不等式中級(jí)水平必備

1、曷平均不等式1、幕平均函數(shù):不等式中級(jí)水平必備設(shè) X1 , X2 , ., Xn 0 ,則嘉平均函數(shù)定義為:2、M (0)xi X2 .xn ;r rM (r) X12n.X(1) (2)這兩個(gè)式子稱(chēng)為幕平均函數(shù).幕平均不等式：幕平均函數(shù)在利用其增減性得到的不等式稱(chēng)3、在r 0點(diǎn)的證明：設(shè)函數(shù)f (r) ln則：f '(r)(1)r rn(2)實(shí)數(shù)空間是連續(xù)且單調(diào)遞增的.為幕平均不等式.X r X J . X r12nnx r ln x d x r ln x o . x11 22 n于是：f '(0)即：e f '(0) er一x而：M (r) x.則:故:則:rln

2、xnr 0lnX1 x 1 lnx1 xr.xn 0.11nx 2.x0 lnxnln( X 1X2.X n )n ln X1 X2.xn00X1X2. xn 0XX .X-1 2X1 X2 . Xn nr . Xln M (r) 1 lnr X2 rXnf (r)rln M (0) lim In M (r) lim f (r) limf (r) f (0) f '(0)M (0) ef'(0)將代入得：M (0) n X1 X2 .Xn(1)式證畢.、幕平均不等式的推論1 Hn(3)n故r 1的幕平均值是調(diào)和平均值.x1 x21、在ri點(diǎn):由(2)式得:x 1 x 1 . x

3、M ( 1) 12n!2、(4)在r 0點(diǎn)：由已證明過(guò)的(1)式：M (0) n x1 x2.xn Gn故r 0的幕平均值是幾何平均值.3、在r 1點(diǎn)：由式得:2. xn4、在r 2點(diǎn)：由式得:.xn故r 1的幕平均值是算術(shù)平均值.22x x 2 . xM (2)12 n(6)nx 2 x 2. x 212nn2的曷平均值是平方平均值.5、推論：根據(jù)曷平均函數(shù)在實(shí)數(shù)空間是連續(xù)且單調(diào)遞增,r由1 0 1 2可得:H n Gn AnQn(7 )當(dāng)且僅當(dāng)x1x2 . xn時(shí)取等號(hào).以上是由幕平均不等式推 導(dǎo)的均值定理,在處理更高次方時(shí)，即r 2時(shí)，(2)式仍適用.三、加權(quán)不等式1、加權(quán)不等式:2 ,

4、 ., n 0, 1,且 1 2則j就是權(quán)重，1,2, ., n )時(shí)，恒有:1 a12a2nan a1 1a2.ann(8)成立.(8)式就是加權(quán)不等式.2、對(duì)n 2時(shí)：此時(shí)(8)式為:問(wèn)2a2ai 1 a2 2取1 2 L上取為：紅三、后 22這是二元的均值不等式.3、對(duì) n 3 時(shí)：此時(shí)(8)式為：iai2a2 3a3 a1 1 a2 2 a3 3取 123 1，上式 變?yōu)椋篴1 a2 a3 3a1a2a333這是三元的均值不等式.4、評(píng)價(jià)：此加權(quán)不等式為均侑加權(quán).由于權(quán)重的靈活配置，加 權(quán)不等式比均值不等式1、琴生不等式:更加靈活，也更加高效.對(duì)于向下凸函數(shù)，函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)

5、值.用數(shù)學(xué)式子表達(dá) 為:f( X1)f ( X2). f ( xn) f( X1 X2 Xn )(9)左邊是函數(shù)的平均 值，右邊是平均值的函數(shù)值.對(duì)于向上凸函數(shù)、只需在函數(shù)前面加一個(gè) 負(fù)號(hào)就可以直接采用(9)式.2、加權(quán)琴生不等式:若函數(shù)f(x1 ,x2, .,xn )在a, b區(qū)間連續(xù)，且在(a, b)區(qū)間為向下凸業(yè)，若 1 , 2，,n 0, 1,且 1 2 n1 ,對(duì)于 切 x1，x2，,xn (a, b)，貝h 1 f(x1 ) . n f ( xn) f (1 x1 .n xn)(10)-1當(dāng)12 . n 時(shí)，410)式就化為(9)式.n因此，(10)式是羽普遍的零牛不等式.3、推論

6、：設(shè)函數(shù)f ,在區(qū)間a, b R時(shí)，f是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則：對(duì)切 x, y a, b,恒有：_f(x) 7 f ( y) f ( *，) (11)222第 3 頁(yè) 對(duì)一切 x, y a, b,(0, 1),恒有:(12)f ( x) (1 ) f ( y) f ( x (1 ) y)4、向下凸函數(shù)判據(jù)：設(shè)函數(shù)f ,在區(qū)間a, bR時(shí)，f是一個(gè)連續(xù)函數(shù).如果f ( x) f( y) f(紅_)成立，則f為向下凸函數(shù). 22如果f ''( x) 0，則f為向下凸函數(shù).五、柯西不等式1、柯西不等式: 設(shè)a1，a2 , ., an ,s，b2 , ., % 為實(shí)數(shù)，則:(a . a )(

7、b.bn2)(a b1 1.a b )2(13)這就是著名的柯西不等式.2、推論 1:設(shè) a1, a2, .,an 0 ,b1 ,b2, .,bn 0 ,則:(a1 a2. an )(b1b2. bn )(14)推論2：設(shè)a1, a22 a1b1a 22b2,an 0 ,2anbnb1 ,b2, .,bn 0 ,(a 1a2. abb .b12(15)(15)式被稱(chēng)為權(quán)方和不等式.推論 3:設(shè)a1，a2, .,an 0 ,b1 ,fc2, .,bn0,則:a2a2 .anb b 2 b12n1a1 a2 . an(a1b1a2.也麗)2(16)bn推論4:設(shè)用，毛，,an 0 ,加，b2, .

8、, bn 0 ,貝U：a1 b1a2. b23nbn2(a1a2 . an)a b a b . a b1 12 2(17 )六、伯努利不等式1、伯努利不等式:設(shè) x1 , x2 , ., xn 1，貝h(1x1 )(1x2 ).(1 xn) 1x1x2xn(18)2、當(dāng) x1 x2 , ., xnx 時(shí):(1 x)n 1 nx (19)可見(jiàn)，(19)式是(18)式的特例，(18)式更普遍.七、切線(xiàn)法不等式|即：設(shè)限法1、切線(xiàn)法:設(shè)f (x)為實(shí)值向下凸函數(shù)，m, n R ,x (m, n),直線(xiàn)yax b與f相切于(m, n),假設(shè)：在x(m, n)區(qū)間，始終有：f ( x) ax b (20

9、)則：(20)式就稱(chēng)為切線(xiàn)不等式.當(dāng)f ( x) ax b時(shí)，前面加負(fù)號(hào)就可以采用(20)式2、指數(shù)不等式:ex x 1 ( x 1)函數(shù)為：f( x) e x,為向下凸函數(shù).則：f '(0) e0 1 , f (0) e0 1 ,在x 0處的切線(xiàn)方程為：y f '(0)( x 0) f (0) x 1故：在 x 1 區(qū)間，由(20)式得：f ( x)x 1，即：e x x 1(21)(21)式就是指數(shù)不等式.3、對(duì)數(shù)不等式:In xx 1( x 0 )函數(shù)為：f ( x) ln x,為向上凸函數(shù).設(shè)g( x)f ( x) ln x，則g( x)為向下凸函數(shù).則：g '

10、(1) x x 1 1， g(1) ln xlx 1 0 ,在x 1處的切線(xiàn)方程為：y g'(1)( x 1) g(1) ( x 1)故：在x 0區(qū)間，由(20)式得：g( x) ( x 1),即：In x ( x 1),即：In xx 1(22)(22)式就是對(duì)數(shù)不等式.八、定義符號(hào)對(duì)于3個(gè)對(duì)稱(chēng)變量的不等式,定義：為單輪換求和:為了簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，便于計(jì)算，我們定義兩個(gè)簡(jiǎn)化求和符號(hào) 展開(kāi)項(xiàng)數(shù)為3.cycP( x, y, z) P( x, y, z)cycP( y, z x) P(4 x, y) (23)(23)式為單輪換求和定義式.根據(jù)定義:單個(gè)求和:z；雙積求和:三積求和:定義:symc

11、yc2 xcyc3 xcycxycycx2 ycycx3 ycycx3 y2cycxyx2 yx3 yxyzcycx2 yzcycx2 y2cycz2 ；yz zx ；y2 zy3 zxyz2x yzy3 £z3 x2yzxzxy 3xyz ;y zx z xy xyz x y 才 xyz x ;z x2 y2 z y2 z2 x z2 x2 y xyz xy yz zxx3 yz 力 yz zx z xy xyz xxyzz2 ) xyz / .cycxy ;cyccyc為雙輪換求和：展開(kāi)項(xiàng)數(shù)為6.cycP( x, y, z)symP( x, y, z) P( y, z, x) P

12、(z, x, y)P( x, z y) P(z, y, x) P( y, x, z)P( x, y, z)P( x, z y)(24)cyccyc(24)式為雙輪換求和定義式.根據(jù)定義:單個(gè)求和:x2( xz)sym2 2cycx x y22( xsymcyccyc22 ycycz2)cyccyc雙積求和:三積求和:和的平方:和的立方:九、舒爾不等式乂3乂3丫3symxysymx2 ysymx3 ysym而cyccycx2 yx3 yxyzsymx2 yzsym2 2xyx2 zx3 zy3-zcycxzcycy2 zy3 zx3( y 2)xy( x2cyc6 xyz .2yz x zyxy

13、z xsymy2 z)2 x3.2( xyy2 zxz2 yyz zx)cyc2 xy ;cycz2 yx2( yz3 yy2 )x( y3cycy2 xzy2 z2 x).2z xy2 (x y 2)簡(jiǎn)寫(xiě)為:cyc3 (x y 2)簡(jiǎn)寫(xiě)為:cycz)xy( x y);cycz2 yxy2 x2 z2( xy yz zxx2 2cyccyccyc2xyz x;cyc2xyz xy ;cycxycyc3( x2 yy2 zz2 x2 xy2 yzz)6 xyz3 x3x- y 6 xyz/(x2y xyR ；cycsymcycsym1、舒爾不等式:設(shè)x,y, z0,對(duì)任何0,恒有:x ( x y

14、)( x z) y ( y z)( y簡(jiǎn)寫(xiě)為：xr ( x y)( x z) 0cycx)(25)zr (z x)(zy) o(25)式這就是舒爾不等式.2、對(duì)r 1的特例:x3z3 3xyz2 ysym簡(jiǎn)寫(xiě)為:xcyc33xyz2xy, sym或()cyc3xxyz2xy (26)sym由于：x( x y)( x z) x3 x2 y x2 z xyzxyzcyc所以：x( x y)( x z) x3 x2 ( y z)cyccyccycx3x2 ( y z 3xyzcycsym代入(25)式得(26)式.(27 )(y z x)(z x y)( x y z) xyz由于：(yz x)(z

15、x y)( x y z)z ( x y)z ( x y)( x y z) z2( x y)2 ( x y z2 ( x y) ( x y)2( x y) z3z( x y)2z2 x z2z2 xz2 y( x y)(x2y2)z3z x22xyyL)y ( x3 x2 y y2 x y3 ) z3 z( x2 2xy y ) x3 x2 y 2xyzcycsym所以(27 )式為：x3x2 y 2xyz xyzcyc sym即：x3 3xyzx2 y ,這正是(26)式.cycsym 4( x y z( xy yz zx ( x y z3 9xyz簡(jiǎn)寫(xiě)為：4( x)( xy) ( x)3 9

16、xyz (28) cyc cyccyc不等式左邊：x)4( x y z)( xy yz zx 4( x2 y xyz z5c xy2 y2 z xyz xyz yz z24 x2 y 3xyzsym不等式右邊：(x y 才3 9xyzG 3 / y 15 xyzcycsym代入(28)式得：4 x2 y 3xyzsymx3 3 x2 y 15 xyzcycsym即：x2 y/ 3xyz,即:symcycx3 3xyzx y ,這正是(26)1cycsym 2( xy yz zx ( x2 y2 z2 )9xyz x y z(29)簡(jiǎn)寫(xiě)為：2 xyX2警cyccyccyc由(x y z)2( x

17、y yz zX ( x2 y2 z2 ) 9xyz得左邊為：2( x y z)( xy yz zx ( x y 2)( x2 y2 z2 )2x2 y 3xyzx3k ysymcycsym移項(xiàng)合并得：x3 3xyzX2 y，這正是(26)式.cycsym x2 y2 z2 3 3 X2 y2 z2 2( xy yz zX I(30)簡(jiǎn)寫(xiě)為：X2 33 X2 y2 z2xycycsym9xyzx y z332 2 2由x y z 33 xyz代入(29)式得：2( xy yz zX ( x2 y2 z2 )yz zx).即：x2 y2z2 3 3 x2 y2 z2 2( xy對(duì)于r 1時(shí)，與此類(lèi)

18、似推導(dǎo).十、繆爾海德不等式1、繆爾海彳惠不等式:設(shè)ai, a2 , a3 ,bi, b2 ,b3為實(shí)數(shù)，且ai a2 33 0 ,bi b2 b3 0,ai bi, aia2bib2,aia2a3bib2b3;設(shè)x, y, z 0 ,則有:x i y 2 3 X za2 ya3ya，xa2 za3ya，za2 xa3za xa2 ya3zai ya2 xa3xbi yZb3xbizb2ya3簡(jiǎn)寫(xiě)為:x? y'2 J3ybi xb2 zb3ybi zb2 xb3x? yb2 zb3 (3i)zbi xb2 yb3zbi yb2 xb3symsym這就是繆爾海德定理.2、推廣為 股式：x，

19、X2a2 .xnanx1bi X2b2 .xnbn(32)symsymi、赫爾德不等式:設(shè) ai , a2 , a3 , bi , b2 , b3 , ci, c2 , c3 為正實(shí)數(shù)，則有:第 9 頁(yè)(a 3 a 3 a 3 )(b1231b 3 )C3(a b c a b c a1 1 12 2 2簡(jiǎn)寫(xiě)為： aii 1Ci 3(33)2、推廣為一般式:a.(34)3、推論：(1 ai )(1 a2)(1n、nan ) (1a102.an)(35)十二、排序不等式1、正序和:前面繆爾海德不等式的前提就是一個(gè)數(shù)列的有序化,即數(shù)是按從大到小、或者從小到大排列，這種按一定增減性排列的數(shù)就是有序數(shù).

20、當(dāng)有序數(shù)列an和bn 的增減性相同時(shí)：Sn a1b1 a2b2 . anbn稱(chēng)為正為和.2、反序和:當(dāng)有序數(shù)列an是從小到大排列，bn是從大到小排列時(shí):Sna1b1a2b2.anbn稱(chēng)為反序和.當(dāng)然，若an時(shí)從大到小排列，bn是從小到大排列時(shí)，Sn也是反住 坦.3、亂序和:當(dāng)數(shù)列an無(wú)序排列，或者bn無(wú)序排列，或者兩者都無(wú)序排列 時(shí)：Sn a1b1 a2b2 . anbn稱(chēng)為舌L序和.4、排序不等式:正序和亂序和 反序和 (36)(36)式稱(chēng)為排序不等式.三、切比雪夫不等式1、切比雪夫不等式：設(shè)X1 ,X2 , ., xn和y1,y2, ., yn為任意兩 組實(shí)數(shù)，若xn與yn的升降同序.即:

21、若 xiX2. xn ,貝Uyiy.yn若 xiX2. xn ,貝yiy2.yn1 n1 n 1 n(37 )則：一 x . y.- x.-y .n .1 n .1 n .1(37 )式稱(chēng)為切比雪夫不等式.練習(xí) 練習(xí)1設(shè)a, b, c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，求證 c- -cba a c b 2 .cba- a cb 23a練習(xí)2設(shè)a, b, c 0 ,求證:一"c練習(xí)3設(shè)x, y, z1 ,且 x 'z 2 ,求證：,x y練習(xí)4設(shè)x1,x2,.,xn為任意實(shí)數(shù)，證明不等式:x1x21 x1 221 x1x2 2 .-xn 4x1. xn 2 n .練習(xí) 5設(shè) x, y 0 ,

22、且 x y 2,求證：x2 y2 ( x2 y2 ) 2 .a2b21練習(xí)6設(shè)a, b 0，且a b 1,求正一.a 1b 1311練習(xí) 7設(shè) a, b, c 0,且 abc 1,求證：a b 1 b c 1 設(shè) x, y, z 0 ,且 xyz 1,求練習(xí)8證：z33(1 x)(1 y) 43x3y(1z)(1 x)b c3 31 b21 c22練習(xí)9設(shè)a, b, c 0 ,求證：a一21 a練習(xí) 10已知 x, y 1 ,求證：xy (1 y)(1 z)( xyxy 1.練習(xí) 11對(duì)實(shí)數(shù) x1, x2, .,xn ,求|x x1|x x2|. x xn| 的最小值.若函數(shù)f ( x, y,

23、 z)在實(shí)數(shù)區(qū)間a, b為向下凸函數(shù)，x, y, z a, b,求練習(xí)12證：第 11 頁(yè)f ( x) f ( y) f (z) 3 f (x y z ) 2 f ( x y ) 2 f ( y z )練習(xí) 13設(shè) P( x) an xn an 1 xn 1 2.ai x a0為正系數(shù)的多 項(xiàng)式，且naii 0P('x)P( x).練習(xí)1設(shè)a,b, c是一一個(gè)三角形的三c ba解析：采用設(shè)限法”對(duì)于三角形有：兩 邊之和大于第三遍，即：b c即：b2c即：b c 2b c 1 (a b ©2于是：laca2 (a b c)1b同理：c a12(a12 (a上面三式相加得:b12

24、(a b cc12(a b。證畢.a本題的式就是對(duì)某個(gè)量設(shè)限,即將二限制在某個(gè)范圍內(nèi)，以此得解.練習(xí)2設(shè)a, b, c 0 ,求證解析：采用柯西不等式由柯西不等式得:即：2(a b c)即：a b c b c即:bl證畢.練習(xí)3設(shè)x, y, z111(b c) (c a) (a b)(1 1 1)b c c aa b111 9b c c a a b9, 2即:且 1x1y求證：可x y解析：采用柯西不等式由 x y z 2 得：3 ( x y z) 1,即：x 由柯西不等式得:yy-1 -2 1) Wx 1 W_1 W 1)2即：x y z ( x 1 y 1 z 1)2即： x y z x

25、1 y 1 z 1.證畢.練習(xí)4設(shè)x1,x2,.,xn為任意實(shí)數(shù)，證明不等式:x11 x1 2解析：采用柯西不等式”.設(shè)x 1,則設(shè)分母為：021,于是:y則yo xok攵艙©評(píng) y y 1 *“2 x1x2 2 .21x1. xn 2 n2 xo2 x12xk( k 1 2, ., n )0xo,即:x1. xk 1xkykyk 1x1x2xn將 代入待證不等式得：第 13 頁(yè)式就是我們由于ykyk iyk yk i需要明的不等式則：yk由柯西不余式得:ii2證xk 0 ,所以ykiyk iykn(i i . i) 一 y0i i即：nyy01即:即:yoyii iyy'i

26、nyin0y2yn式代入式得: 將yii in yi yoy2yi證畢.yiyoyi_yiyyn n iyn 0ni iy y nynyn i即式得證,本題得證.練習(xí)5設(shè)x, y 0 ,且xy2) 2.解析：采用函數(shù)的增減性將x y 2規(guī)范化:利用式將待證式齊次化:x2y2(x2y2 )x y 2(2 )-iiyyn i n6(x y)因?yàn)閤 y 2 ,所以x, y不同時(shí)為0 .當(dāng)x, y其中一個(gè)為0時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng)x, y 0式，式兩邊同除以X6行：y 2y232(x ) (1 ( x ) )(1yx)6設(shè):t (0,),代入式得:32t 2(1 t 2) (1 t)611t t/ (

27、 tt 2332 p ( p 2)1 t 2(1 t)61即：32 T)t 3,即：32t t)(1設(shè)：p t t，則：P 2,)，代入式得:即：(p 2)3 32 p 0式就是待證式，其中p3 2,)構(gòu)建函數(shù)：f ( p) ( p 2) 32 p 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：f'( p) 3( p 2)2 32 3( p 2 4)2 32 3( p 2)224( p 2) 3 42 323( p2)2 24( p 2) 16當(dāng) p 2,)時(shí)，由式得：f '( p) 0 ,即f ( p)單調(diào)遞增.式成立,不等式練習(xí)6設(shè)a, b 0,且a b 1 ,求證:解析：采用柯西不等式.222(a 1)

28、(b 1) a b (a b)a 1 b 122 o2即:aa 1即：(a b) 2 a b (a b)2a 1 b b (a b)b 1(a b) 2將a b 1代入式得:證畢.1練習(xí) 7設(shè) a, b, c 0 ,且 abc解析：將不等式齊次化：求證：a b 1作換元:即:xyz ( x3cyc左邊：右邊:a b (abc) 333b c (abc) 33,且(abc)11(ab© 3 dxyz1,代入式得:z 1x, V zx3 y3 xyzy3 xyz( y3xyz( x3cycxyz ( x ycycr 6 xyz ycyc6 xy4( x (x3y3 (x3(x3xyzx

29、xyzxyz)(x33 xyz( yxy才(z3 x3xyZ3 xyz)( yx3 z3x3 y3y6 z6) 3 xyz)( y y3)( y3y3 )( y3 z332x yz yy3 z33( x33zz3) )(z32 2xyZy3 z34 xyz xy4 z4 xyzx2 y2 z2)z3x3) x2y3 z3、，3xyz)(z/ 3 xyz( xx ) xyz xy2 z2xyz x3 2 y3z3)x3)2 y332 y33x2 y2 z2 4 xyXxyzz3 ) x2 y2 z2 (z3z3 )(z3 x3 ) x2y2z2z )xyz x y z ( x 2 y z ) x

30、yz(x3 y3 z3y6 z3x3 z6y3 z6)(z3z3)xyz)x3 ) ( x3 y3 )( y3xyX2z3 x3 xyz( x3 y32 y36 y2 y3 x3 z3(x66z3yx6)23 x3 y6 x2 y22 2x6 z3x3 y3 z3(z3xyz3x2 y2 z26 y6 xyz：( x3( x y z3 x3 z63 z3x6 Vy6 z6)3( x3 y)(x62 y3 z6)z3)2xyz(3 y3z3 3 yz3)z x" ) 3x_ y_ z- 2xyX x3 y3y6 z33 z6y3 z6x6 y3x3 y6x6 z3代入式得：2xyz(

31、x3 y3 z3 )y6z3y3 z x6 y3y6 乂6片即：y6 z3 x3 z6x6 y3x3 y6x6 z332xyN xy3 z3)式不等式就是需要我 們證明的待證不等式.由繆爾海德定理：繆爾海德不等式: 設(shè)ai , a2 , a3 , bi , b2 , b3為實(shí)數(shù),ai a2 a3 0 ,bi b2 b3 0 ,ai bi , ai a2 bi b2 ,ai a2 a3 bi b2 b3 ;設(shè) x, y, z 0 ,則有:x' ya2 za3 xbi yb2 zb3x'簡(jiǎn)寫(xiě)為： x isymxai zaya3yai xa2za3xaxa2 ya3ya2 xa3zb

32、2 ya3ya2xb2 zb3對(duì)本題：ai 6 , a2 3za3symxbiybibxb3xb2yb3zbi ybxb3y 2 z 3 (3i)bi 4 , b2 i于是，式正好就是繆爾海德不等式.繆爾海德不等式 的式子兩邊要求齊次化,故本 題重要的就是 齊次化.練習(xí)8設(shè)x, y, z 0 ,且xyz i,求證:3x(i y)(i z)3y(i z)(i x)(i x)(i y) 4解析：本題采用均值定理分拆法:由均值定理得:(i y)(i z)3x3x(i y)(i z)i y i z 3x則：(i y)(i z)3y3x4同理：(i z)(i x)c8將上面三式x3相加得：3x1 y(1y)(1 z)4843 x 8381 x 83 81 x 43x43 4143 233'xyz 4343c3 31 c* 22證畢.練習(xí) 9設(shè) a, b, c 0,求證：_a_ _b_ 221 a 1b解析：本題采用均值定理分拆法： 法一:采用均值定理構(gòu)造.由均值定理得:2 A B 2C 3令：A 2a , B 1 a , C 1 a代入式得：2ai-a b c 3 3.d