數(shù)學(xué)模型第三版_課后習(xí)題答案

1、 數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第二章(1)（2008年9月16日）1 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.學(xué)生們要組織一個10人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）. 按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者;（2）. 1中的Q值方法；（3）.dHondt方法：將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)n=1,2,3,相除，其商數(shù)如下表： 1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù)），在數(shù)字下標(biāo)

2、以橫線，表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配的席位.你能解釋這種方法的道理嗎？如果委員會從10個人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較. 解：先考慮N=10的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配結(jié)果為： 方法二（Q值方法）9個席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第10個席位：計算Q值為 最大，第10個席位應(yīng)給C.分配結(jié)果為 方法三（dHondt方法） 此方法的分配結(jié)果為：此方法的道理是：記和為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人數(shù)，取從而得到的中選較大者，可使對所有的盡量接近. 再考慮的分配方案，

3、類似地可得名額分配結(jié)果.現(xiàn)將3種方法兩次分配的結(jié)果列表如下：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7總計 10 10 1015 15 152 試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過時間的數(shù)學(xué)模型.解： 設(shè)錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為n時，錄像帶轉(zhuǎn)過時間為t.其模型的假設(shè)見課本.考慮到時間內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得兩邊積分，得 第二章(2)（2008年10月9日）15速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為:P=, =

4、,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其

5、中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的速

6、度成正比.給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長, 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量, , ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質(zhì)量分別為,；,;,. 又 當(dāng)無量綱量時， 就有 .數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1節(jié)存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中

7、最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結(jié)果減少解：設(shè)購買單位重量貨物的費用為,其它假設(shè)及符號約定同課本 對于不允許缺貨模型，每天平均費用為： 令 ， 解得由 ，得與不考慮購貨費的結(jié)果比較，、的最優(yōu)結(jié)果沒有變 對于允許缺貨模型，每天平均費用為： 令，得到駐點：與不考慮購貨費的結(jié)果比較，、的最優(yōu)結(jié)果減少2建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)，開始的一段時間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形.設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為，單位時間每件產(chǎn)品貯存費為，以總費用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費為

8、又 , 貯存費變?yōu)?于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費用（單位時間內(nèi)）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況. . 此時產(chǎn)量與銷量相抵消，無法形成貯存量.第三章2（2008年10月16日）3在3.3節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關(guān)，試假設(shè)一個合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型.解：考慮滅火速度與火勢有關(guān)，可知火勢越大，滅火速度將減小，我們作如下假設(shè): ，分母而加的.總費用函數(shù)最優(yōu)解為 5在考慮最優(yōu)價格問題時設(shè)銷售期為T，由于商品的損耗，成本隨時間增長，設(shè)，.又設(shè)單位時間的銷售量為.今將銷售期分為兩段，每段的價格固定，記作.

9、求的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤最大.如果要求銷售期T內(nèi)的總售量為，再求的最優(yōu)值. 解：按分段價格，單位時間內(nèi)的銷售量為 又 .于是總利潤為=, 得到最優(yōu)價格為:在銷售期T內(nèi)的總銷量為于是得到如下極值問題： 利用拉格朗日乘數(shù)法，解得：即為的最優(yōu)值.第三章3（2008年10月21日）6. 某廠每天需要角鋼100噸，不允許缺貨.目前每30天定購一次，每次定購的費用為2500元.每天每噸角鋼的貯存費為0.18元.假設(shè)當(dāng)貯存量降到零時訂貨立即到達(dá).問是否應(yīng)改變訂貨策略？改變后能節(jié)約多少費用？解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸);每次訂貨費2500（元）;每天每噸角鋼的貯存費0.18（元）.又現(xiàn)在的

10、訂貨周期T30（天）根據(jù)不允許缺貨的貯存模型：得：令 ， 解得： 由實際意義知：當(dāng)（即訂貨周期為）時，總費用將最小. 又300100k =35333100k（353.33100k）（300100k）5333.故應(yīng)改變訂貨策略.改變后的訂貨策略（周期）為T=，能節(jié)約費用約5333元.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,一件甲產(chǎn)品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產(chǎn)品用原料2千克, 原料4千克.現(xiàn)有原料20千克, 原料70千克.甲、乙產(chǎn)品每件售價分別為20元和30元.問如何安排生產(chǎn)使收入最大？解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件，相應(yīng)的利潤為S則此問題的數(shù)

11、學(xué)模型為： max S=20x+30y s.t. 這是一個整線性規(guī)劃問題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域為：由直線：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內(nèi) 平行移動. 易知：當(dāng)過與的交點時， xS取最大值. 由 解得 此時 20350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設(shè)甲

12、貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為,所獲利潤為則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動. 易知：當(dāng)過與的交點時，取最大值由 解得 . 3某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計劃在下季度生產(chǎn)甲、乙兩種型號的微波爐.已知每臺甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3和2個單位.而生產(chǎn)一臺甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,所需工時分別為4和2個單位.若允許使用原料為100個單位,工時為120個單位,且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于6臺和12臺.試建立一個數(shù)學(xué)模型,確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺數(shù),使獲利潤最大并求出最大利潤.解：設(shè)安排生產(chǎn)甲型

13、微波爐件,乙型微波爐件,相應(yīng)的利潤為S.則此問題的數(shù)學(xué)模型為： max S=3x +2y s.t. 這是一個整線性規(guī)劃問題 用圖解法進(jìn)行求解可行域為：由直線：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：3x+2y=c在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動. 易知：當(dāng)過與的交點時, S取最大值. 由 解得 . 3100.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第五章1（2008年11月12日）1.對于5.1節(jié)傳染病的模型，證明： （1）若，然后減少并趨于零；單調(diào)減少至 （2）解：傳染病的模型（14）可寫成 （1） （2） 4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初

14、始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為第五章2（2008年11月14日）中心室, 排除6. 模仿5.4節(jié)建立的二室模型來建立一室模型（只有中心室），在快速靜脈注射、

15、恒速靜脈滴注（持續(xù)時間為）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形. 解: 設(shè)給藥速率為 (1)快速靜脈注射: 設(shè)給藥量為 則(2)恒速靜脈滴注(持續(xù)時間為): 設(shè)滴注速率為解得 (3) 口服或肌肉注射: 3種情況下的血藥濃度曲線如下：(1)(2)(3)Ot 4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)

16、求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1節(jié)捕魚模型中，如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩(wěn)定狀況(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，其結(jié)果與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同解：設(shè)時刻t的漁場中魚的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點及其

17、穩(wěn)定性：由，得 即 ，(1)的解為：當(dāng)，(1)無實根，此時無平衡點；當(dāng)，(1)有兩個相等的實根，平衡點為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定；當(dāng)，時，得到兩個平衡點：， 易知： ， ， ，平衡點不穩(wěn)定，平衡點穩(wěn)定x(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定這是與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型不同之處要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量，且盡量接近，但不能等于2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長規(guī)律的是Gompertz模型：其中r和N的意義與Logistic模型相同設(shè)漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)

18、產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強度和漁場魚量水平解：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記 令，得 ，平衡點為 . 又， 平衡點是穩(wěn)定的，而平衡點不穩(wěn)定. 0 最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：由前面的結(jié)果可得 ，令得最大產(chǎn)量的捕撈強度從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量，此時漁場魚量水平3設(shè)某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為：其中為固有增長率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數(shù).1求漁場魚量的平衡點,并討論其穩(wěn)定性;2試確定捕撈強度,使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,求此時漁場魚量水平.解：1變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當(dāng)時，（1）無實根，此時無平衡點； 當(dāng)時，（1）有兩

19、個相等的實根，平衡點為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當(dāng)時，得到兩個平衡點： ， 易知 ， ， 平衡點不穩(wěn)定 ，平衡點穩(wěn)定. 2最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量,且盡量接近,但不能等于. 數(shù)學(xué)模型第七章作業(yè)（2008年12月4日）1 對于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第和第時段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較.2已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)

20、于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.3 已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第七章（2008年12月4日）2 對于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第和第時段的數(shù)量和決定，如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較.（2）若除了由和決定之外，也由前兩個時段的價格

21、和確定.試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會放寬.解：（1）由題設(shè)條件可得需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)分別為： 在點附近用直線來近似曲線，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 對應(yīng)齊次方程的特征方程為 特征根為當(dāng)時，則有特征根在單位圓外，設(shè)，則 即平衡穩(wěn)定的條件為與的結(jié)果一致.（2）此時需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)在處附近的直線近似表達(dá)式分別為： 由（5）得， 將（4）代入（6），得 對應(yīng)齊次方程的特征方程為代數(shù)方程（7）無正實根，且不是（7）的根.設(shè)（7）的三個非零根分別為，則對（7）作變換： 則 其中 用卡丹公式：其中求出，從而得到，于是得到所有特征根的條件.2已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)于

22、商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） -（2）從上述兩式中消去可得 ， -（3）上述（3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（3）對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當(dāng)8時，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點穩(wěn)定平衡條件為 3 已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為

23、和，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當(dāng)8時，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點穩(wěn)定

24、平衡條件為 4在“椅子擺放問題”的假設(shè)條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，其余條件不變.試構(gòu)造模型并求解.解：設(shè)椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為軸，用中心點的轉(zhuǎn)角表示椅子的位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為;C、D與地面距離之和記為.并旋轉(zhuǎn).于是，設(shè)就得到.數(shù)學(xué)模型：設(shè)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).若,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個連續(xù)函數(shù). 從而是上的連續(xù)函數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：,使.即,使.又因為,有.故.9 （1）某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00

25、回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點.為什么？（2）37支球隊進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束.問共需進(jìn)行多少場比賽，共需進(jìn)行多少輪比賽.如果是支球隊比賽呢？解：（1）方法一：以時間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點,兩天都在時刻經(jīng)過地點. x d 方法二：設(shè)想有兩個人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點記路程,設(shè)從山下旅店到山

26、頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因為除冠軍隊外，每隊都負(fù)一場；6輪比賽，因為2隊賽1輪，4隊賽2輪，32隊賽5輪. 隊需賽場，若，則需賽輪.2已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.試建立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為和.設(shè)曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲

27、線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應(yīng)的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（5）當(dāng)8時，顯然有 -（6）從而 2，在單位圓外下面設(shè)，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 故點穩(wěn)定平衡條件為 3設(shè)某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為：其中為固有增長率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數(shù).（1）求漁場魚量的平衡點,并討論其穩(wěn)定性;（2）試確定捕撈強度,使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,并求此時漁場魚量水平.解：（1）.變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當(dāng)時，（1）無實根，此時無平衡點； 當(dāng)