為0.5m； （2）0.2A 順時針方向 （3）0.04J【例9】在豎直向上的勻強磁場中，水平放置一個不變形的單匝金屬圓線圈，規(guī)定線圈中感應電流的正方向如圖1所示，當磁場的磁感應強度B隨時間t如圖2變化時，下圖中正確表示線圈中感應電動勢E變化的是（ ）【答案】A三、轉動型【例9】如圖所示，一導體圓環(huán)位于