2015年高考湖北理科數(shù)學(xué)試題及答案解析版

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(xué)(理科)-、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.(1)【2015年湖北，理1, 5分】i為虛數(shù)單位，i607的大弛其數(shù) 為()(A) i(B) -i(C) 1(D) -1【答案】A【解析】i607 =i4951 i3 =，共軻復(fù)數(shù)為i ,故選A.【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)式單位的哥運(yùn)算以及共軻復(fù)數(shù)的知識，基本知識的考查.(2)【2015年湖北，理2, 5分】我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章有米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)

2、夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()(A) 134 石(B) 169 石(C) 338 石(D) 1365 石【答案】B【解析】依題意，這批米內(nèi)夾谷約為-28-X1534 =169石，故選B.254【點(diǎn)評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).(3)【2015年湖北，理3, 5分】已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()(A) 212(B) 211(C) 210(D) 29【答案】D【解析】因?yàn)?1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C；=C：,解得n=10,所以二項(xiàng)式(1 + x)n中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和

3、為1父210 =29,故選D .2以及計(jì)算能力.【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的形狀的應(yīng)用，考查基本知識的靈活運(yùn)用(4)【2015年湖北，理4, 5分】設(shè)X : N(仃；)，Y : N(匕，仃2),這兩個(gè)正態(tài)分布密 度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是()(A) P(Y 之 B)之 P(Y 之 H)(B) P(X ff2) P(X Ti)(C)對任意正數(shù)t, P(X P(Y t)(D)對任意正數(shù)t, P(X之t)之P(Y之t)【答案】C【解析】正態(tài)分布密度曲線圖象關(guān)于x= N對稱，所以h ,從圖中容易得到P(X t 戶P(Y 1),-1, x ：: 0.則()(A) sgng(x) =

4、sgnx ( B) sgng(x) =_sgnx (C) sgng(x) =sgn f (x) (D) sgng(x) = sgn f (x) 【答案】B【解析】因?yàn)閒 (x)是R上的增函數(shù)，令f (x) =x ,所以g (x )=(1 _a )x ,因?yàn)閍 1,所以g(x)是R上的減函數(shù)，1, x 0,1, x 0,由符號函數(shù) sgnx=40, x =0，知，sgnx=?0, x=0, =-sgnx,故選 B1x + y之一的概率，P2為事件2-1, x 0.-1, x : 0.(7)【2015年湖北，理7, 5分】在區(qū)間0, 1上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù) x,y,記p1為事彳1 1xy區(qū)1 ”的概率，

5、P3為事件xyW1”的概率，則()(D) P3 P2 P11X1=1 ,根據(jù)幾何概型公式可(A)P1P2P3(B)P2P3P1( C)P3 P1 P2【答案】B 【解析】因?yàn)閤,y 0,1 ,1 對事件x-y之-”如圖(1)陰影部分S,2對事件“xy =1，如圖(2)陰影部分S2 ,2 1 對事件xy ，如圖(3)陰影部分S3,2由圖知，陰影部分的面積從下到大依次是正方形的面積為得 P2 P3 0) 個(gè)單位長度，得到離心率為e的雙曲線C2 ,則()(A)對任意的 a, b,e2( B)當(dāng) a b 時(shí)，e 金；當(dāng) a b 時(shí)，e1 e2(C)對任意的 a, b,e1b 時(shí)，e 金；當(dāng) a 0 ,

6、 a 0 , b 0 ,a a m a a ma a m當(dāng) ab 時(shí)，0b1, 0b+m1, bb+m, b、j ,所以& 金；aa m a a m a a m當(dāng)a1, blm”而心口，所以所以0土. a a ma a ma a m所以當(dāng)ab時(shí)，&e2,當(dāng)a金，故選 D.【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).(9)【2015 年湖北，理 9, 5 分】已知集合 A=(x,y) x2 +y2 E1, x,y WZ, B =(x,y)| |x|2, |y|2, x,y Z, 定義集合 AB =(xi +x2,y1 +y2) (x1,y1)w a, (x2,y2)e B,則 A

7、 B 中元素的個(gè)數(shù)為()(A) 77(B) 49(C) 45(D) 30【答案】C【解析】因?yàn)榧螦 =x,y )x2+y2 El,x,y WZ,所以集合A中有9個(gè)元素(即9個(gè)點(diǎn))，即圖中圓中的整點(diǎn)， 集合B=(x,y) |x區(qū)2,|y區(qū)2, x,y WZ中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn))：即圖中正方形 ABCD中的整點(diǎn)，集合AB=(x +x2,yi +y2)(xi,yi) WA, (x2,y2)wB的元素可看作正方形 ABGDi中的整點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn))，即7父7_4=45個(gè)，故選C.【點(diǎn)評】本題以新定義為載體，主要考查了幾何的基本定義及運(yùn)算，解題中需要取得重 復(fù)的元素.(10)【2015年湖北，理

8、10,5分】設(shè)x WR,x表示不超過x的最大整數(shù).若存在實(shí)數(shù)t ,使得t =1 , t2 =2 ,tn =n同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值是()(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6【答案】B【解析】由t =1 得 1 t2 ,由t22 得 2 Wt2 3,由彳4)=3得 4 Wt45 ,可得 2t245,所以 2t275 ；由t3=3得3Wt34,所以6Mt54而，由彳5=5得5 t56,與6Mt54指矛盾，故正整數(shù)n的最大值是4,故選B.一【點(diǎn)評】本題考查簡單的演繹推理，涉及新定義，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：共 6小題，考生需作答 5小題，每小題5分，共25分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置

9、上答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.(一)必考題(11-14題)(11)【2015年湖北，理11, 5分】已知向量 OA_LAB, |OA|=3,則OA OB =【答案】9【解析】因?yàn)閛A_la9, OA2 .一 ,一：r=|n(.r+l)|Q 3 4 飛 3X jF、y=siiiv=3, OA OB =OA 0, |中|0)個(gè)單位長度，得到 y = g(x)的圖象. 若y = g(x)圖象的一個(gè)對稱中心為(紅，0),求8的最小值.12解：(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 A =5,切=2,邛數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表:6ox十中07t2it3兀22 Ttx7t1237 71125兀6137t12Asin

10、(0x +中)050-50且函數(shù)表達(dá)式為f (x) =5sin(2 x -) .6(2)由(1)知 f(x)=5sin(2x -)，得 gx)52 2x +)包-.因?yàn)?y =sin x 的對稱中心為(k7；0),kw Z . 66*兀令2x+2日_一 =k兀，解得6令A(yù)1i包?解得建212k兀兀一一，23由于函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(豆，0)成中心對稱,12 一.一 .一一 一 TTkW Z .由日?？芍?dāng)k=1時(shí)，日取得最小值一.6【點(diǎn)評】本題主要考查了由 y=Asinx+中勺部分圖象確定其解析式，函數(shù)y = Asin(x +中)的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，屬于基本知識的考查.(18)【2

11、015年湖北，理18, 12分】設(shè)等差數(shù)列4的公差為 知 b1=a1，b2=2, q=d, 。=100 .(1)求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d 1時(shí)，記5=曳 求數(shù)列cj的前n項(xiàng)和Tn .bnd前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的公、比為q.已1110a1 -45d =100解：(1)由題息知：w|ad 二22a19d,即Wad =2二1或二2a1 =92 d =9an 2n -1nJ,故Wbn =21an =- 2n 79或nJbn =9 29(2)由 d A1，知 an =2n 1 , bn =2n，故 g2n -12nJ3579. 2n-1于丁了三亍一一111111由-可信Tn =

12、2 + + + + +-5,1Tn 21 .且.亙Z A222232425+22n -12n 3 皿=3 -n-,故 Tn=6 22n -12n2n 32nA【點(diǎn)評】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題.(19)【2015年湖北，理19, 12分】九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉月需.如圖，在陽馬 P -ABCD中，側(cè)棱 PD_L底面ABCD ,且PD =CD ,過棱PC的中點(diǎn)E ,作EF _LPB 交 PB 于點(diǎn) F ,連接 DE, DF, BD, BE.(1)證明

13、：PB_L平面DEF .試判斷四面體 DBEF是否為鱉月需，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)(2)若面DEF與面ABCD若不是，說明理由；所成二面角的大小為求匹的值.BC解：解法一：(1)因?yàn)樗运訮D _L 底面 ABCD , BC _L平面 PCD .所以PD _LBC ,由底面 ABCD為長方形，有 BC _L CD ,而PD Q CD = D ,而DE U平面PCD ,所以BC _LDE .DE _LPC , 而 PC IBC =C ,所以 DE，平面 PBC .又因?yàn)镻D=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn), 而PB U平面PBC ,所以PB_L DE .又 PB_LEF, DE lE

14、F =E，所以 PB_L平面 DEF .由DE _L平面PBC , PB_L平面DEF ,可知四面體 BDEF的四個(gè)面都是直角三角形， 即四面體BDEF是一個(gè)鱉月需，其四個(gè)面的直角分別為/DEB, /DEF ,/EFB , /DFB .(2)如圖1,在面PBC內(nèi)，延長BC與FE交于點(diǎn)G ,則DG是平面DEF與平面 ABCD由(1)知，PB_L平面DEF，所以PB_LDG .又因?yàn)镻D_L底面ABCD ,所以的交線.PD _LDG ,而 PD QpB =P ,所以 DG _L平面 PBD .故ZBDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設(shè) PD =DC =1 , BC =九2有 BD =3

15、 +八,在 RtAPDB 中，由 DF _LPB,得/DPF =2FDB =一 , 3則 tan,=tan/DPF =-3PD=Ji +九2 =也,解得2=41. DC 1dc DC22所以 =J 故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 一時(shí)，=二.BC .23 BC 2解法二：(1)如圖2,以D為原點(diǎn)，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角 坐標(biāo)系.設(shè) PD =DC =1, BC =,則 D(0,0,0), P(0,0,1), B(,1,0), C(0,1,0),PB=(九1,_1),點(diǎn) E是 PC 的中點(diǎn)，所以 EQ1,1), DE = (0, 1, 1),于是2

16、 22 2PB，DEy=0 ,即 PB _L DE .又已知 EF 1 PB ,而 DE D EF = E ,所以PB _L平面 DEF .因 PC =(0,1, 1), DE ,PC =0 ,則 DE _L PC ,所以 DE _L 平面 PBC ,由 DE _L平面PBC , PB，平面DEF ,可知四面體 BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體 BDEF是一個(gè)鱉月需, 四個(gè)面的直角分別為 ZDEB, /DEF,EFB, /DFB .(2)由PD _L平面ABCD ,所以 DP = (0, 0, 1)是平面ABCD的一個(gè)法向量；由(1)知，PB_L平面DEF ,所以BP=(T,1,1)是

17、平面DEF的一個(gè)法向量.若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為則cos- = 一BP-DP- =33 |BP|.|DP| |Vr2解得九=.所以DC =2=工.故當(dāng)面def與面ABCD所成二面角的大小為 時(shí)，匹=BC -23 BC 2【點(diǎn)評】本題綜合考查了空間直線平面的垂直問題，直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化，空間角的求解，屬 于難題.(20)【2015年湖北，理20, 12分】某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)AB兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸，使用設(shè)備1小時(shí)，獲利1000元；生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1. 5噸，使用設(shè)備1 . 5小時(shí)，獲利 1200元.要求每天 B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過 A

18、產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍，設(shè)備每天生產(chǎn) A,B兩種產(chǎn)品時(shí)間之和不超過 12小時(shí).假定每天可獲取白鮮牛奶數(shù)量W (單位：噸)是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為W121518P0. 30. 50. 2該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z (單位：元)是一個(gè)隨機(jī)變量.(1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.2x 1.5y 10000) =0.5+0.2=0.7 ,3天中至少有1天最大獲利超過【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法, 問題解決問題的能力.(21)【2015年湖北，理21, 14

19、分】一種作圖工具如圖10000 元的概率為 p =1-(1 - pi ) =1 0.33 =0.973 .線性規(guī)劃的應(yīng)用，二項(xiàng)分布概率的求法，考查分析1所示.O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿 ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng),長卞f MN通過N處較鏈與 ON連接，MN上的栓子 D可沿滑槽 AB滑動(dòng)，且DN =ON =1 , MN =3 .當(dāng)栓 子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶初,N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周(D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng))，M處的筆尖畫出的曲線 記為C.以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C的方程； 設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線1i :x 2y =0和l2: x+2y =0分別交于P,Q兩點(diǎn).若

20、直線l總與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：AOPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值； 若不存在，說明理由.解：(1)設(shè)點(diǎn) D(t,0) (|t|W2) , N(x0,y。)，M (x,y),依題意，MD=2DlN,且 |dNroN|=1,(Xo -1)yo = 1,所以(t -x, -y) =2(xo t, yo),且 22Xoyo =1.t -X =2x0 -2t, 即 4且 t(t -2x0) =0.y - -2y。.由于當(dāng)點(diǎn)D不動(dòng)時(shí),占八、也不動(dòng)，所以t不恒等于0,于x 2x0 ,故 Xo , y0422代入 +y；=,可得y =1164(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線即所

21、求的曲線C的方程為N=1.4y2X16為x=4或x =4 ,都有S#PQ1 =父4父4=8.2當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1y = kx - m,:y=kx+m (k),由，2 x 22x2 4y2F6,消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m216=0 .因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以 /-： =64km2 -4(1，4k2)(4m2, y =kx m,2m又由v可得P(,x -2y =0,1 一2k22.-16) =0 ,即 m =16k +4 .由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d一)；同理可得Q(二m,一).1 -2k1 2k 12k二和|PQ|二Ji十k2 |XpXq|,

22、可得 1k2故最大獲利Z的分布列為Z81601020010800P0. 30. 50. 2因此，E(Z) =8160 0.3 10200 0.5 10800 0.2 =9708.S opq =-| PQ | d =-| m |xp -xq | = - | m |2m 2mH1 -2k 1 2k22m1 -4k2將代入得，S.QPQ2 m21 -4k24k2 1= 84k22當(dāng)心4時(shí)，%pQ=8(4j)=8(1+-124k2 -1)8；當(dāng) 0 k2因 0 k2當(dāng)且僅當(dāng)14k2 1一時(shí)，S&pq =8(241 -4k1-2-,則 0 1 -4k2 1 , 4k =0時(shí)取等號.所以當(dāng)綜合(1) (2

23、)可知，當(dāng)直線l與橢圓)=8(-1+r4).1 -4k2 22 之2,所以 S；OPQ =8(1+2)之8,1 -4k：1-4kk=0時(shí)，S&PQ的最小值為8.C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，4PQ的面積取得最小值 8.【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓方程的求解，以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大.(22)【2015年湖北，理22, 14分】已知數(shù)列%的各項(xiàng)均為正數(shù)，bn =n(1+1)nan (nW N百，e為自然對數(shù)的 n底數(shù).1c(1)求函數(shù)f(x)=1+x-e的單倜區(qū)間，并比較 (1+)與e的大小;n(2)計(jì)算邑，也，bb空，由此推測計(jì)算b1b廣bn的公式，并給出證明; aa2aa2a3a1a2 an1(3)令Cn =(a在an)n ,數(shù)列an , Cn的前n項(xiàng)和分別記為Sn,Tn,證明：TneS.解：(1) f(x)的定義域?yàn)?g, 土與，f,(x)=1ex.當(dāng)f(x)A0,即XM0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f (X) 0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(g,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0, F)./111-1