相關(guān)系數(shù)為何用協(xié)方差函數(shù)來定義華端練

1、貴州師范（民族）大學(xué)成人教育畢業(yè)論文協(xié)方差函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)的必然性系別 數(shù)學(xué)系 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級 2014級 姓名 華端練 學(xué)號 教導(dǎo)教師 陳興強(qiáng) 2015年12月6日 協(xié)方差函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)的必然性華端練一 協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的定義21. 協(xié)方差函數(shù)的定義22. 協(xié)方差函數(shù)的意義23. 自相關(guān)函數(shù)定義24. 自相關(guān)函數(shù)的意義25. 協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的聯(lián)系2二 相關(guān)系數(shù)的定義2三 協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)的必然性：21.自相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)的缺陷22. 協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)的好處2四 相關(guān)系數(shù)的價(jià)值21. 自相關(guān)函數(shù)的局限性22. 協(xié)方差函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)23. 相關(guān)系數(shù)價(jià)值2五 參考

2、文獻(xiàn)2摘要：學(xué)習(xí)過隨機(jī)過程理論的都知道先關(guān)系數(shù)是有協(xié)方差函數(shù)定義的，對于很多定義我們沒有太多的思考為什么，只知道它們就是這樣定義的，每一領(lǐng)域的知識權(quán)威都認(rèn)可這樣的定義，于是我們便很自然地也接受了這些定義。就相關(guān)系數(shù)的定義而言，相關(guān)系數(shù)是由協(xié)方差函數(shù)定義的，對于這一定義基本沒有人對此懷有任何懷疑，因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)家們都已經(jīng)認(rèn)可的理論，但當(dāng)初牛頓的運(yùn)動論在微觀領(lǐng)域的很多方面是不適用的，雖然一時(shí)得到部分權(quán)威人士的認(rèn)可，地心說一時(shí)也得到很多科學(xué)家的定義，那么用協(xié)方差函數(shù)來定義相關(guān)系數(shù)真的就是最好的方式嗎？為什么不用自相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)？本文就來討論這一問題。關(guān)鍵詞：協(xié)方差函數(shù)；自相關(guān)函數(shù)；均值；分布律；

3、概率密度。1 協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的定義 1、協(xié)方差函數(shù)的定義介紹協(xié)方差定義之前先介紹均值和中心距，均值又叫數(shù)學(xué)期望，是一個隨機(jī)變量或隨機(jī)變量最基本的數(shù)字特征，研究一個變量或過程的各種性質(zhì)，必須對其均值進(jìn)行研究，因?yàn)殡m然可以通過變量或過程的分布律或概率密度確定其相關(guān)信息，但在實(shí)際生活中分布律和概率密度都是很難得以確定的，所以我們可以自研究我們有用的部分信息，均值就是其中一項(xiàng)。設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為，如果積分絕對收斂，則稱它為隨機(jī)變量的均值，記作，即類似地，我們可以這樣定義隨機(jī)變量的函數(shù)的均值：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，為連續(xù)函數(shù)，若絕對收斂，則對于隨機(jī)過程的均值則定義為若為的一維概

4、率密度函數(shù)，定義隨機(jī)過程的均值為：中心距也是隨機(jī)過程理論里一個相當(dāng)重要的量，我們通常這樣定義k階中心距：設(shè)為隨機(jī)變量，若存在，且，則稱 為的k階中心距。而稱 為的k階絕對中心距。顯然有，所以中心距的意義很重要。了解了均值和中心距的定義后對協(xié)方差函數(shù)的定義就很便于理解了，我們通常這樣定義協(xié)方差：設(shè)和是隨機(jī)過程在任意兩個時(shí)刻和的狀態(tài)，是相應(yīng)的二維概率密度，則稱二階中心混合距為隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)。隨機(jī)過程的協(xié)方差和隨機(jī)變量的協(xié)方差的定義大同小異，只是隨機(jī)變量的各種數(shù)字特征是確定的值，而隨機(jī)過程的各類數(shù)字特征是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，兩者在某一種意義上是相同的，因?yàn)殡S機(jī)變量的研究對象是確定的量，隨機(jī)過程的研

5、究對象是隨著時(shí)間而變化的，即隨機(jī)過程是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量的總體，所以兩者的很多數(shù)字特征是相似的，所以在下文的介紹中將只對隨機(jī)過程進(jìn)行相關(guān)的討論。1、協(xié)方差函數(shù)的意義在學(xué)習(xí)協(xié)方差之前，都會對均值，標(biāo)準(zhǔn)差和方差等有一定的了解，但標(biāo)準(zhǔn)差和方差一般是用來描述一維數(shù)據(jù)的，現(xiàn)實(shí)生活我們常常遇到含有多維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，如果對于處理這樣的問題我們依然依靠上面幾個特征值，那么將會增加很多不必要的工作量，于是協(xié)方差便應(yīng)運(yùn)而生，它可以很好地解決二維問題，對于那些多維問題需要計(jì)算多個協(xié)方差，比如n維的數(shù)據(jù)集就需要計(jì)算個協(xié)方差，我們會使用矩陣來組織這些數(shù)據(jù)，所以利用協(xié)方差我們可以處理現(xiàn)實(shí)生活中的很多問題，那么協(xié)方差函數(shù)

6、的協(xié)方差的結(jié)果有什么意義呢？通常我們這樣理解其結(jié)果，如果結(jié)果為正值，則說明兩者是正相關(guān)的，比如如果學(xué)習(xí)成績和學(xué)習(xí)時(shí)間的協(xié)方差函數(shù)結(jié)果是正的，則表示兩者正相關(guān)，及學(xué)習(xí)時(shí)間越長，成績越好。反之，結(jié)果若為負(fù)值就說明負(fù)相關(guān)的，如果為0，也就是統(tǒng)計(jì)上說的“相互獨(dú)立”，但在隨機(jī)過程里協(xié)方差函數(shù)結(jié)果為0，與兩者獨(dú)立是不等價(jià)的。當(dāng)然協(xié)方差越大說明兩者的相關(guān)性較強(qiáng)，越小說明兩者相關(guān)性較弱。協(xié)方差對于二維甚至多維的意義不止是對于對兩個變量或是兩個過程而言的，還對一個過程的兩個不同時(shí)刻或是多個不同時(shí)刻的研究也很有意義，當(dāng)然一個過程的不同時(shí)刻之間的關(guān)系其實(shí)就不同變量之間的關(guān)系。協(xié)方差也有不同的分類，對于變量而言，其協(xié)

7、方差是確定的值，對于過程而言，協(xié)方差是時(shí)間的函數(shù)，和過程的其他數(shù)字特征一樣。對于過程的協(xié)方差函數(shù)我們通常又分為自協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)也就是一個過程不同時(shí)刻之間的協(xié)方差函數(shù)，互協(xié)方差函數(shù)是兩個不同時(shí)刻不同時(shí)間點(diǎn)之間的協(xié)方差。協(xié)方差函數(shù)除了其結(jié)果可以衡量兩過程之間的相關(guān)性，還可以間接性地表示其他一些數(shù)字特征，比如通過協(xié)方差函數(shù)我們可以求得方差，即：當(dāng)然還可以和自相關(guān)函數(shù)和均值聯(lián)系起來，即：協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系將會在下文進(jìn)行詳細(xì)的介紹。2,自相關(guān)函數(shù)定義同樣介紹自相關(guān)函數(shù)之前我們先了解原點(diǎn)矩的定義，通常這樣定義k階原點(diǎn)矩：設(shè)為隨機(jī)變量，若有，則稱 為的k階原點(diǎn)矩距。而稱 為

8、的k階絕對原點(diǎn)矩。很明顯，零階原點(diǎn)矩，一階原點(diǎn)矩為隨機(jī)變量的均值。自相關(guān)函數(shù)則這樣定義：設(shè)和是隨機(jī)過程在任意兩個時(shí)刻和的狀態(tài)，是相應(yīng)的二維概率密度，則稱二階原點(diǎn)距為隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)。它反映的是隨機(jī)過程在任意兩個不同時(shí)刻之間的相關(guān)性。3,自相關(guān)函數(shù)的意義顧名思義，自相關(guān)函數(shù)是衡量相關(guān)性的函數(shù)，表示了它所表述的兩者的關(guān)系是怎樣的，如父輩身高和子代身高的關(guān)系等就可以用其衡量。自相關(guān)函數(shù)表達(dá)了同一過程不同時(shí)刻的相互依賴關(guān)系，不同的值反映同一過程不同時(shí)刻之間不同的依賴關(guān)系，這對研究過程不同時(shí)刻之間的關(guān)系尤為重要。與自相關(guān)函數(shù)相對應(yīng)，還有互相干函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)反映的是不同過程之間的相關(guān)性

9、，我們通常這樣定義互相關(guān)函數(shù)：兩個過程和的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則其互相關(guān)函數(shù)為：互相關(guān)函數(shù)的重要性不亞于自相關(guān)函數(shù)，在很多領(lǐng)域兩者都得到了很大的運(yùn)用。特別是在無線信號處理上尤為重要，由于相關(guān)具有能量的量綱，所以在信號處理方面運(yùn)用得較多，其中自相關(guān)的復(fù)立葉變換就是功率普密度。對于互相關(guān)，如果兩個信號相似性很大，則其互相關(guān)函數(shù)的峰値會很大，反之，則較小。 如果兩個信號完全不相關(guān)，即完全不相似，則其相關(guān)函數(shù)有可能是0。也就是兩個信號正交，即。而自相關(guān)是對信號相關(guān)程度的一種度量，也就是說自相關(guān)可以看作是信號與自身的延遲信號相成后的乘積進(jìn)行積分運(yùn)算，隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜是傅氏變換對，通過對

10、接受信號的自相關(guān)運(yùn)算可以進(jìn)行頻譜分析，即（也有，這兩個公式也叫作維納-辛欽公式）。當(dāng)然相關(guān)函數(shù)還可以和其他一些數(shù)字特征聯(lián)系以來，它與均方值有這樣關(guān)系。它與均值有這樣的關(guān)系：，對于這一式，我們可以這樣理解，當(dāng)一過程的兩個不同時(shí)刻相隔無限遠(yuǎn)時(shí)，兩者肯定是不相關(guān)的。它與方差有這樣的關(guān)系：。由此可見相關(guān)函數(shù)與各種數(shù)字特征都有聯(lián)系，可見其意義非凡。4,協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的聯(lián)系從上面的介紹我們知道，兩者的定義很相似，所描述過程的性質(zhì)也很相似，所以兩者的聯(lián)系必然是千絲萬縷。從兩者定義我們可以做如下推導(dǎo)：所以：兩者在公式上的相關(guān)聯(lián)性，也反映出它們在物理意義和實(shí)際運(yùn)用上的相似性，兩者都可以反映兩個過程或是同

11、一過程的兩個或多個時(shí)刻之間的相關(guān)性，物理意義上，兩者都有很多運(yùn)用，比如，對于兩過程的關(guān)系中“正交”，“不相關(guān)”，“互相獨(dú)立”便是根據(jù)兩者的關(guān)系來決定的，比如“正交”即兩過程的互相關(guān)函數(shù)為0；“互不相關(guān)”即兩過程的協(xié)方差為0，兩者的互相關(guān)函數(shù)等于常數(shù)；“互相獨(dú)立”即即兩過程的協(xié)方差為0，兩者的互相關(guān)函數(shù)等于兩者均值的乘積。2 相關(guān)系數(shù)的定義每一個定義的出現(xiàn)，必然有其產(chǎn)生的原因，就像每一種物品都有其用武之地，而在學(xué)術(shù)界一個新定義的產(chǎn)生必然是因?yàn)橐延卸x不能夠滿足需要。同樣，相關(guān)系數(shù)的產(chǎn)生也是由于已有定義，諸如：協(xié)方差，自相關(guān)函數(shù)不能夠很好地描述事物之間的相關(guān)性，所以定義了相關(guān)系數(shù)這一定義。一般我們

12、這樣定義相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)有時(shí)也叫作歸一化的相關(guān)函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)。很明顯，相關(guān)系數(shù)的很多性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相同，它能夠更加準(zhǔn)確地描述隨機(jī)過程中兩個起伏量之間的線性關(guān)聯(lián)程度，其值可正可負(fù)也可以為零，為正時(shí)表示變量和符號相同的可能性較大，反之，負(fù)號表示相反的可能性較大，表示完全相關(guān)，表示完全不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)反映的相關(guān)性比相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)要精確很多，它通常與相關(guān)時(shí)間一起運(yùn)用，反映事物之間的相關(guān)性。3 協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)的必然性：1.自相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)的缺陷前面已經(jīng)介紹了相關(guān)系數(shù)的定義，但這只是數(shù)學(xué)家給出的定義，就像我們在文首質(zhì)疑的那樣，這樣的定義是否合理，如果合理是不是最佳的定義，是不是

13、還有其他的更加完美的定義方法，會不會數(shù)學(xué)家這樣的定義完全就是不合理的，或者是不是還有其他合理的定義，或是出現(xiàn)兩者定義都合理的情況，有些概念或是公式存在兩種或是多種定義方式的先列是存在的，而且并不只是一個兩個，無獨(dú)有偶，會不會相關(guān)系數(shù)的定義也會出現(xiàn)這種情況，對于相關(guān)系數(shù)的定義，數(shù)學(xué)家給出的定義由協(xié)方差函數(shù)定義的，即，這很另我感覺別扭，或是匪夷所思吧！如果且從這一概念的名字來了解，相關(guān)系數(shù)為什么要用協(xié)方差函數(shù)來定義，難道不應(yīng)該用相關(guān)函數(shù)來定義嗎？相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)一樣可以描述過程的相關(guān)性，而且兩者所描述的相關(guān)性并沒有質(zhì)的區(qū)別，都能夠很好地描述過程的相關(guān)性，難道相關(guān)函數(shù)有什么致命的缺陷嗎？導(dǎo)致數(shù)學(xué)

14、家們舍近求遠(yuǎn)。還是協(xié)方差函數(shù)在描述相關(guān)性方面有相關(guān)函數(shù)不可比擬的優(yōu)點(diǎn)？下面我試著用相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)，仿照著用協(xié)方差函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)，我這樣用相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)：通過這一定義，我做了如下的推導(dǎo)：也就是說，通過相關(guān)函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)的含義，就是求原隨機(jī)過程兩個不同時(shí)刻的除去它們的均值后的相關(guān)函數(shù)，也就是求和的相關(guān)函數(shù)，這樣和原相關(guān)函數(shù)的定義并沒有什么本質(zhì)上的區(qū)別，只是數(shù)值的不同而已。也就說這樣的定義和相關(guān)函數(shù)的定義相比而言，并不會給我們的運(yùn)算過程或是對事物的研究過程帶來任何實(shí)質(zhì)上的幫助，那么這就失去了其存在的意義，因?yàn)槲覀儾恍枰恍├圪樀亩x，所以我們的假設(shè)并不成立，通過相關(guān)函數(shù)來定義相關(guān)

15、系數(shù)的設(shè)想是沒有任何可行性的，所以我們不得不舍棄這樣的定義。2,協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)的好處用協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)，即，由定義式我們可以得到，相關(guān)系數(shù)被定義為歸一化的協(xié)方差函數(shù)，歸一化的運(yùn)用在很多學(xué)科里有很大的優(yōu)勢，可以對研究過程帶來便利，比如微波中會對各種量進(jìn)行歸一化，這樣對研究過程起到很大的幫助，在隨機(jī)過程理論中的高斯過程也有其歸一化方式，通過歸一化可以將處理過程大大簡化，但是有人可能會反駁，上面的假設(shè)，即，同樣也是被定義為歸一化的相關(guān)函數(shù)，為什么就沒有用協(xié)方差函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)這樣的作用呢？很顯然，原因就在于兩者歸一化的基礎(chǔ)不一樣，用相關(guān)函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)是在的基礎(chǔ)上定義的，而，如果對于隨機(jī)變量

16、只是一個常數(shù)，即使是隨機(jī)過程也只是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，這對過程的研究沒有什么實(shí)質(zhì)性的影響；而用協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)時(shí)，其實(shí)過程的方差，而不且且是在原協(xié)方差函數(shù)的基礎(chǔ)上除以一個常數(shù)，所以用協(xié)方差函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)比用相關(guān)函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)要好得多。而且用協(xié)方差定義的相關(guān)系數(shù)相比于協(xié)方差函數(shù)而言產(chǎn)生了新的價(jià)值，比如對于隨機(jī)過程的兩個起伏量即變量和之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，雖然完全可以用協(xié)方差函數(shù)描述，但是還與還與兩個起伏量的強(qiáng)度有關(guān)，如果兩變量的關(guān)聯(lián)較強(qiáng)時(shí)，即比較小時(shí)，也不會大，也就是說協(xié)方差函數(shù)并不能夠確切地表示關(guān)聯(lián)程度的大小，但是通過對進(jìn)行歸一化后，我們可以除去起伏強(qiáng)度的影響，也就是，可以確切地表示關(guān)聯(lián)程度

17、的大小，而且由協(xié)方差函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)會有很多其他方面的應(yīng)用，比如由它衍生出來的相關(guān)時(shí)間就是一個描述過程很重要的量。對于由協(xié)方差函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)所衍生出來的諸如相關(guān)時(shí)間等量，將會在下一節(jié)“相關(guān)系數(shù)的價(jià)值”一節(jié)進(jìn)行更加詳細(xì)的介紹。四相關(guān)系數(shù)的價(jià)值1， 自相關(guān)函數(shù)的局限性自相關(guān)函數(shù)也存在這樣的情況，當(dāng)很小時(shí)，即我們所研究的對象的相關(guān)性較大時(shí)，會使得較大，這樣對于我們的研究有很多不利。2， 協(xié)方差函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)協(xié)方差函數(shù)也具有同相關(guān)函數(shù)的缺點(diǎn)，就像前文分析的那樣。但協(xié)方差函數(shù)有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，一般說來，人們不能根據(jù)一個隨機(jī)變量的均值和方差確定它的概率分布，除非這個的函數(shù)形式只差幾個未定參數(shù)還不確定，而這些參數(shù)又且且與均值、方差有關(guān)，例如，若x是一個正太分布的隨機(jī)變量，則有了均值和方差就可以確定其數(shù)值特征；若x是泊松分布，則它的概率分布律由均值確定，對于概率分布形式為未知的一般隨機(jī)變量，它的均值和方差仍能夠部分確定地概括其概率分布律，這是因?yàn)榻柚鞣N各樣的不等式，人們能夠粗略地估計(jì)這個概率分布的各種特征。而隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)在與均值的聯(lián)合中與方差的作用是相當(dāng)?shù)?，所以協(xié)方差函數(shù)有其獨(dú)到的作用。3， 相關(guān)系數(shù)價(jià)值相關(guān)系數(shù)的價(jià)值不只是衡量多個研究對象之間的相關(guān)性，由其衍生出來的很多定義在各方面發(fā)揮著不可忽視的作用。例如相關(guān)時(shí)間，