定積分的概念

1、第九第九章章 定積分定積分1 1 定積分的概念定積分的概念 2 2 牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式 3 3 可積條件可積條件 4 4 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 5 (5 (一一) ) 微積分學(xué)基本定理微積分學(xué)基本定理 5 (5 (二二) ) 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算 1 1 定積分的概念定積分的概念一、問(wèn)題提出一、問(wèn)題提出 二、定積分的定義二、定積分的定義 現(xiàn)在先從兩個(gè)例子來(lái)看定積分概念是怎樣現(xiàn)在先從兩個(gè)例子來(lái)看定積分概念是怎樣提出來(lái)的提出來(lái)的. . 但也有緊但也有緊密的聯(lián)系密的聯(lián)系. . 不定積分和定積分是積分學(xué)中的兩大基本問(wèn)題不定積分和定積分是積分學(xué)中的兩大基本問(wèn)題. . 定積分則

2、是某種特定積分則是某種特殊和式的極限，殊和式的極限，一、問(wèn)題提出一、問(wèn)題提出求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算， 它們之間既有本質(zhì)的區(qū)別，它們之間既有本質(zhì)的區(qū)別， 設(shè)設(shè)f為閉區(qū)間為閉區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)， 直線直線x=a,x=b以及以及x軸所圍成的軸所圍成的平面圖形（圖平面圖形（圖9-19-1），）， 下面討論曲邊梯形的面積（這是求任何曲線邊界圖下面討論曲邊梯形的面積（這是求任何曲線邊界圖形面積的基礎(chǔ)）形面積的基礎(chǔ)）. . 1.1.曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 1) 1) 曲邊梯形定義曲邊梯形定義 且且f(x)00. . 由曲線由曲線y=f(x)， 稱為

3、稱為曲邊梯形曲邊梯形. . 圓面積是用一系列邊數(shù)無(wú)限增多的圓面積是用一系列邊數(shù)無(wú)限增多的內(nèi)接（或外切）正多邊形面積的極限來(lái)定義的內(nèi)接（或外切）正多邊形面積的極限來(lái)定義的. .2 2）曲邊梯形面積計(jì)算）曲邊梯形面積計(jì)算 在初等數(shù)學(xué)里，在初等數(shù)學(xué)里， 現(xiàn)在現(xiàn)在我們?nèi)杂妙愃频霓k法來(lái)定義曲邊梯形的面積我們?nèi)杂妙愃频霓k法來(lái)定義曲邊梯形的面積. . 把曲邊梯形分割成把曲邊梯形分割成n個(gè)個(gè)小曲邊梯形（圖小曲邊梯形（圖9-29-2）. . 10121,nna xxxxxb 1,iixx ixx 其具體步驟如下：其具體步驟如下： 分割分割 在區(qū)間在區(qū)間 a,b 內(nèi)任取內(nèi)任取n-1個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)， 它們依次為它們

4、依次為 這些點(diǎn)把這些點(diǎn)把 a,b 分割成分割成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 , ,i=1,2,n. . , , i=1,2,，n-1 再用直線再用直線 把曲邊梯形分割成把曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形個(gè)小曲邊梯形 它在每個(gè)小區(qū)間它在每個(gè)小區(qū)間上的值變化不大上的值變化不大, , 用小矩形的面積替代相應(yīng)用小矩形的面積替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積，小曲邊梯形的面積， 這這n個(gè)小矩形面積之和就可個(gè)小矩形面積之和就可作為該曲邊梯形面積作為該曲邊梯形面積S的近似值的近似值, ,即即 從而可用這些小矩形的面積近似從而可用這些小矩形的面積近似替代替代相相應(yīng)小曲邊梯形的面積應(yīng)小曲邊梯形的面積. . 當(dāng)分割當(dāng)分割 a,b 的分點(diǎn)

5、較多的分點(diǎn)較多, , 在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 xi-1,xi 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) (1) (1) 2niii 1Sf() x ).(1iiixxxi if () 近似代替并求和近似代替并求和 并且求并且求n個(gè)小矩形面積之和個(gè)小矩形面積之和. .，作以，作以 為高，為高， xi-1,xi 為底的小矩形為底的小矩形. . 又分割得較細(xì)密時(shí)又分割得較細(xì)密時(shí), , 由于由于f為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), , 于是于是, , 注意到注意到(1)(1)式右邊的和式既依賴于對(duì)區(qū)間式右邊的和式既依賴于對(duì)區(qū)間 a, ,b 的分的分割，割， 可以可以想象，想象， 的選的選取無(wú)關(guān)，取無(wú)關(guān)， 則就把此常數(shù)定義為曲邊梯形

6、的面積則就把此常數(shù)定義為曲邊梯形的面積S. （i=1,2,，n）的取法有關(guān)）的取法有關(guān). . 如果此和如果此和式與某一常數(shù)無(wú)限接近，式與某一常數(shù)無(wú)限接近，又與所有中間點(diǎn)又與所有中間點(diǎn) 而且與分點(diǎn)而且與分點(diǎn)xi和中間點(diǎn)和中間點(diǎn) 且對(duì)且對(duì) a,b 無(wú)限細(xì)分時(shí)，無(wú)限細(xì)分時(shí)，3 i i 取極限取極限由近似值過(guò)渡到精確值由近似值過(guò)渡到精確值當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增多，當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增多， 它連它連續(xù)依賴于質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)續(xù)依賴于質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)x, , xa,b為一連續(xù)函數(shù)為一連續(xù)函數(shù), , 并設(shè)并設(shè)F F處處平行于處處平行于x軸軸( (如圖如圖9-3). 9-3). 則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)則它對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為所作的功為W=F

7、(b-a). F為變力為變力, , 如果如果F為常力為常力, , 設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿的作用沿x軸由點(diǎn)軸由點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)b, 2 2變力所作的功變力所作的功 現(xiàn)在的問(wèn)題是現(xiàn)在的問(wèn)題是, , 即即F=F(x), 此時(shí)此時(shí)F對(duì)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功質(zhì)點(diǎn)所作的功W W又該如何算又該如何算? ?力力F所作的功就近似等于所作的功就近似等于 F(x)F( ), xxi-1,xi，i=1,2,，n. 類似于求曲邊梯形面積那樣類似于求曲邊梯形面積那樣, , 故在很小的一段位移區(qū)間上故在很小的一段位移區(qū)間上F(x)可以近似地看作一常量可以近似地看作一常量. . 若（若（2 2）式右邊的和式與）式右邊的和

8、式與某一常數(shù)無(wú)限接近，某一常數(shù)無(wú)限接近， 則就把此常數(shù)定義作為變力所作的功則就把此常數(shù)定義作為變力所作的功W. .i iiF() x ,1( )niiiWFx由假設(shè)由假設(shè)F(x)為一連續(xù)函數(shù)為一連續(xù)函數(shù), , 把把 a,b 細(xì)分為細(xì)分為n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 xi-1,xi,xi= xi-xi-1,i=1,2,n； 并在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，并在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，就有就有 于是于是, ,質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從xi-1位移到位移到xi時(shí)時(shí), ,從而從而 (2)(2)同樣地，同樣地， 對(duì)對(duì) a,b 作無(wú)限細(xì)分時(shí)，作無(wú)限細(xì)分時(shí)， 上面兩個(gè)例子，一個(gè)是計(jì)算曲邊梯形面上面兩個(gè)例子，一個(gè)是計(jì)算曲邊梯形面積的幾何問(wèn)題

9、，積的幾何問(wèn)題， 它們最它們最終都?xì)w結(jié)為一個(gè)特定形式的和式逼近終都?xì)w結(jié)為一個(gè)特定形式的和式逼近. .總結(jié)總結(jié) 另一個(gè)是求變力作功的力學(xué)問(wèn)題，另一個(gè)是求變力作功的力學(xué)問(wèn)題， 在科學(xué)技術(shù)中還有在科學(xué)技術(shù)中還有許多同樣類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，許多同樣類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 解決這類問(wèn)題的思想方法概解決這類問(wèn)題的思想方法概括說(shuō)來(lái)就是括說(shuō)來(lái)就是“分割，近似求和，取極限分割，近似求和，取極限”. . 這就是產(chǎn)生這就是產(chǎn)生定積分概念的背景定積分概念的背景. . 就隨之而確就隨之而確定；定； 可用來(lái)反映可用來(lái)反映 a,b 被分割的細(xì)密程度被分割的細(xì)密程度. .具有同一細(xì)度具有同一細(xì)度 分割分割T T一旦給出，一旦給出， 因

10、此因此 的分割的分割T卻有無(wú)限多個(gè)卻有無(wú)限多個(gè). . 012n 1naxxxxxb, 0112,.nnTxxx或或 1,maxii nTx ,1,2, ,ixT in TTT二、定積分的定義二、定積分的定義 定義定義1 1 設(shè)閉區(qū)間設(shè)閉區(qū)間 a,b 內(nèi)有內(nèi)有n-1個(gè)點(diǎn)，個(gè)點(diǎn)， 依次為依次為 它們把它們把 a,b 分成分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間i=xi-1-1, , xi, , i=1,2,，n. . 這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì) a,b 的一個(gè)的一個(gè)分割分割， 記為記為 小區(qū)間小區(qū)間xi的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為xi=xi-xi-1, , 并記并記 稱為分割稱為分割T的的模模.

11、. 注注 由于由于 另外，另外， 但是，但是， 對(duì)于對(duì)于 a,b 的一個(gè)分割的一個(gè)分割 又與所選取又與所選取的點(diǎn)集的點(diǎn)集 任取點(diǎn)任取點(diǎn) 有關(guān)有關(guān). . 12nT,. ii, 1().niiifx i定義定義2 2 設(shè)設(shè)f是定義在是定義在 a,b 上的一個(gè)函數(shù)上的一個(gè)函數(shù). . i=1,2,n,并作和式并作和式 稱此和式為函數(shù)稱此和式為函數(shù)f在在 a,b 上的一個(gè)上的一個(gè)積分和積分和， 也稱也稱黎曼和黎曼和. . 注注 顯然，顯然， 積分和既與分割積分和既與分割T有關(guān)，有關(guān)， J是一個(gè)確定是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù). 使得對(duì)使得對(duì) a,b 的任何分割的任何分割T， ，只，只要要 以及在其上任意選取的

12、點(diǎn)集以及在其上任意選取的點(diǎn)集 ，總存在某一正數(shù)，總存在某一正數(shù) 若對(duì)任給的正數(shù)若對(duì)任給的正數(shù) 數(shù)數(shù)J稱為稱為f在在 a,b 上的上的定積分定積分或或黎曼積分黎曼積分，a,b分別稱為這個(gè)定積分的分別稱為這個(gè)定積分的下限下限和和上限上限. ., i|T | 1(),niiifxJ baJf ( x )dx. 定義定義3 3 設(shè)設(shè)f是定義在是定義在 a,b 的一個(gè)函數(shù)，的一個(gè)函數(shù)， ，就有，就有 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間 a,b 上上可積可積或或黎曼可積黎曼可積； 記作記作 （3） 其中，其中， f 稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù)， x稱為稱為積分變量積分變量， a,b稱為稱為積分區(qū)間積分區(qū)間， n

13、biiaT0 i 1Jfxf x dx ()( ).lim 以上定義以上定義1 1至定義至定義3 3是定積分抽象概念的完整敘述是定積分抽象概念的完整敘述. .下面是與定積分概念有關(guān)的幾點(diǎn)補(bǔ)充注釋下面是與定積分概念有關(guān)的幾點(diǎn)補(bǔ)充注釋. .注注1 1 把定積分定義的把定積分定義的 說(shuō)法和函數(shù)極限的說(shuō)法和函數(shù)極限的 說(shuō)法相對(duì)照，說(shuō)法相對(duì)照， 便會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者有相似的陳述方式，便會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者有相似的陳述方式， 因此我們也常用極限符號(hào)來(lái)表達(dá)定積分，因此我們也常用極限符號(hào)來(lái)表達(dá)定積分， 即把它寫作即把它寫作 (4)(4)每一個(gè)每一個(gè) 這使得積這使得積分和的極限要比通常的函數(shù)極限復(fù)雜得多分和的極限要比通常的函數(shù)極

14、限復(fù)雜得多. 積分和的極限與函數(shù)的極限之間其實(shí)有著很大的積分和的極限與函數(shù)的極限之間其實(shí)有著很大的區(qū)別：區(qū)別： 時(shí)必定同時(shí)有時(shí)必定同時(shí)有()limxafxTT0,n n T0,T0.n 然而，然而， 在函數(shù)極限在函數(shù)極限 中，對(duì)每一個(gè)變量中，對(duì)每一個(gè)變量x來(lái)說(shuō)，來(lái)說(shuō)， f(x)的值是唯一確定的；的值是唯一確定的； 而對(duì)于積分和的極限而言，而對(duì)于積分和的極限而言， 并不唯一對(duì)應(yīng)積分和的一個(gè)值并不唯一對(duì)應(yīng)積分和的一個(gè)值. . 注注2 一般不能用一般不能用 因?yàn)橐驗(yàn)?來(lái)代替來(lái)代替 時(shí)未必有時(shí)未必有 但但 則該函數(shù)在所論區(qū)間上是不可積則該函數(shù)在所論區(qū)間上是不可積的的.唯一重要的是分割的細(xì)度唯一重要的是

15、分割的細(xì)度 i T ,T注注3 3 極限極限(3)(3)的存在，的存在， 與分割與分割T的形式無(wú)關(guān)，的形式無(wú)關(guān)， 與與 的選擇也無(wú)關(guān)；的選擇也無(wú)關(guān)； 當(dāng)當(dāng) 足夠小時(shí)，足夠小時(shí)， 總能使積分和與某一確定的數(shù)總能使積分和與某一確定的數(shù)J無(wú)限接近無(wú)限接近. 注注4 4 由注由注3， 若能構(gòu)造出兩個(gè)不同方式的積分和，若能構(gòu)造出兩個(gè)不同方式的積分和， 使它們的極限不相同，使它們的極限不相同， 即即D(x)在在0,10,1上不可積上不可積. . 由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)在由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)在實(shí)數(shù)中的稠密性，實(shí)數(shù)中的稠密性，當(dāng)取當(dāng)取 取法不同取法不同(全取有理數(shù)或全取無(wú)理數(shù)全取有理數(shù)或全取無(wú)理數(shù)).1( )xD xx

16、 ，為為 0 0，1 1 中中有有理理數(shù)數(shù)，0 0，為為 0 0，1 1 中中無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù). . i nniiii1i1D ()xx1 ; nniiii1i1D ()xx0. T i 例例 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù) 它在它在0,1上不可積，上不可積，因?yàn)閷?duì)任意因?yàn)閷?duì)任意T, 全為有理數(shù)時(shí)，全為有理數(shù)時(shí)， 得得 當(dāng)取全為無(wú)理數(shù)時(shí)，當(dāng)取全為無(wú)理數(shù)時(shí)， 得得 所以不論所以不論 多么小多么小, 只要點(diǎn)集只要點(diǎn)集 積分和有不同極限積分和有不同極限. 則對(duì)每個(gè)特殊分割則對(duì)每個(gè)特殊分割T以及點(diǎn)集以及點(diǎn)集 00, 0, ni1, mi1, T, T, iijj0TTf ()xf ()x. ni1 T0baf

17、( x )dx 一般地，一般地， f在在a,b上不可積：上不可積： 以及以及 雖然雖然 但但 注注5 5 反之，反之， 若若f在在a,b上可積，上可積， 的特殊選擇，的特殊選擇， 所得的積分和當(dāng)所得的積分和當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 必以必以 為極限為極限. 在在a,b上形成的曲邊梯形上形成的曲邊梯形面積為面積為 稍后（定理稍后（定理9.3）就會(huì)知道連續(xù)函數(shù)是可積的，就會(huì)知道連續(xù)函數(shù)是可積的， 質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從a位移到位移到b所作的所作的功為功為 yf ( x )0 baSf ( x )dx; baWF( x )dx. 注注6 6 可積性是函數(shù)的又一分析性質(zhì)可積性是函數(shù)的又一分析性質(zhì). 于是本節(jié)開(kāi)頭兩個(gè)實(shí)例都可

18、于是本節(jié)開(kāi)頭兩個(gè)實(shí)例都可用定積分記號(hào)表示：用定積分記號(hào)表示：1）連續(xù)曲線）連續(xù)曲線 2）在連續(xù)變力）在連續(xù)變力F（x）作用下，作用下， 是位于是位于x軸下方的曲邊梯形面軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù)，積的相反數(shù)， 對(duì)于一般非定號(hào)的對(duì)于一般非定號(hào)的f(x)而言，而言， 對(duì)于對(duì)于a,b上上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)f， 定積分（定積分（3）的幾）的幾何意義就是該曲邊梯形的面積；何意義就是該曲邊梯形的面積； baJf ( x ) dx 注注7 7 （定積分的幾何意義）（定積分的幾何意義） 由上述由上述1）看到，）看到， 當(dāng)當(dāng)f(x)0， xa,b時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)f(x)0， xa,b時(shí)，時(shí)， 這時(shí)這時(shí) 不妨稱之為不妨稱之為“負(fù)面積負(fù)面積”； 定積分定積分J的值則是曲線的值則是曲線y=f(x)在在x軸上方部分所軸上方部分所有曲邊梯形的正面積與下方部分所有曲邊梯形的負(fù)面積有曲邊梯形的正面積與下方部分所有曲邊梯形的負(fù)面積的代數(shù)和的代數(shù)和. 而與積分變量所用的符號(hào)而與積分變量所用的符號(hào)無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)， 為曲為曲邊的曲邊三角形的面積（圖邊的曲邊三角形的面積（圖9