2020年第26屆全國中學生物理競賽復賽

1、2020年第26屆全國中學生物理競賽復賽、填空咨詢答題每題 5分，共25分X x X XXX X X XXX X X XXX X X XXX X X XX0.914天文單軌道可視1 .有人設想了一種靜電場：電場的方向都垂直于紙面并指向紙里, 電場強度的大小自左向右逐步增大，如下圖。這種分布的靜電場是否可 能存在？試述理由。2 .海爾-波普彗星軌道是長軸專門大的橢圓，近日點到太陽中心的距離為 位1天文單位等于地日間的平均距離，那么其近日點速率的上限與地球公轉(zhuǎn) 為圓周速率之比約為保留 2位有效數(shù)字 3 .用測電筆接觸市電相線，即使赤腳站在地上也可不能觸電，緣故是;另一方面，即使穿絕緣性能良好的電工

2、鞋操作，測電筆仍會發(fā)亮，緣故是 把參考點設于如下圖的地面上4 .在圖示的復雜網(wǎng)絡中，所有 電源的電動勢均為 Eo,所有電阻器 的電阻值均為 Ro,所有電容器的電 容均為C。，那么圖示電容器 A極板 上 的 電 荷 量 為。5 .如圖，給靜止在水平粗糙地 面上的木塊一初速度，使之開始運 動。一學生利用角動量定理來考察此木塊以后的運動過程：一點O,現(xiàn)在摩擦力f的力矩為0,從而地面木塊的角動 量將守恒，如此木塊將不減速而作勻速運動?！闭堉赋錾?述推理的錯誤，并給出正確的講明： 二、20分圖示正方形輕質(zhì)剛性水平桌面由四條完全相同的輕質(zhì)細桌腿 1、2、3、4支撐于桌角A、B、C、D處，桌腿豎直立在水平粗

3、糙剛性地面上。桌腿受力后將 產(chǎn)生彈性微小形變?，F(xiàn)于桌面中心點 O至角A的連線OAOP上某點P施加一豎直向下的力 F,令一C,求桌面對OA桌腿1的壓力Fio15 分置于光滑水平桌面上,1. 一質(zhì)量為m的小球與一勁度系數(shù)為 k的彈簧相連組成一體系,彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動。 試咨詢在一沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運動的參考系里觀看，此體系的機械能是否守恒，并講明理由。2.假設不考慮太陽和其他星體的作用，那么地球-月球系統(tǒng)可看成孤立系統(tǒng)。假設把地球和月球都看作是質(zhì)量平均分布的球體，它們的質(zhì)量分不為M和m,月心-地心間的距離為R,萬有引力恒量為 Go學生甲以地心為參考系，利用牛

4、頓第二定律和萬有引力定律，得到 月球相關于地心參考系的加速度為am G2 ;學生乙以月心為參考系，同樣利用牛頓第R二定律和萬有引力定律，得到地球相關于月心參考系的加速度為ae G2。這二位學生R求出的地-月間的相對加速度明顯矛盾，請指出其中的錯誤，并分不以地心參考系以地心 速度作平動的參考系和月心參考系以月心速度作平動的參考系求出正確結(jié)果。四、20分火箭通過高速噴射燃氣產(chǎn)生推力。設溫度Ti、壓強pi的酷熱高壓氣體在燃燒室內(nèi)源源不斷生成，并通過管道由狹窄的噴氣口排入氣壓P2的環(huán)境。假設燃氣可視為理想氣體，其摩爾質(zhì)量為 內(nèi)每摩爾燃氣的內(nèi)能為 u=CvTcv是常量，T為燃氣的絕對溫度。 在快速流淌過

5、程中，對管道內(nèi)任意處的兩個專門靠近的橫截面間的氣體，能夠認為它與周圍沒有熱交換，但其內(nèi)部那么達到平穩(wěn)狀態(tài)，且有平均的壓強p、溫度T和密度p,它們的數(shù)C R值隨著流淌而不斷變化，并滿足絕熱方程pvk C恒量，式中 R為普適氣體常量，求噴氣口處氣體的溫度與相對火箭的噴射速率。五、20分內(nèi)半徑為 R的直立圓柱器皿內(nèi)盛水銀，繞圓柱軸線勻速旋轉(zhuǎn)水銀不溢， 皿底不露，穩(wěn)固后的液面為旋轉(zhuǎn)拋物面。假設取坐標原點在拋物面的最低點，縱坐標軸z2與圓柱器皿的軸線重合，橫坐標軸r與z軸垂直，那么液面的方程為 z r2 ,式中為2g旋轉(zhuǎn)角速度，g為重力加速度當代已使用大面積的此類旋轉(zhuǎn)水銀液面作反射式天文望遠 鏡。觀看者

6、的眼睛位于拋物面最低點正上方某處， 保持位置不變，然后使容器停轉(zhuǎn)，待液面 靜止后，發(fā)覺與穩(wěn)固旋轉(zhuǎn)時相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都無變化。求人眼位置至穩(wěn)固旋轉(zhuǎn)水銀面最低點的距離。六、20分兩慣性系S與S初始時刻完全重合，前者相對后者沿z軸正向以速度v高速運動。作為光源的自由質(zhì)點靜止于S系中，以恒定功率 P向四周輻射各向同性光子。在S系中觀看，輻射偏向于光源前部即所謂的前燈效應。1.在S系中觀看，S系中向前的那一半輻射將集中于光源前部以x軸為軸線的圓錐內(nèi)。求該圓錐的半頂角 oo相對論速度變換關系為ux vUx / 21 u xv / C式中Ux與ux分不為S與S系中測得的速度 x重量，C為光速

7、。2.求S系中測得的單位時刻內(nèi)光源輻射的全部光子的總動量與總能量。 七、20分1 .設想光子能量為 E的單色光垂直入射到質(zhì)量為 M、以速度V沿光入射方向運動的理想反射鏡無吸取上，試用光子與鏡子碰撞的觀點確定反射光的光子能量E?？扇∫韵陆疲篲J_ V 1,其中c為光速。 Mc c2 .假設在上述咨詢題中單色光的強度為，試求反射光的強度 能夠近似認為光子撞擊鏡子后，鏡子的速度仍為 V。光的強度定義為單位時刻內(nèi)通過垂直于光傳播方向單位 面積的光子的能量。八、20分惰性氣體分子為單原子分子，在自由原子情形下，其電子電荷分布是球?qū)ΨQ的。負電荷中心與原子核重合。 但如兩個原子接近，那么彼此能因靜電作用產(chǎn)

8、生極化正 負電荷中心不重合，從而導致有相互作用力，這稱為范德瓦爾斯相互作用。下面我們采納 一種簡化模型來研究此咨詢題。當負電中心與原子核不重合時， 假設以x表示負電中心相對正電荷 原 子核的位移，當x為正時，負電中心在正電荷的右側(cè)，當 x為負時，負電 中心在正電荷的左側(cè)，如圖 1所示。這時，原子核的正電荷對荷外負電荷的作用力f相當于一個勁度系數(shù)為 k的彈簧的彈性力，即f=-kx,力的方向指向原子核，核 外負電荷的質(zhì)量全部集中在負電中心，此原子可用一彈簧振子來模擬。X2 。R 圖2今有兩個相同的惰性氣 體原子，它們的原子核固定， 相距為R,原子核正電荷的電 荷量為q,核外負電荷的質(zhì)量 為m。因原

9、子間的靜電相互作 用，負電中心相對各自原子核 的位移分不為xi和x2,且xi|和|x2|都遠小于R,如圖2所示?，F(xiàn)在每個原子的負電荷除受到 自己核的正電荷作用外，還受到另一原子的正、負電荷的作用。眾所周知，孤立諧振子的能量E=mv2/2+kx2/2是守恒的，式中v為質(zhì)量m的振子運動的速度，x為振子相對平穩(wěn)位置的位移。量子力學證明，在絕對零度時，諧振子的能量為 hco/2,稱為零點振動能，h/2 ,卜為普朗克常量，Jk7m為振子的固有角頻率。試運算在絕對零度時上述兩個有范德瓦爾斯相互作用的惰性氣體原子構(gòu)成的體系的能量，與兩個相距足夠遠的可視為孤立的、沒有范德瓦爾斯相互作用的惰性氣體原子的能量差，

10、并從結(jié) 果判定范德瓦爾斯相互作用是吸引依舊排斥?？衫卯攟x|1時的近似式(1 + x)1/2=1+/2-x2/8,(1 + x)-1M x+x2。參考解答與評分標準一、填空咨詢答題.每題5分，共25分.按各小題的答案和評分標準評分.1 .答案與評分標淮：這種分布的靜電場不可能存在 .因為靜電場是保守場，電荷沿任意閉合路徑一周電場力 做的功等于0,但在這種電場中，電荷能夠沿某一閉合路徑移動一周而電場力做功不為0.5分2 .答案與評分標淮：1.5. 5 分3 .答案與評分標淮：測電筆內(nèi)阻專門大， 通過與之串聯(lián)的人體上的電流 或加在人體上的電壓在安全范疇內(nèi)；2分市電為交流電，而電工鞋相當于一電容器

11、，串聯(lián)在電路中仍承諾交流電通過.3分4 .答案與評分標淮：2E0C0. 5 分5 .答案與評分標淮：該學生未考慮豎直方向木塊所受的支持力和重力的力矩.僅依照摩擦力的力矩為零便推出木塊的角動量應守恒，如此推理本身就不正確.事實上，現(xiàn)在支持力合力的作用線在重力作用線的右側(cè)，支持力與重力的合力矩不為0,木塊的角動量不守恒，與木塊作減速運動不矛盾.5分參考解答：設桌面對四條腿的作用力皆為壓力，分不為R,、F2、F3、F4 .因輕質(zhì)剛性的桌面處在平穩(wěn)狀態(tài)，可推得Fi F2 F3 F4 F .由于對稱性，F(xiàn)2 F4.(2)考察對桌面對角線 BD的力矩，由力矩平穩(wěn)條件可得F3 cF Fi.(3)依照題意，0

12、 C 1, c=0對應于力F的作用點在O點，c=1對應于F作用點在A點.設桌腿的勁度系數(shù)為 k,在力F的作用下，腿1的形變?yōu)镕1/k，腿2和4的形變均為Fz/k ,腿3的形變?yōu)镕3；k .依題意，桌面上四個角在同一平面上，因此滿足由、(2)、(3)、(4)式，可得F3FiFiF3O.F30,表示腿3無形變;F3 2F2 .2c 1廣 F ,41 2cF , 4F3 0 ,表示腿3受到桌面的作用力為拉(4)(6)力，這是不可能的，故應視F30 .現(xiàn)在(2)式(3)式仍成立.由(3)式，可得Fi綜合以上討論得Fi2c 1,4(8)F1評分標準：此題20分.(1)式1分，(2)式1分, (9)式表示

13、的結(jié)果得5分.式2分，(4)式7分,得到由(8)式表示的結(jié)果得4分，得到由參考解答：1 .否.緣故是墻壁關于該體系而言是外界，墻壁對彈簧有作用力， 在運動參考系里此力的作用點有位移，因而要對體系做功，從而會改變這一體系的機械能.2 .因地球受月球的引力作用， 月球受地球的引力作用， 它們相對慣性系都有加速度，故它們都不是慣性參考系. 相對非慣性參考系，牛頓第二定律不成立. 假如要在非慣性參考系 中應用牛頓第二定律，必須引入相應的慣性力；而這兩位學生又都未引入慣性力，因此他們得到的結(jié)果原那么上差不多上錯誤的.以地心為參考系來求月球的加速度.地心系是非慣性系，設地球相對慣性系的加速度的 大小為a

14、e ,那么由萬有引力定律和牛頓第二定律有Mm 一G2 Mae,R2加速度的方向指向月球.相對地心參考系，月球受到慣性力作用，其大小(2)fmmae,方向指向地球，與月球受到的萬有引力的方向相同.假設月球相對地心系的加速度為 那么有-Mm ,G2-f mmam -R2(4)由（1）、（2）、（3）三式，得加速度的方向指向地球.以月心為參考系來求地球的加速度 .月心系也是非慣性系，設月球相對慣性系的加速度 的大小為am,那么由萬有引力定律和牛頓第二定律有c Mm G-rt mam,加速度的方向指向地球.相對月心參考系，地球受到慣性力作用，慣性力的大小(6)flMMam ,方向指向月球，與地球受到的

15、萬有引力的方向相同.假設地球相對月心系的加速度為那么有由（5）、（6）、（7）三式得加速度的方向指向月球.MmfeMae.-M maeG,R（4）式與（8）式講明，地球相對月心系的加速度ae與月球相對地心系(8)的加速度am大小相等（方向相反），與運動的相對性一致.評分標準：此題15分.第1小咨詢5分.第2小咨詢10分.指出不正確并講明理由，占 2分；（1）至（8）式，每式1分.四、參考解答：于火箭燃燒室出口處與噴氣口各取截面A 1與A2,它們的面積分不為 S1和S2 ,由題意，t,這部分氣體S1S2,以其間管道內(nèi)的氣體為研究對象，如下圖.設通過專門短時刻流至截面Bi與B2之間，AiBi間、A

16、2B2間的微小體積分不為Vi、 V2,兩處氣體密度2 ,流速為Vi、V2 ,氣流達到穩(wěn)恒時，內(nèi)部一切物理量分布只依靠于位置，與時刻無關.由此可知，盡管 BiA 2間氣體更換，但總的質(zhì)量與能量不變.先按絕熱近似求噴氣口的氣體溫度T2,質(zhì)量守恒給出即A2B2氣體可視為由AiBi氣體絕熱移動所得.事實上，因氣流穩(wěn)恒，AiBi氣體流出噴口時將再現(xiàn)A2B2氣體狀態(tài).對質(zhì)量 m i ViV2的氣體，利用理想氣體的狀態(tài)方程(2)mRT和絕熱過程方程Cv RPiVi 丁C RP2V2cV,P2Pi(4)可得Rcr-RTi再通過能量守恒求氣體的噴射速率V2.由（i）式及V Sv t ,可得i SiVi2s2V2

17、 ,再利用（i）、（3）式，知v12S2v2iSi2cVP2 cV R V2Pi，因 S2Si,P2Vi V2 .(6)整個體系經(jīng) t時刻的總能量包括宏觀流淌機械能與微觀熱運動內(nèi)能增量E為A2B2部分與AiBi部分的能量差.由于重力勢能變化可忽略，在理想氣體近似下并考慮到（6）式，有體系移動過程中，外界做的總功為依照能量守恒定律，絕熱過程滿足2 mmv2- Cv T2Ti .Pi ViP2 V2 .(8)(9)1 R2cv RT1P25V2 1 一 ，P1其中利用了（2）、（4）兩式.評分標準：此題20分.（2）式1分，（3）式2分，（4）式3分,（6）式1分，（7）式6分，（8）式4分，（9

18、）式1分，（10） 式2分.(10)五、參考解答：旋轉(zhuǎn)拋物面對平行于對稱軸的光線嚴格聚焦，此拋物凹面鏡的焦距為由（1）式，旋轉(zhuǎn)拋物面方程可表示為z 4f(2)停轉(zhuǎn)后液面水安靜止.由液體不可壓縮性，知液面上升.以下求拋物液面最低點上升的高度.拋物液面最低點以上的水銀，在半徑R、高R74 f的圓柱形中占據(jù)體積為 M的部分，即附圖 中左圖陰影部分繞軸線旋轉(zhuǎn)所得的回轉(zhuǎn)體；其余體積為V的部分無水銀.體 M在高度z處的水平截面為圓環(huán)，利用拋物面方程，得 z處圓環(huán) 面積Sm z 九 R2 r2 冗 R2 4fz將體V倒置，得附圖中右圖陰影部分繞軸線旋轉(zhuǎn)所得的回轉(zhuǎn)體,相應拋物面方程變?yōu)? 2R r4f(4)其

19、高度z處的水平截面為圓面，面積為2冗 R2 4fz由此可知E4f(6)即停轉(zhuǎn)后拋物液面最低點上升MtR2R28f因拋物鏡在其軸線鄰近的一塊小面積可視為凹球面鏡,拋物鏡的焦點確實是球面鏡的焦點，故可用球面鏡的公式來處理咨詢題.兩次觀看所見到的眼睛的像分不經(jīng)凹面鏡與平面鏡反射而成，而先后看到的像的大小、 正倒無變化，這就要求兩像對眼睛所張的視角相同.設眼長為y0.凹面鏡成像時，物距 u即所求距離，像距 v與像長y分不為fuv u- f (8)v yo u(9)平面鏡成像時，由于拋物液面最低點上升，物距為R28f (10)像距v與像長y分不為-u ,vy0u(11)y。.(12)(13)1_2u-u

20、2-f1 22u R2 4 f(14)此處利用了（8）（12）諸式.由（14）式可解得所求距離(15)兩像視角相同要求評分標準：此題20分.(11)、(12)式各 1 分,(13)式 6 分,(15)（1）式 1 分，（7）式 4 分，（8）、（9）式各 2 分，（10）、 式2分.六、參考解答：1.先求兩慣性系中光子速度方向的變換關系.依照光速不變原理，兩系中光速的大小差不多上c .以 和分不表示光子速度方向在的x重量為S和S系中與x和x軸的夾角，那么光速uxccos ,再利用相對論速度變換關系，得cos v ccos 1 vcos cd2的方向角范疇內(nèi)，S系S系中光源各向同性輻射， 講明有

21、一半輻射分布于 0中，此范疇對應0.由上式求得vcos2Varccosc- arccos- （4）1- coscc2能夠看出，光源的速度 v越大，圓錐的頂角越小.2. S系中，質(zhì)點靜止，在 t時刻內(nèi)輻射光子的能量來自質(zhì)點靜能的減少，即2P tmc ,（5）式中 mo為t時刻內(nèi)質(zhì)點減少的質(zhì)量.S系中，質(zhì)點以速度 v勻速運動，由于輻射，其動質(zhì)量減少 m ,故動量與能量亦減少.轉(zhuǎn)化為光子的總動量為 p mv ,即(6)mv22，-v c轉(zhuǎn)化為光子的總能量為E mc2 ,2mcS系中光源靜止，測得的輻射時刻t為本征時，在S系中膨脹為(8)1 v2 c2由以上各式可得在S系中單位時刻內(nèi)輻射的全部光子的總

22、動量與總能量分不為(9) (10)評分標準：此題20分.第1小咨詢7分.（3）式4分，（4）式3分.第2小咨詢13分.（5）、 （6）、式各2分，（8）式3分，（9）、（10）式各2分.七、參考解答：1.光子與反射鏡碰撞過程中的動量和能量守恒定律表現(xiàn)為E /c MV ,其中VE MV 2/2E MV 2/2 .(2)為碰撞后反射鏡的速度.從上兩式消去V2E1 V c(4)V/c,可得E 1 2V/c .2.考察時刻t位于垂直于光傳播方向的截面A左側(cè)的長為光在1s時刻內(nèi)所傳播的距離 c 1s、底面積為單位面積柱體內(nèi)的光子, 如圖1所示.通過1s時刻，它們?nèi)客ㄟ^所考察的截面.假設單 位體積中的光

23、子數(shù)為 n,依照光強的定義，入射光的強度SiS2 ncE6假設A處固定一反射鏡，那么柱體的底面3處的光子在時刻t到達位于A處的反射鏡便趕忙被反射,光速c向左移動；當柱體的底面 S1在t+1s到達A處被反射鏡反射時，這柱體的底面S2已到達A左邊距離A為c 1s處，所有反射光的光子仍分布在長為c 1s、截面積為單位面積的柱體內(nèi)，因此反射光的強度與入射光 的強度相等.假如反射鏡不固定，而是以恒定的速度V向右移動，那么在時刻t+ 1s柱體的底面S到達A處時，反射 鏡已移到A右邊距離為V 1s的N處，這時底面 S2移到S1S2SatwS-S2A左側(cè)離A的距離為c 1s處，如圖2中a所示.設再通過時刻 t

24、, &與鏡面相遇，但這時鏡面己來到N處，因為在 t時刻內(nèi)，鏡面又移過了一段距離 V t ,即在時刻t 1s t,底面S才到達反射鏡被反射.亦即 原在S1處的光子須多行進 c A的距離才能被反射.因此t 1s t V而這時，底面S2又向左移了一段距離 柱體內(nèi).因反射不改變光子總數(shù)，設t工c Vc t.如此反射光的光子將分布在長為 n為反射光單位體積中的光子數(shù)，有c 1s 2ct 的E -411 V c . 1 V c 2 4E Mc2c cVc Vnc n c 2 n cc Vc V故有c Vn n.c V依照光強度的定義，反射光的強度n cE .由、(8)、(9)各式得(8)(9)(10)注意到V c有(11)評分標準：此題20分.第1