可降階的二階微分方程

1、可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程v 型的微分方程型的微分方程v 型的微分方程型的微分方程),(yxfy ),(yyfy 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一、實(shí)例一、實(shí)例例例 1 懸鏈線方程懸鏈線方程 設(shè)有一條質(zhì)量均勻、柔軟且不能伸縮的繩索設(shè)有一條質(zhì)量均勻、柔軟且不能伸縮的繩索, 兩端兩端分別被固定在兩個(gè)不同的位置分別被固定在兩個(gè)不同的位置, 它在重力作用下處于平它在重力作用下處于平衡狀態(tài)衡狀態(tài). 試求繩索在平衡狀態(tài)時(shí)所對應(yīng)的曲線方程試求繩索在平衡狀態(tài)時(shí)所對應(yīng)的曲線方程.背景背景 這是歷史上一個(gè)著名的力這是歷

2、史上一個(gè)著名的力學(xué)問題學(xué)問題, ,它最初是由詹姆斯它最初是由詹姆斯. .伯努伯努利在利在 1690 1690 年提出的年提出的. . 在此之前在此之前, ,伽里略曾關(guān)注過該問題伽里略曾關(guān)注過該問題, , 并猜想并猜想這條曲線是拋物線這條曲線是拋物線, ,但后來發(fā)現(xiàn)但后來發(fā)現(xiàn)是不對的是不對的, ,最后是由約翰最后是由約翰. .伯努利伯努利解決的解決的. . 萊布尼茲將其命名為懸萊布尼茲將其命名為懸鏈線鏈線, ,它在工程中有廣泛的應(yīng)用它在工程中有廣泛的應(yīng)用. .可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)解解 如圖如圖, , 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系HTgsT cos,sin 設(shè)繩索的最低

3、點(diǎn)為設(shè)繩索的最低點(diǎn)為 D, 取取 y 軸通過點(diǎn)軸通過點(diǎn)D 鉛直向上鉛直向上, x 軸軸水平向右水平向右, 且點(diǎn)且點(diǎn) D到原點(diǎn)到原點(diǎn) O 的的距離為一定值距離為一定值a. 由題意由題意,曲線曲線在點(diǎn)在點(diǎn)D處的切線斜率為零處的切線斜率為零. 設(shè)設(shè) M(x,y)為繩索上任一為繩索上任一點(diǎn)點(diǎn), DM 的弧長為的弧長為 s, 繩索的繩索的線密度為線密度為 , 則則.tanHgs 得得代入上式并求導(dǎo)代入上式并求導(dǎo)將將,1,tan02dxysyx ,112yay ., 0)0(,)0(gHayay 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例 2 核廢料的處理問題核廢料的處理問題 將將核廢料

4、核廢料裝在密封的圓桶里沉到水深約裝在密封的圓桶里沉到水深約91米的海里米的海里.問這種處理方法是否安全問這種處理方法是否安全? 安全隱患安全隱患: : (1)圓桶密封性圓桶密封性; ; (2)圓桶破裂圓桶破裂實(shí)驗(yàn)結(jié)論實(shí)驗(yàn)結(jié)論: : (1) 圓桶所受阻力與圓桶所受阻力與圓桶的下沉方位無圓桶的下沉方位無關(guān)關(guān),與下沉速度成正比與下沉速度成正比, 比例系數(shù)比例系數(shù) k=0.12;(2)圓桶圓桶速度超過速度超過12.2米時(shí)米時(shí),圓桶會因碰撞而破裂圓桶會因碰撞而破裂所用常數(shù)所用常數(shù): :圓桶重量圓桶重量 : W=239.456 Kg 海水浮力海水浮力: 1025.94kg/m3圓桶體積圓桶體積: V=0.

5、208m3可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)解解 如圖如圖, , 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系. 0)0()0(, 0)0( vyy圓桶所受的力圓桶所受的力 F =W BD,浮力浮力B=1025.94V=213.396,D=kv=0.12v.根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律 F=ma, 得得 ,22dtydmdtdykBW xOyy可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué))(xpy 設(shè)設(shè),Py 則則特點(diǎn)：特點(diǎn)：. y右右端端不不含含解法：解法：),(. 1yxfy 二、解法二、解法.),(yxP然然后后求求先先求求出出).,(),(PxfPyxfy 化化為為于于是

6、是可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)),(ypy 設(shè)設(shè),dydPpdxdydydpy 則則:)(一一階階方方程程的的代代入入原原方方程程得得到到新新函函數(shù)數(shù)yP特點(diǎn)：特點(diǎn)：.x右右端端不不顯顯含含自自變變量量解法：解法：).,(pyfdydpp ),(. 2yyfy .),(yyP然然后后求求先先求求出出可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)求解例求解例1,112yay . 0)0(,)0( yay.11,),(2pappyxpy 于于是是原原方方程程化化為為則則令令.coshaxay 解得懸鏈線方程為解得懸鏈線方程為.21cosh)(211cosh22

7、222xaayaxayxoxaax 近近似似于于拋拋物物線線懸懸鏈鏈線線方方程程知知當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)，由由注注可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)求解例求解例2.,),(mBWvmkvvyxvy 于于是是原原方方程程化化為為則則令令),1(tmkekBWv 解解得得. 0)0(, 0)0( yy,22dtydmdtdykBW .,91vty然后求出速度然后求出速度求出時(shí)間求出時(shí)間需要令需要令分析分析 .)()(2kmBWekmtkBWytmk 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)另解例另解例2.,),(kvBWvmvvvyyvy 于于是是原原方方程程化化為為則則令令).ln()(2BWkvBWkBWmkmvy 解解得得. 0)0(, 0)0( yy,22dtydmdtdykBW ?91vy求求令令問問 .的精確值的精確值仍難求仍難求答答