點差法求解中點弦問題.

1、點差法求解中點弦問題點差法就是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點坐標(biāo)的時候，利用直線和圓錐曲線的兩個交點，并把交點代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程。用點差法時計算量較少，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時非常有效，但有一個弊端，不能保證直線與圓錐曲線一定有兩個交點，故有時要用到判別式加以檢驗?！径ɡ?1】在橢圓 x2y21（a b 0）中，若直線 l 與橢圓相交于M、 N 兩點，點 P( x0 , y0 ) 是弦a2b 2MN的中點，弦MN所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 kMNy0b2x0a2 .x12y121,(1)a 2b

2、 2證明：設(shè)M、 N 兩點的坐標(biāo)分別為( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，則有(1)(2) ，x2 2y221.( 2)a 2b2得 x1 2x2 2y1 2y2 20.a 2b2y2y1 y2y1b2y2y1y1y22y yyb 2x2x1 x2x1a 2 . 又 kMNx2x1, x1x22x x . k MNxa2 .【定理 2】在雙曲線 x 2y 21（ a 0， b 0）中，若直線 l 與雙曲線相交于M、N 兩點，點 P( x0 , y0 ) 是a 2b2弦 MN的中點，弦 MN所在的直線 l 的斜率為 kMN ，則 kMNy0b2.x0a 2x12y121,(1)(

3、 x, y) 、a 2b 2證明：設(shè) M、 N 兩點的坐標(biāo)分別為( x, y) ，則有1122x22y221.(2)a 2b 22222y2y1y2y1b 2(1)(2)x1x2y1y2，得a 2b20.x2x1x2x1a2 .又 kMNy2y1y1y22 y0y0.kMNy0b 2x2x1,x22 x0x0a2 .x1x0【定理 3】 在拋物線y2mx m0) 中，若直線 l 與拋物線相交于M、N 兩點，點P(x0 , y0 )是弦 MN2 (的中點，弦 MN所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 k MN y0m .證明：設(shè) M、 N 兩點的坐標(biāo)分別為y122mx1 ,(1)( x1 ,

4、 y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，則有22mx2 .(2)y2(1)(2) ，得 y12y2 22m( x1 x2 ).y2y1 ( y2y1 ) 2m.x2x1又kMNy2y1 , y2y12 y0 .kMN y0m .x2x1注意：能用這個公式的條件：（ 1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（ 2）直線的斜率存在 .一、橢圓22x y 1 內(nèi)一點P(2,1)作一條直線交橢圓于A、B 兩點，使線段 AB 被 P 點平分，求此直線的1、過橢圓 164方程【解】法一：如圖，設(shè)所求直線的方程為y 1k(x 2)，代入橢圓方程并整理，得(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2

5、16 0，(*)又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1， y1)， B(x2， y2)，8 2k2 k則 x1 、x2 是 (*) 方程的兩個根，x1 x24k2 1 .x1 x22 k1P 為弦 AB 的中點，24 2k，所求直線的方程24k21 .解得 k 2為 x 2y 4 0.法二：設(shè)直線與橢圓交點為A( x1， y1)， B(x2， y2)，P 為弦 AB 的中點， x1 x2 4， y1 y2 2.又 A、B 在橢圓上，x21 4y21 16， x22 4y22 16.兩式相減，得(x21 x22) 4(y21y22) 0，y1 y2 x1 x21即( x1 x2)(x1 x2 ) 4(y

6、1 y2)(y1 y2 ) 0.x1x24 y1y22，11即 kAB 2. 所求直線方程為y 1 2( x 2) ，即 x 2y 4 0.2、已知橢圓+=1，求它的斜率為3 的弦中點的軌跡方程【解答】解：設(shè)P（ x， y）， A （ x1， y1）， B（ x2， y2 ） P 為弦 AB 的中點， x1+x 2=2x， y1+y 2=2y 則+=1， +=1， 得，=3，整理得： x+y=0 由，解得 x=所求軌跡方程為：x+y=0 （ x）點 P 的軌跡方程為： x+y=0 （ x）；3、（ 2013 秋 ?啟東市校級月考）中心在原點，焦點坐標(biāo)為（0，±5）的橢圓被直線3xy

7、2=0 截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為=1【解答】解：設(shè)橢圓=1（ a b 0），則 a2 b2=50又設(shè)直線3x y 2=0 與橢圓交點為A （x1，y1）， B （x2， y2），弦 AB 中點（ x0， y0） x0=，代入直線方程得y0= 2=，由，得， AB 的斜率 k= ?=? =322=1， a =3b聯(lián)解 ，可得 a2=75， b2=25 ，橢圓的方程為：=1 故答案為：=14、例 1（ 09 年四川） 已知橢圓x2y 21（ a b 0）的左、右焦點分別為 F1 、 F2 ，離心率 e2a 2b 2，2右準(zhǔn)線方程為 x2 .( )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；( )過點 F1 的

8、直線 l 與該橢圓相交于M、N兩點，且 | F2M226F2N |，求直線 l 的方程 .3ec2,x2a2y21 .解：（）根據(jù)題意，得a2a2, b 1, c1 . 所求的橢圓方程為x2.2c（）橢圓的焦點為F1 ( 1,0) 、 F2 (1,0) . 設(shè)直線 l 被橢圓所截的弦MN的中點為 P( x, y) . 由 平 行 四 邊 形 法 則 知 ： F2 M F2 N2F2 P226. 由 |F2M F2N |3得 ：|F2P|26 .( x 1) 2y 226.39若直線 l 的斜率不存在，則lx 軸，這時點P與F1(1,0) 重合， | F2 MF2 N | | 2F2 F1 |

9、4，與題設(shè)相矛盾，故直線l 的斜率存在 . 由 kMNyb2得：yy1 .y21 ( x2x). xa2x1x22代入，得 ( x 1) 2 1 ( x 2x)26 . 整理，得： 9x245x170 .29172.解之得： x，或 x33由可知， x17 不合題意 .x2 ，從而 y1 .ky1.333x 1所求的直線 l 方程為 yx1，或 yx 1.6、（ 2009 秋 ?工農(nóng)區(qū)校級期末）已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點 M ，則點 M 的坐標(biāo)為【解答】解：設(shè)直線與橢圓的交點分別為（x1，y1），（ x2， y2），則，兩式相減，得=0，（y1 y2）（ y1+

10、y 2） = 3（ x1 x2）（ x1+x 2），= 3×，因為直線斜率為3，=3，兩交點中點在直線x=，x1 +x2=1， 3= 3×1÷（ y1 +y2），=所以中點M 坐標(biāo)為（，）故答案為：（，）7、如圖，在 RtDEF 中， DEF90 ,|EF | 2,|EF ED| 5，橢圓 C：x2y 21，以 E、F2a 2b 2為焦點且過點D ，點 O 為坐標(biāo)原點。（）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若點 K 滿足，問是否存在不平行于EF 的直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點M、N且|MK | |NK |，若存在，求出直線 l 的斜率的取值范圍，若不存在，說明理由

11、。OK1 ED . x2y21， K (0,1)y解：（）略：3432D（）分析：|MK | |NK|，EOFx設(shè) MN 的中點為 H ，則 KHMN ，此條件涉及到弦 MN 的中點及弦 MN 的斜率，故用“點差法”設(shè) M (x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), H (x0 , y0 ) ，直線 l 的斜率為 k （ k0) ，則 3x124y12123x224 y2212 由得：3(x1x2 )( x1 x2 )4( y1y2 )( y1y2 )03x04y0 k0 又|MK | |NK |，則KHMN ，y012k1x02k , y03， 點 H (x0 , y0 )，從而解得

12、在橢圓內(nèi)，則x02x02y021k211k1且 k043422、AB是橢圓x2y21 ab0 不垂直于x 軸的任意一條弦，P是AB的中點，O為8已知a2b2橢圓的中心 .求證：直線 AB 和直線 OP 的斜率之積是定值 .證明設(shè) A x1 , y1, B x2 , y2 且 x1x2 ，則 x1 2y121，（1） x2 2y221，（2）a2b2a2b212 得： x12x2 2y12y2 2，a2b2y1y2b2 x1x2，kABy1y2b2 x1x2.x xa2 y yx xa2y y22111212又 kOPy1y2，kABb21，kABkOPb2（定值） .x1x2a2kOPa2二、

13、雙曲線x221、過點 P(4,1)的直線 l 與雙曲線 4 y 1 相交于 A、 B 兩點，且 P 為 AB 的中點，求 l 的方程22解析 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 x1 y12 1， x2 y22 1，兩式相減得：4414(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)( y1 y2) 0， P 為 AB 中點， x1 x2 8， y1 y2 2.y2y1x2 x1 1，即所求直線l 的斜率為1， l 方程為 y 1x 4，即 x y 3 0.22y2、設(shè) A、B 是雙曲線x 1 上的兩點，點N(1,2)是線段 AB 的中點， (1) 求直線 AB 的方程；(2) 如果

14、線段AB 的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、 B、 C、D四點是否共圓？為什么？分析 要證明A、 B、 C、D四點共圓，首先判斷圓心所在位置，若A、 B、 C、D四點共圓，則垂直平分 AB，據(jù)圓的性質(zhì)知，圓心在直線CD 上， CD 中點 M 為圓心，只要證明 |AM| |MB | |CM| |MD |即可解析 (1) 依題意，可設(shè)直線AB 方程為 y k(x 1) 2，2y2x 1，得(2 k2) x2 2k(2 k)x (2 k2 ) 2 0由2y k(x 1) 2，設(shè) A(x1， y1)，B(x2， y2)， x1 、x2 是方程 的兩個不同的實根，所以2 k2 0.由韋達(dá)定理得

15、，2k(2 k).由 N(1,2)是 AB 的中點得，x1 x2x1 x222 1.2 k即 k(2 k) 2 k2.解得 k 1， 直線 AB 的方程為 y x 1.yx 1，(2) 由22 2x 30，解得 x1 3， x2 1.x2 y 1，得 x2A(3,4)， B( 1,0) CD 是線段 AB 的垂直平分線，所以CD 所在直線方程為y x3.2由 x2 y 1，得 x2 6x110.y x 3，2設(shè) C(x3， y3)，D (x4， y4)， CD 的中點為M(x0，y0)由韋達(dá)定理，得x3 x4 6，x3 x4 11.1從而 x0 2( x3x4) 3， y0 x0 3 6.|C

16、D|2 y )2) 2( xx )224x3 x4 4 10，( x x ) ( y3 2( x3 x4)34344|CM| |MD | 210. |MA | |MB |(x0 x1)2 (y0 y1)2 210.A、 B、 C、D 四點到 M 的距離相等，所以A、B、 C、 D 四點共圓23、已知雙曲線的方程為x2 y 1.2試問：是否存在被點B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直線方程，如果不存在，請說明理由分析 易判斷出點B(1,1)在雙曲線的外部， 不妨假定符合題意的弦存在， 那么弦的兩個端點應(yīng)分別在雙曲線的左右兩支上，其所在直線的傾角也不可能是90° .2解析 解法一：

17、設(shè)被B(1,1) 所平分的弦所在的直線方程為y k(x 1) 1，代入雙曲線方程x2 y 1，2得 (k2 2)x2 2k(k 1)x k2 2k 30. 2k(k 1)2 4(k2 2)(k2 2k 3)>0.32k(k 1)解得 k<2，且 x1 x2k22 . B(1,1)是弦的中點，k(k1)3B(1,1)所平分的弦2 1， k2> .故不存在被點k22解法二：設(shè)存在被點B 平分的弦 MN，設(shè) M(x1， y1)、N(x2，y2)2x21 y1 1，則 x1 x2 2， y1 y2 2，且22x22 y2 1.21y1 y2 得 (x1 x2)( x1 x2) 2(y

18、1 y2)( y1 y2) 0. kMNx1 x2 2，故直線 MN：y 1 2(x 1)y 1 2(x 1)，由22x2 y 1，消去 y 得， 2x 4x 3 0， 8<0.2這說明直線 MN 與雙曲線不相交，故被點B 平分的弦不存在點評 由本題可以看到：如果點B 在雙曲線的內(nèi)部，則以該點為中點的弦一定存在如果點B 在雙曲線的外部，則以該點為中點的弦有可能不存在因此，點B 在內(nèi)部無需檢驗，點B 在外部必須檢驗關(guān)于雙曲線內(nèi)部、外部，請看圖，雙曲線把平面劃分開來，圖中陰影部分為雙曲線內(nèi)部，另一部分為雙曲線外部4、設(shè)雙曲線C 的中心在原點，以拋物線y 22 3x4 的頂點為雙曲線的右焦點，

19、拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線（）試求雙曲線C 的方程；（）設(shè)直線 l : y2x1與雙曲線 C 交于 A, B 兩點，求 AB ；（）對于直線l: ykx1 ，是否存在這樣的實數(shù)k ，使直線 l 與雙曲線 C 的交點A, B 關(guān)于直線l ' : y ax4( a 為常數(shù) ) 對稱，若存在，求出k 值；若不存在，請說明理由解：（）由y223x 4 得 y 22 3( x2) ，p3 ，拋物線的頂點是(2,0) ，準(zhǔn)線是33c2 ,x321.在雙曲線 C 中，23.a21 , b21.2323a1 .3c23雙曲線 C 的方程為3x2y 21.y2 x1,得： x 24x20 .（）由2y

20、21.3x設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，則 x1x24, x1 x22.|AB|(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (122)(4) 24 22 10.（）假設(shè)存在這樣的實數(shù) k ，使直線 l 與雙曲線 C 的交點 A, B 關(guān)于直線 l '對稱，則 l '是線段 AB的垂直平分 線 .因 而 a1，從 而 l': y1x4 .設(shè)線段AB的中 點為 P( x0 , y0 ) . 由 k ABy0b2得 ：kkx0a2y03 ，ky03x0 .kx0由 y01x04 得： ky0x04k . , 由、得： x0k, y03.k由y

21、0kx01得： 3 k 21， k2 . 又由 3x 2y 21,得： (k23)x222 0.ykx 1.kx直線 l 與雙曲線CA B兩點，4k28( k23)0，即k26，且k23 .符合題意的k相交于 、的值存在， k2.5、在雙曲線 y 2x21 的一支上有不同的三點Ax1 , y1 ， B26 ，6， C x2 , y2與焦點 F0 , 51213的距離成等差數(shù)列.證明線段的垂直平分線經(jīng)過某一點,并求出該點坐標(biāo) .AC解 : 依題意有 y1 y2 2 6 1213，y12則k ACy1y212 x1x2x1x213 y1y212 x1212 13,13y2 212x2 21213,

22、x1x2 ，13故AC的中垂線方程為yy1 y213x1x2，x1x2x22即y 613x13 ,由方程知其必 經(jīng)過定點 0, 25 .x1x222三、拋物線1在拋物線2中，以 (1， 1) 為中點的弦所在直線的方程是()y 8xA x 4y 3 0B x 4y 3 0C 4x y 3 0D 4x y 3 0答案 C，解析 設(shè)弦兩端點為A(x1， y1)，B(x2， y2)，則 y1 y2 2.A、 B 在拋物線上， y12 8x1 ， y22 8x2，兩式相減得，(y1 y2)( y1 y2) 8(x1 x2)，y1y2 x1 x2 4， 直線 AB 方程為 y 1 4(x1) ，即 4x

23、y3 0.2若點 (3,1) 是拋物線y2 2px的一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則 _.p答案2解析設(shè)弦兩端點1(x1，1)， 2(x2，2) ，PyPy y1 y22， p2.3過點(4,1)作拋物線y2 8x的弦，恰被Q所平分，求弦所在的直線方程QABAB答案4x y 15 0解析 解法一：設(shè)以 Q 為中點的弦 AB 端點坐標(biāo)為 A(x1， y1)、 B(x2， y2)，則有 y128x1 ，y22 8x2，x1 x2 8， y1y22. ，得 (y1 y2)(y1 y2)8(x1x2) 將 代入 得 y1 y2 4(x1 x2) ，即 4y1 y2 x， k4.x12所求弦

24、 AB 所在直線方程為y 1 4(x 4)，即 4x y 15 0.4、（ 2004?福建）如圖， P 是拋物線C： y=x2 上一點，直線l 過點 P 且與拋物線C 交于另一點Q（）若直線l 與過點 P 的切線垂直，求線段PQ 中點 M 的軌跡方程；（）若直線l 不過原點且與x 軸交于點S，與 y 軸交于點T，試求的取值范圍【分析】（ 1）設(shè) M （ x0， y0），欲求點M 的軌跡方程，即尋找其坐標(biāo)的關(guān)系，可通過另外兩點P， Q 與中點M 的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式求解，（ 2）欲的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為將其表示成某變量的表達(dá)式，然后再求此表達(dá)式的最值問題，另外，為了化簡比例式，一般將線段投影到坐

25、標(biāo)軸上的線段解決【解答】解：（）設(shè) P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），M （x0 ，y0），依題意 x10， y1 0， y2 0由 y= x2， 得 y'=x 過點 P 的切線的斜率 k=x 1，直線 l 的斜率 kl= =，直線 l 的方程為 y x12=（ x x1）， 聯(lián)立 消去 y，得 x2+x x12 2=0 M 是 PQ 的中點 x0= ， y0= x12（ x0 x1）2+1（ x00）， PQ 中點 M 的軌跡方程為2+1（ x0）消去 x1，得 y0=x 0 +y=x +方法二：設(shè) P（x1， y1）、 Q（ x2， y2）、 M （ x0 ，y0），依

26、題意知x10， y1 0， y2 0由 y=x2， 得 y=x 過點 P 的切線的斜率 k 切 =x 1，直線 l 的斜率 kl= ，直線 l 的方程為 y x12=（ xx1） 方法一：聯(lián)立 消去 y，得 x2+x x12 2=0 M 為 PQ 的中點， x0=， y0=x12 （ x0 x1 ）消去 x1，得 y0=x 02 +1（ x00）， PQ 中點 M 的軌跡方程為2+1（ x0）y=x +（）設(shè)直線l ： y=kx+b ，依題意k0，b0，則 T （ 0，b）分別過 P、Q 作 PP' x 軸，QQ' x 軸，垂足分別為P'、Q'，則=由 y=x2， y=kx+b 消去 x，得 y2 2（ k2+b） y+b2 =0 則 y1+y 2=2（ k2+b ）， y1y2=b2=|b|（） 2|b|=2|b|=2 y1、 y2 可取一切不相等的正數(shù)，的取值范圍是（2，+）5、例（ 05 全國文 22）設(shè) A( x1 ,y1 ), B( x2 , y2 ) 兩點在拋物線y2x 2 上， l 是 AB 的垂直平分線 .（）當(dāng)且僅當(dāng)x1x2 取何值時，直線l 經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論 .（）當(dāng) x11, x23時，求直線 l 的方程 .解：（）x21 y ，p1 ,F (0,1) . 設(shè)線段AB 的中點為P( x0 , y0