5二次曲面方程的化簡與位置確定

1、 6.5 次曲面方程的化簡與位置確定本節(jié)重點(diǎn)：掌握利用不變量化簡二次曲面的方法并能確定新坐標(biāo)系的位置一有心二次曲面對(duì)于有心二次曲面，取其一個(gè)中心為新坐標(biāo)原點(diǎn)O ,這時(shí)在新坐標(biāo)系下，O的坐標(biāo)為(0,0,0),它滿足關(guān)于中心的方程aiiX.1 1+ a12 y, + a13z. ，+ a14=0a21X+ a22 y, + a23z. ，+ a24=0(6.5.1)a31X+ a32 y, + a33z. ，+ a34=0把(0,0,0)代入(6.5.1)便得到a14 =a24 =a34,因此有6.5.1 定理若取有心二次曲面的一個(gè)中心為原點(diǎn)，則這個(gè)二次曲面在這個(gè)坐標(biāo)系下的一次項(xiàng)系數(shù)為0。結(jié)合上節(jié)

2、結(jié)果得到，若二次曲面是有心二次曲面，則取其一個(gè)中心為新原點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于兩，個(gè)相異特征根 兒,%的兩個(gè)單位特征向量為新坐標(biāo)向量l,j ，取另一個(gè)坐標(biāo)向量為T T T. 一 . . 一 k =i父_| ,那么在這個(gè)新坐標(biāo)系下，二次曲面的方程為222iX2V3Z a44 = 0其中%是這個(gè)二次曲面的另一個(gè)特征根，至于“4可用下面方法得到 ,(1)用中心的坐標(biāo)表小 a44,因?yàn)檗D(zhuǎn)軸不改變常數(shù)項(xiàng)，因此常數(shù)項(xiàng)由移軸決定，由 (6.3.20)可得a44 -F(X0,V0,Z0)其中(X0, y0,Z0)是新原點(diǎn)上的坐標(biāo)。但因?yàn)镕(X0, y,Z0)=X0Fi(X0,y0,Z0)yOF2(X0,y,z)zF3(X

3、0,丫。,4)F4(X0,y0,z)而 區(qū)。2。)是二次曲面中心，因此 Fi(X0,y0,Z0),(i =1,2,3)因此 ， 、a44 =F4(X0, y0,z)一一、一(2)用不變重求a44若二次曲面是中心二次曲面，則I 3是其中心方程組的系數(shù)行列式，因此 I3#0,即因此i00a 44-T 2 3a44a,I41 3二、無心二次曲面在 6.4中我們看到無心二次曲面只有兩種拋物面和拋物柱面。(1)拋物面拋物面的最簡方程為 iX222V2a34z=0其中兒，兒是這個(gè)拋物面的兩個(gè)非零因此a34 =特征根。因此,，力00002-200000a3400a3402二一 1 2a34,其正負(fù)號(hào)由所取坐

4、標(biāo)向量的指向確定。為確定的位置，先考察它的最、.00 .簡萬程，i , j分別是%，兒2對(duì)應(yīng)的特征向量，它們所對(duì)應(yīng)的主徑面分別是 yO z面和xO z面，新原點(diǎn)O在該曲面上。從上面分析得到，對(duì)于拋物面，可取其兩個(gè)非零特征根對(duì)應(yīng)的單位特征向量為新標(biāo)向量i , j ,從而得到另一坐向量 k =i父j , i ,j所對(duì)應(yīng)的主徑面分、， . . . . 、 一 _ .別為y O z面和x O z面，兩主徑面的交線為 z軸，z軸與曲面的交點(diǎn)為新原點(diǎn) O ,現(xiàn)在T T T 、. .i , j ,k的指向已完全確定。由(6.3.22)得到a11a12a13a14x。:a21a22a23a24y。a31a32

5、a33a34z0g41a 42a 43a 44 yl1 /a34 = X3Y3Z3._ . r 其中X3,Y3,Z3是k的坐標(biāo),(X0,y0,Z0)是新原點(diǎn)的坐標(biāo)。r 一由于k是對(duì)應(yīng)于特征根 九=0的特征向量，所以從上式得a34=X3ai4Y3a24Z3a34(2)拋物柱面2拋物柱面的最簡方程為a33Z +2a24y =0,其中a33為其唯一的非零特征根，與它對(duì)應(yīng)的特征向量與 z軸共線。這個(gè)特征向量所對(duì)應(yīng)的主徑面為xO y面，x軸是這個(gè)主徑面與二次曲面的交線。由此我們得到化簡這類曲面的方法：t t先求出其唯一的非零特征根 %,及所對(duì)應(yīng)的單位特征向量為 k , k所對(duì)應(yīng)的主徑面取為xO y面，x

6、O y面與曲的交線取為 x軸，x軸上可任取一點(diǎn)為新原點(diǎn) O ,這時(shí)得到 一個(gè)直角坐標(biāo)變換，在這樣取定的新坐標(biāo)系下，二次曲面的方程為2, 3z 2a24 y = 0其中%是唯一的非零特征根，類似拋物面情形中求a34的方法，a24可直接計(jì)算如下:1 a2a3a14 1ix0a21a22a23 a24y0a24 =(X2Y2Z20)=X 2a14 * 丫2 a24 + Z 2aa31 a32 a33 a34z01a41a42a43 a441 /其中*2，丫2?2是新坐標(biāo)向量j的坐標(biāo)，(小,丫0?0)是新原點(diǎn)坐標(biāo)。例1、化簡二次曲面方程并給出得到化簡方程的坐標(biāo)變換公式：222_x y 5z -6xy-

7、2xz 2yz-6x 6y-6z 10 = 0解：二次曲面的矩陣為1-3 -1 -3-3113-115-3-3 3-3 1011 =7 12 = 0 13 = 一36曲面特征方程為3_ 2_ _.-7- -36 0解得三個(gè)特征根為1=6, 2 = 3, 3 = -2與兒=6對(duì)應(yīng)的特征向量由方程組-5X 3Y Z =0 -3X -5Y + Z =0-X +Y Z = 0決定。解此方程組得是與儲(chǔ)=6對(duì)應(yīng)的特征向量。取它為由方程組2X -3Y -Z =04 3X 2Y + Z =0-X +Y +2Z =0解得與?.2 =3對(duì)應(yīng)的單位特征向量k 二屋9靠*m=弓9,0再由方程組X X0 - 3y0 -

8、z0 - 3= 0一 3x0 + y0 +z0 +3 = 0X0 +y0 +5z 3 = 0解得唯一中心(1, -1,1)F4(1,-1,1) =1由此得到簡化方程為坐標(biāo)變換公式為2226x2 3y2 -2z2 1 =011,1,x - - x y z 1. 6- 32_ 111.y=-x y +z -1J 6 V3J 221z : 一x y 1I. 、/63例2、化簡二次曲面方程2222x 2y 3z 4xy 2xz 2yz-4x 6y - 2z 3 = 0解：二次曲面的矩陣為2212、2213113-12 3 -13，Ii =7I2 =10 I3 =0 I4 = -125特征方程為 一，3

9、7,2 一10,=0 解得特征根為 1 =5,上=2,k=0方程組2x0 2y z0 -2 =02x0 2y z 3=0x y0 3z。-1 = 0的前兩個(gè)方程矛盾，所以方程組無解，因此，這是無心二次曲面，又因?yàn)樗袃蓚€(gè)非零特征 根，因此它是一個(gè)拋物面，其簡化方程為5x2 2y2 _5 2z =0例3、試求例2中得到簡化方程的坐標(biāo)變換解：在例2中，由方程組工 3X 2Y Z =0，2X -3Y+Z =0X + Y 2Z =0解得對(duì)應(yīng)于特征根% =5的單位特征向量由方程組2Y Z = 02X Z = 0X Y Z =0解得對(duì)應(yīng)于特征根% =2的單位特征向量:J :11k a一,022I 11與,

10、33共軻的主徑面為與 1 , 1 J6 1： 6共軻的主徑面為2x 2y -4z 3=0這兩個(gè)主徑面與二次曲面的公共交點(diǎn)由方程組x y z = 02x 2y -4z 3 = 0_2_2_ 22x 2y 3z 4xy 2xz 2yz - 4x 6y - 2z 3 = 0119 1、決定，解得父點(diǎn)為-，-, 取為原點(diǎn)，由此得到坐標(biāo)變換公式40 40 21，1，1，1x，3x、.6y 一 l 一401 1 1 19x y z.J、6 y.240二次曲面在新坐標(biāo)系下的方程為5x2 2y，2 5. 2z，=0例4、化簡二次曲面 2x2 十2y2 +4xy 6x10y 2j2z + 4 = 0解：二次曲面

11、的矩陣為220-3、220-5000亞3 - 5 2 24I1=4 I2=0 I3=0特征方程為 -，3 4-=0解得特征根為,2 =0兒3 =4方程組-1-2x0 2 y0，2x0 + 2 y 0-3 = 0-5=0.2=0因此是拋是矛盾方程，因此，該二次曲面是無心二次曲面，又因?yàn)樗挥幸粋€(gè)非零特征根, 物柱面。非零特征根九3 = 4,對(duì)應(yīng)的特征向量為方程組-2X 2Y =0 2X -2Y =0-4Z =0一、11 確定，因此0是對(duì)應(yīng)于 =4的特征向量,.22？11取k與石，下,0共軻的主徑面為4x 4y -8 = 0它是唯一的主徑面，它與二次曲面交線為4x+4y-8 =0、2x2 +2y2

12、 +4xy-6x-10y - 2缶 + 4 = 0即x + y -2 = 02y-V2z = 0 11，:1 12它的一個(gè)單位向量為,-，取為i ,則j = k4 =一 , ，一 2. 222 22因此，a24 =（-1）（-3）（-5） - ；2 - -2222所以該二次曲面的簡化方程為 .2.4z - 4y = 0即 2_z -y = 0例5、求二次曲面3x2 3y2 6z2 -6xy 2 2xz -2 2yz - x y 3 2z -1 = 0的簡化方程。解：二次曲面的矩陣為特征方程為3-322-2廠 1-3372222 - 226 -V22-11至-1 222Ii =12 I2 = 3

13、2 I3 =032-12 -32 =0解得特征根為1 1 =4, - 2 =8,.-3 = 0方程組有無窮多解，取其一個(gè)解3xo -3yo +2zo - =02 -3x0 +3y0 J萬 Z0 +1=02V2X0 -近y +6Z0 +32 =02X0 = 0, y0 =- , Z0 = -V2816入 35令(0,- , J2)為新原點(diǎn)8 1635 1335F4(0,-,2) =-(-). 2(-、2) - 18 1628216178得到所求二次的曲面的簡化方程為2 一 24x 8y17習(xí)題6 51、求下列二次曲面的簡化方程，并確定其位置(即求出得到簡化方程的坐標(biāo)變換)22 _ 2 _ 一一 一，一(1) xy 5z -6xy 2xz - 2yz-4x 8y - 12z 14 = 0(2) 2x2 16z2 -12 2xy-8 2xz 6yz 12x-9 2y 3 2z-9 =0222(3) x -y z。2xz-x y z = 0(4) 3x2 3