信號與系統(tǒng) 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

1、連續(xù)時間系統(tǒng)的描述方法：連續(xù)時間系統(tǒng)的描述方法： 建立微分方程建立微分方程 輸入輸入輸出法輸出法時域分析法：時域分析法：不通過任何變換，直接求解不通過任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程，系統(tǒng)的分析與計系統(tǒng)的微分、積分方程，系統(tǒng)的分析與計算全部在時間變量域內(nèi)完成。算全部在時間變量域內(nèi)完成。 這種方法直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)這種方法直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換方法的基礎(chǔ)。各種變換方法的基礎(chǔ)。時域分析的實現(xiàn)：時域分析的實現(xiàn)： 求解微分方程求解微分方程 沖激響應(yīng)與輸入激勵信號進(jìn)行卷積積分沖激響應(yīng)與輸入激勵信號進(jìn)行卷積積分 對給定的物理系統(tǒng)，須按照元件的對給定的物理系統(tǒng)，須按照元件的約束特性

2、來建立對應(yīng)的微分方程。約束特性來建立對應(yīng)的微分方程。+v (t)RLCiLiRiCiS(t)例例2-1 求并聯(lián)電求并聯(lián)電路的端電壓路的端電壓 v(t)與激勵源與激勵源iS(t) 間間的關(guān)系。的關(guān)系。clRsiiiiv (t)+RLCiLiRiCiS(t)RtvtiR)()( 解：解： tLdvLti )(1)(tdtvdCtiC)()( )()(1)()(tidvLRtvtvdtdCSt )()(1)(1)(22tidtdtvLtvdtdRtvdtdCS1. 微分方程的一般形式微分方程的一般形式 )()()()()()()()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtr

3、CdttdrCdttrdCdttrdCmmmmmmnnnnnn 0)()()()(11110trCdttdrCdttrdCdttrdCnnnnnn2. 微分方程解的形式微分方程解的形式齊次解：齊次解：系統(tǒng)齊次方程的解，記為系統(tǒng)齊次方程的解，記為)(trh特解：特解：由系統(tǒng)的激勵決定，也稱為系統(tǒng)的由系統(tǒng)的激勵決定，也稱為系統(tǒng)的 強制響應(yīng)強制響應(yīng)或或受迫響應(yīng)受迫響應(yīng)，記為，記為齊次解的形式齊次解的形式只與系統(tǒng)特性有關(guān)，只與系統(tǒng)特性有關(guān)，也稱系統(tǒng)的也稱系統(tǒng)的自由響應(yīng)自由響應(yīng)或或固有響應(yīng)固有響應(yīng)。)(trp系統(tǒng)的系統(tǒng)的全響應(yīng)全響應(yīng)為：為：)()()(trtrtrph 齊次解通解齊次解通解特解特解（1）

4、齊次解）齊次解是齊次方程的通解是齊次方程的通解齊次解是形如齊次解是形如 函數(shù)的線性組合函數(shù)的線性組合,令令01110tntntntnAeCeACeACeAC )(trh0)()()()(11110 trCdttdrCdttrdCdttrdCnnnnnntAe tAetr )(該齊次方程的特征方程為：該齊次方程的特征方程為：01110 nnnnCCCC n ,21稱為微分方程的稱為微分方程的特征根特征根，也也稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的自然頻率或固有頻率自然頻率或固有頻率。 當(dāng)特征方程無重根時當(dāng)特征方程無重根時tntthneAeAeAtr 2121)( nitiieA1 當(dāng)特征根當(dāng)特征根 1是是 k 重

5、根時，相應(yīng)重根時，相應(yīng) 1 的部分有的部分有 k 項項tikkiitkkkketAeAtAtAtA11)()(112211 tnkjjtikkiihjeAetAtr 111)(齊次解為：齊次解為：其中常數(shù)其中常數(shù) A1，A2，An 由初始條件由初始條件決定。決定。例例 2-3 給定系統(tǒng)方程如下給定系統(tǒng)方程如下, 求方程的求方程的齊次解齊次解。)()(12)(16)(7)(2233tetrtdtrddttrddttrd 解：解：該齊次方程的特征方程為：該齊次方程的特征方程為：01216723 3 221 （重根）（重根）方程的方程的齊次解齊次解為：為：ttheAeAtAtr33221)()( （

6、2）特解）特解特解的形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)特解的形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。 根據(jù)激勵確定特解的形式，并將特根據(jù)激勵確定特解的形式，并將特解和激勵代入方程，以確定特解的待定解和激勵代入方程，以確定特解的待定系數(shù)。系數(shù)。表表2-2 與幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解與幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解pttae)cos( t )sin( t )cos( tettap )sin( tettap 1121 ppppBtBtBtBBtaBe)sin()cos(21tBtB )sin()()cos()(1111teDtDtDteBtBtBtappptappp 例例 2-4 給定系統(tǒng)方程如下給定系統(tǒng)方程如下)()()(

7、3)(2)(22tedttdetrdttdrdttrd 已知已知2)(tte 求方程的求方程的特解特解。解：解： 查表查表2-2 ，根據(jù)激勵確定特解形式為，根據(jù)激勵確定特解形式為3221)(BtBtBtrp 將特解代入方程左端，激勵代入方程右端將特解代入方程左端，激勵代入方程右端ttBBBtBBtB2)322()34 (323212121 032223413321211BBBBBB2710 92 31321 BBB則特解為：則特解為：27109231)(2 tttrp（3）完全解）完全解將齊次解和特解相加，就得到完全解的函數(shù)式。將齊次解和特解相加，就得到完全解的函數(shù)式。)()()(trtrtr

8、ph )(111treAetApnkitikjtjkji 完全解中相應(yīng)完全解中相應(yīng)齊次解的系數(shù)齊次解的系數(shù)，要根據(jù)方程要根據(jù)方程的的初始條件初始條件（或任一時刻）（或任一時刻）決定：決定： )0(,),0(),0()0(11)(rdtdrdtdrrnnk 把初始條件代入上式建立方程組，確定把初始條件代入上式建立方程組，確定全部齊次解的待定系數(shù)全部齊次解的待定系數(shù)A1、 A2、 An。 )0()0()0()0()0()0(11111111221121pnnnnnnnnpnnpnrdtdAArdtdrdtdAAArdtdrAAAr )()(1treAtrpnitii 整理待定系數(shù)整理待定系數(shù)A1、

9、 A2、 An： )0()0()0()0()0()0(1111111n211n1211n21pnnnnppnnnrdtdrdtdrdtdrdtdrrAAA 各各 值及初始條件值及初始條件已知，已知，待定系數(shù)待定系數(shù)A1、 A2、 An可以確定可以確定。)(te1R2R1c2c)(2tuc1i2i例例 如圖所示電路，激勵信號如圖所示電路，激勵信號解：解：dtduCiC111 dtduCiC222 11)()(RutetiCs2221CCuRiu )(2sin)(tutte 電容兩端初始電壓為零，求輸出信號電容兩端初始電壓為零，求輸出信號 uc2(t) 的的表示式，表示式，其中其中 121RRF

10、F 312211 CC消去消去 i1、i2， 22112131)(3121CCCCCCudtduuutedtdudtdusi21iiis得方程得方程消去消去uC1，進(jìn)一步化簡：進(jìn)一步化簡：02sin66722222 ttudtdudtudCCC 其特征方程為其特征方程為0672 6 121 齊次解形式為：齊次解形式為：ttheAeAtr621)( 查表，確定特解表達(dá)式查表，確定特解表達(dá)式tBtBtrp2cos2sin)(21 將特解代入原方程，得將特解代入原方程，得ttBBtBB2sin62cos)214(2sin)142(2121 021461422121BBBB5021,50321BB所以

11、特解為：所以特解為：tttrp2cos50212sin503)()()()(2trtrtuphCtteAeAtt2cos50212sin503621因為電容兩端初始電壓為零，因為電容兩端初始電壓為零，0)0(, 0)0(21CCuu又由又由22131CCCudtduu0|02tCdtdu根據(jù)初始條件寫出如下方程：根據(jù)初始條件寫出如下方程：05066050212121AAAA503,2512502421AA則完全解為：則完全解為：)(2cos50212sin5035032512)(62tutteetuttCtteAeAtuttC2cos50212sin503)(6212總結(jié)：總結(jié)：1. 齊次解的

12、形式齊次解的形式是由系統(tǒng)的齊次方程決定的，是由系統(tǒng)的齊次方程決定的，也可以說是由系統(tǒng)本身的特性決定的。也可以說是由系統(tǒng)本身的特性決定的。但是：但是： 齊次解的系數(shù)齊次解的系數(shù) Ai 是與是與激勵信號有關(guān)激勵信號有關(guān)、并與并與初始條件有關(guān)初始條件有關(guān)的。的。 齊次解也稱系統(tǒng)的齊次解也稱系統(tǒng)的自由響應(yīng)分量自由響應(yīng)分量。2. 特解的形式特解的形式由激勵信號決定，由激勵信號決定，特解的系數(shù)特解的系數(shù) Bi由由系統(tǒng)本身特性系統(tǒng)本身特性和和激勵信號激勵信號共同決定。共同決定。 特解也稱系統(tǒng)的特解也稱系統(tǒng)的強迫響應(yīng)分量。強迫響應(yīng)分量。中的中的齊次解的系數(shù)齊次解的系數(shù)Ai 是由是由初始條初始條件件確定的。而初

13、始條件應(yīng)如何求得是本節(jié)確定的。而初始條件應(yīng)如何求得是本節(jié)要討論的問題。要討論的問題。系統(tǒng)的系統(tǒng)的（簡稱（簡稱0-狀態(tài)）：系統(tǒng)在狀態(tài)）：系統(tǒng)在激勵信號加入之前瞬間的一組狀態(tài)，定為激勵信號加入之前瞬間的一組狀態(tài)，定為)0(,),0(),0()0(11)(rdtdrdtdrrnnk)0(,),0(),0()0(11)(rdtdrdtdrrnnk系統(tǒng)的系統(tǒng)的（簡稱（簡稱0+狀態(tài)）：系統(tǒng)在狀態(tài)）：系統(tǒng)在激勵信號加入之后瞬間的一組狀態(tài)，定為激勵信號加入之后瞬間的一組狀態(tài)，定為一般，系統(tǒng)的一般，系統(tǒng)的 0+狀態(tài)可以通過系統(tǒng)的狀態(tài)可以通過系統(tǒng)的0-狀狀態(tài)和激勵信號求得。態(tài)和激勵信號求得。根據(jù)系統(tǒng)微分方程右端是

14、否包含根據(jù)系統(tǒng)微分方程右端是否包含 (t)及其及其各階導(dǎo)數(shù)，采用不同的方法求出各階導(dǎo)數(shù)，采用不同的方法求出 0+狀態(tài)值狀態(tài)值：電路定律電路定律學(xué)過學(xué)過沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法新內(nèi)容新內(nèi)容例例2-5 t 0 開關(guān)開關(guān)S處處于于1的位置且已達(dá)穩(wěn)的位置且已達(dá)穩(wěn)態(tài)。當(dāng)態(tài)。當(dāng)t =0時，時，S由由1轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向2。求解。求解 i(t) 在在t0+時的變化。時的變化。F , H , , 14123121CLRR 解：解：)(1teviRCLLCiRdtdiLv2LCidtdvCi+R1e (t)LCiLi(t)iCR212S+4V2V消去消去vC，iL，進(jìn)一步化簡：，進(jìn)一步化簡：)(4)(6)()(10)

15、(7)(2222tetedtdtedtdtitidtdtidtd 其特征方程為其特征方程為01072 5221 所以齊次解形式為：所以齊次解形式為：)0()(5221teAeAtitth t0+ 時，時，e(t)=4V 查表，確定特解表達(dá)式查表，確定特解表達(dá)式Btip)(581610BB 所以完全解形式為：所以完全解形式為：)0(58)(5221teAeAtitt )0(i)0(idtd換路前換路前A542)0()0(21RRiiL0)0(idtdV562354)0(Cv+R1e (t)LCiLi(t)iCR212S+4V2VA514)0()0(1)0(1CveRi換路后：換路后：A/s2)0

16、()0(1)0(1)0()0(1)0(11LCiiCedtdRvdtdedtdRidtd+R1e (t)LCiLi(t)iCR212S+4V2VF1 H41 23 121 CLRR)0(58)(5221 teAeAtitt51458)0(21AAi25)0(21AAidtd2341A1522AA )(5815234)(52tueetitt例例 ： )()(, 1)0()(2)(3)(tuterdttdetrdttdr試判斷試判斷)0( r解：解：根據(jù)方程兩端奇異函數(shù)平衡的原則根據(jù)方程兩端奇異函數(shù)平衡的原則)(2)(3)(ttrdttdr )(2)(ttr )(2)(tutr 可見可見 r(t)

17、 在在 t = 0 處有跳變：處有跳變：2)0()0( rr3)0(2)0( rr例例 ：2)0()(3)(3)(rttrdttdr 試判斷試判斷)0( r解：解：根據(jù)方程兩端奇異函數(shù)平衡的原則根據(jù)方程兩端奇異函數(shù)平衡的原則)(3)(ttr )(3)(ttr 設(shè)設(shè))()()()(tuctbtatrdtd )u(t),(t)tu(tubtatr0)(),()()(代入微分方程代入微分方程)(3)()(3)()()(ttubtatuctbta ( )3( )9 ( )r ttt( )3 ( )9r ttu ( )3( )9 ( )27r tttu )(3)()(3)()()(ttubtatuctb

18、ta 3a03 ab03 bc3a9b27c)(9)(3)(tuttr )00(9)0()0(bbrr跳變幅度為到從79)0()0(rr)()()(tubtatr 2)0( r例例2-6試判求試判求:22( )5( )4 ( )( )2 ( ),0dddr tr tr te te ttdtdtdt(0 )2 ,r(0 )4,r( )r t( )( ),e tu t 其特征方程為其特征方程為2540 121 4 所以齊次解形式為：所以齊次解形式為：412( )(0 )tthr tAeA et t0+ 時，時，e(t)=1 查表，確定特解表達(dá)式查表，確定特解表達(dá)式( ) pr tB142 2BB2

19、2( )5( )4 ( )( )2( ) ddr tr ti ttu tdtdt 22( )( )( ) dr tatb u tdt ( )( ) dr ta u tdt( )0r t代入微分方程代入微分方程( )( )( )( ) 2( ) a tb uta uttut 1a1b12,A A(0 ),(0 )(0 ),(0 )rrrr(0 )(0 )0rr(0 )(0 )1ddrradtdt2222(0 )(0 )1ddrrbdtdt(0 )2r(0 )5drdt( )( ) dr ta u tdt( )0r t1a1b22( )( )( ) dr tatb u tdt (0 )2r(0 )

20、4drdt( )( )( ) (0 )hpr tr trtt4120.5(0 )ttAeA et12120.5245AAAA1211,3136AA 41111( )0.5(0 )36ttr teet完全響應(yīng)完全響應(yīng) = 齊次解齊次解 + 特解特解自由響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)強迫響應(yīng) 按照產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的原因，可將全響應(yīng)分按照產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的原因，可將全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)：解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)：)()()(trtrtrzszi )(trzs不考慮起始時刻系統(tǒng)的初始儲能，僅由不考慮起始時刻系統(tǒng)的初始儲能，僅由系統(tǒng)的系統(tǒng)的外加激勵外加激勵引起的響應(yīng)。引起的響應(yīng)。)(trzi沒有外加激勵的

21、作用，只由沒有外加激勵的作用，只由起始狀態(tài)起始狀態(tài)(t=0-)所產(chǎn)生的響應(yīng)。所產(chǎn)生的響應(yīng)。)0()0()0( zszirrr因為t0 時，時， (t) 及其各級導(dǎo)數(shù)均為及其各級導(dǎo)數(shù)均為 0，方程，方程 右端恒為右端恒為 0。 當(dāng)當(dāng) nm 時，時，nktktueAthk1)()( 當(dāng)當(dāng) nm 時，時，)()()(11tAtueAthnnktkk 利用沖激函數(shù)匹配法求利用沖激函數(shù)匹配法求 ，代入方程，代入方程通解，確定系數(shù)通解，確定系數(shù)。)0()(kh1. 方法與求方法與求 h(t) 相似，只是等號右邊的自相似，只是等號右邊的自由項由項中中 (t) 的導(dǎo)數(shù)低一次。的導(dǎo)數(shù)低一次。2. 可通過可通過

22、g(t) 與與 h(t) 的關(guān)系由的關(guān)系由 h(t) 求出。求出。例例2-9 對對例例2-5 電路，求電流電路，求電流 i(t) 對激勵對激勵 的沖激響應(yīng)的沖激響應(yīng) h(t) 。)()(tte 解：解：列出的微分方程是：列出的微分方程是：)(4)(6)()(10)(7)(2222tetedtdtedtdtitidtdtidtd)(4)(6)()(10)(7)(22tttththdtdthdtd 響應(yīng)形式與齊次解相同響應(yīng)形式與齊次解相同)0()(5221teAeAthtt)()()()()(22tudtctbtathdtd 求響應(yīng)的初始條件求響應(yīng)的初始條件)0()(kh)(4)(6)()(10)

23、(7)(22tttththdtdthdtd )()()()(tuctbtathdtd )()()(tubtath 1a1b1 c1)0()0(bhh1)0()0(chdtdhdtd341A312A考慮到考慮到 nm2 ，且，且 a =1 ，因而，因而h(t) 中有一中有一項項 a (t)(3134)()(52tueetthtt 任意信號可以用沖激信號的組合表示：任意信號可以用沖激信號的組合表示： dtete)()()(若把它作用到?jīng)_激響應(yīng)為若把它作用到?jīng)_激響應(yīng)為h(t)的線性時不的線性時不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應(yīng)為變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應(yīng)為 dthedtHedteHteHtr)()()()()()()

24、()()()()()()(thtedthetr 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) f1(t) 與與函數(shù)函數(shù) f2(t) 具有相同的具有相同的自變自變量量 t，將，將 f1(t) 與與 f2(t) 經(jīng)如下的積分，可得經(jīng)如下的積分，可得到第三個相同自變量的到第三個相同自變量的函數(shù)函數(shù) f (t)，即，即 dtfftf)()()(21此積分稱為此積分稱為卷積積分卷積積分，記為：，記為：)()()(21tftftf 12tf1(t)c1tf2(t) 01)(1tf20 t其它其它 0)(2ctf10 t其它其它求解求解 f1(t) f2(t) dtfftftftf)()()()()(2121兩個矩形波兩個矩形波 f1(t

25、)與與 f2(t) 如圖如圖所示所示 解：解：1、變量置換、變量置換12 f1( )c1 f2( )2、反褶、反褶c-1 f2(- )03、平移、平移 將將 f2(- ) 沿時間軸沿時間軸 平移平移 t，t 為參變量為參變量)()(22tftf t0時向右平移，時向右平移，t0時向左平移時向左平移c-1 f2(t- )0tt-1c-1 f2(t- )0tt-1隨隨 t 取值不同，取值不同，f2(t- ) 出現(xiàn)在出現(xiàn)在不同位置不同位置4、相乘、相乘 將將 f1( ) 和和 f2(t- ) 相乘相乘12 f1( )c f1( )f2(t- )0tt-15、積分、積分c f2(t- )0tt-1c

26、f1( )f2(t- )0tt-1陰影的面積，即陰影的面積，即 f(t) 的值，是的值，是 t 時刻的卷積時刻的卷積.12 f1( )f1( ) f2(- ) 012 f1( )c-1 f2(- )0c1 f2(1- )0f1( ) f2(1- ) 0112 f1( )c1 f2(2- )0f1( ) f2(2- ) 0212 f1( )c3 f2(3- )0f1( ) f2(3- ) 0f(t)t21c 卷積作為一種數(shù)學(xué)運算，具有某些特殊性卷積作為一種數(shù)學(xué)運算，具有某些特殊性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以使卷積運算簡化。質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以使卷積運算簡化。)()()()(1221tftftftf 證明

27、：利用卷積定義證明：利用卷積定義 dtfftftf)()()()(2121用積分換元法：令用積分換元法：令 = t- ，則，則 d = -d )()()()(2121 dftftftf dftf)()(21)()(12tftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(321321tftftftftftf dtfftftf)()()()(2121 )()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtd 兩個函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函兩個函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)之導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積數(shù)之導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積。 dtffdtdtftfdtd)()()()(2121證明：證明：對上式右側(cè)的定積分，可將對上式右側(cè)的定積分，可將對對t的微分移至積的微分移至積分內(nèi)分內(nèi)， 是參變量是參變量。 ddttdff)()(21dttdftf)()(21 dtffdtdtftfdt