電動力學(xué)4教案

1、第四章 電磁波的傳播本章重點(diǎn)：1、電磁場的波動方程、亥姆霍茲方程和平面電磁波 2、反射和折射定律的導(dǎo)出、振幅的位相關(guān)系，偏振 3、導(dǎo)體內(nèi)的電磁波特性、良導(dǎo)體條件、趨膚效應(yīng) 4、了解諧振腔和波導(dǎo)管中電磁波的運(yùn)動形式本章難點(diǎn)：1、振幅的位相關(guān)系 2、導(dǎo)體內(nèi)電磁波的運(yùn)動 3、波導(dǎo)管中電磁波解的過程引 言隨時(shí)間變化的運(yùn)動電荷和電流輻射電磁場，電磁場在空間互相激發(fā)，在空間以波動的形式存在，這就是電磁波。傳播問題是指：研究電磁場在空間存在一定介質(zhì)和導(dǎo)體的情況下的波動情況，在真空與介質(zhì)，介質(zhì)與介質(zhì)，介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，電磁波會產(chǎn)生反射、折射、衍射和衰減等，這些本質(zhì)上是邊值問題。電磁波傳播問題在無線電通訊、

2、光信息處理、微波技術(shù)、雷達(dá)和激光等領(lǐng)域都起著重要的作用。1 平面電磁波電磁波在空間傳播有各種各樣的形式，最簡單、最基本的波型是平面電磁波。一電磁場的波動方程1自由空間電磁場的基本方程自由空間指，的空間，麥?zhǔn)戏匠虨椋?真空中的波動方程 真空中， 同理： （其中）3介質(zhì)的色散，（對均勻各向同性介質(zhì)）的現(xiàn)象稱為介質(zhì)的色散。電磁波動在介質(zhì)中時(shí)一般頻率成分不是單一的，可能含有各種成分。一般情況下，對于一種成分： ， 成立；但是若具有各種成分的波，則： ， 。實(shí)際上具有各種成分的電磁波可以寫為： 其中、是電磁場量在頻率域中的表示形式。由此可知，由于以及，而不能將真空中的波動方程簡單地用代、代轉(zhuǎn)化為介質(zhì)中的

3、波動方程。4時(shí)諧波（又稱定態(tài)波）及其波動方程 定態(tài)波是指以單一頻率做正弦（或余弦）振蕩的電磁波（又稱為單色波或者時(shí)諧電磁波）。這種波的空間分布與時(shí)間無關(guān)，時(shí)間部分可以表示為，因此有以下關(guān)系成立： ， ； ， 。在這種情況下，由于是單一頻率的波，則、成立，介質(zhì)中波動方程為： 二、定態(tài)波的亥姆霍茲方程對定態(tài)波 ，所以， （或者）。又因?yàn)?，由?可得。由于， 令， 則 稱為定態(tài)波的亥姆霍茲方程（其中稱為波矢量）。 同理，可以導(dǎo)出另外一組方程 。三、平面電磁波亥姆霍茲方程有多種解：平面波解，球面波解，高斯波解等等。其中最簡單、最基本的形式為平面波解。研究平面波解有兩個(gè)意義：簡單、直觀、物理意義明顯；一

4、般形式的波都可以視為不同頻率平面波的迭加。1平面波解的形式 解的形式：，2平面電磁波的傳播特性（1）波的傳播方向平面波：波前或等相面為平面，且波沿等相面法線方向傳播。（2）波長與周期波長： 。 （3）橫波： 所以 ，同理可得 。（4）與的關(guān)系：證明：幾點(diǎn)說明：a)與同位相；b)，構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；c)，振幅比為波速（因?yàn)橄嗷ゴ怪?，）。?）波形圖 假定在某一時(shí)刻（），取的實(shí)部。4平面電磁波的能量和能流能量密度： 因?yàn)?，所以 ，說明電場能等于磁場能，則。能流密度： （為方向上的單位矢量） ，其平均值為；，平均值為 （計(jì)算公式： ，）（例題或者作為補(bǔ)充習(xí)題）例一、有一平面電磁波，其電場強(qiáng)度為 （

5、1）判斷電場強(qiáng)度的方向和波傳播的方向；（2）確定頻率、波長和波速；（3）若介質(zhì)的磁導(dǎo)率，求磁場強(qiáng)度；（4）求在位時(shí)間內(nèi)從一個(gè)與平面平行的單位面積通過的電磁場能量。解：（1）沿軸方向振蕩，沿方向傳播。 （2）， 。 （3），所以，從而 所以（與同位相同頻率，與垂直且與垂直，故它在軸方向）。（4）考慮：單位時(shí)間垂直通過單位橫向截面的能量， 。例二、兩個(gè)頻率和振幅均相等的單色平面電磁波沿軸傳播，一個(gè)波沿方向偏振，另一個(gè)沿方向偏振，但其相位比前者超前，求合成波的偏振。 解：設(shè)兩個(gè)電磁波分別為， 合成波為 令復(fù)矢量的實(shí)部也用表示，即其中為軸方向上的單位矢量。有一平面電磁波，其電場強(qiáng)度為討論平面上振動的合

6、成： 可見，的平面波，沿軸比軸波超前位相，合成左旋圓偏振波；反之，一個(gè)左旋圓偏振波可分解為兩個(gè)相互垂直的線偏振波，且沿軸波比軸波相位超前。2. 電磁波在介質(zhì)界面上的反射和折射l 電磁波入射到介質(zhì)界面上，會發(fā)生反射、折射現(xiàn)象(如光入射到水面、玻璃面)。l 反射、折射定律有兩個(gè)方面的問題：入射角、反射角和折射角之間的關(guān)系問題；入射波、反射波和折射波振幅和位相的變化關(guān)系。反射、折射既然發(fā)生在界面上，就屬于邊值問題。從電磁場理論導(dǎo)出反、折射定律，間接證明麥?zhǔn)戏匠痰恼_性。一、反射和折射定律1 電磁場的邊值關(guān)系2 反射、折射定律的導(dǎo)出過程（1）僅討論單色平面電磁波入射問題反射、折射電磁波也為平面電磁波，

7、設(shè)為介質(zhì)，為介質(zhì)，平面電磁波由，介質(zhì)分界面設(shè)為無限大平面，法線為。（2）設(shè)入射、反射和折射電磁波的電場強(qiáng)度分別為、和，波矢分別為、和，它們與軸夾角分別為、和，則有： 下面我們只討論時(shí)刻的情況。（3）波矢量分量間的關(guān)系： ，并且、和在同一個(gè)平面內(nèi)（、和一般不相同）證明：由，且 ， 所以， 即 。 在界面上，任意， 兩邊除以，得 兩邊對x求偏導(dǎo)得則有因?yàn)?任意，要使上式成立，只有，。同理，可以證明。設(shè)入射波在平面，因?yàn)?，必有，反射、折射波矢也?平面。（4）波矢與軸夾角之間的關(guān)系對于 有 ； ，設(shè)、為平面電磁波在兩種介質(zhì)中的相速，且，。 因?yàn)?（反射定律） 所以（折射定律）相對折射率為、的函數(shù)（取

8、）。二、振幅和位相的關(guān)系1入射面（平面）假定：平面向外（沿的反向），并設(shè)，與同方向，則方向同時(shí)確定，由邊界條件： 可得 且 又因?yàn)?即，而所以有代入式，并考慮，所以，介質(zhì)1用，介質(zhì)2用，則得到： 由 、聯(lián)立解出 （利用）2入射面（）假設(shè)，與方向相同；與入射面平行。 由邊值關(guān)系可得：同樣方法可以解出 3在任意方向，則可以分解為。與、滿足式，與、滿足式，、式為入射、反射和折射波電矢量的振幅關(guān)系即菲涅爾公式。 4位相關(guān)系分析 （1），從光疏煤質(zhì)到光密煤質(zhì) 因?yàn)椋?，則，并且。但是總是與總是同位相。（2），從光密煤質(zhì)到光疏煤質(zhì)，但是總是與總是同位相。從以上分析可知：入射波與折射波位相總相同，沒有位

9、相突變；但入射波與反射波之間在一定條件下有位相突變。對于垂直入射情況：由于按假定方向，與同方向，即同位相；若與假定反向，與反方向，即位相差，這種現(xiàn)象被稱為半波損失（在一般斜入射時(shí)，有分量，、與方向不同，談不上半波損失）。5偏振問題 （1）入射為自然光：（兩種偏振光的等量混合，在各個(gè)方向上均相同） 即，由菲涅爾公式， 這樣，反射和折射波就被變?yōu)椴糠制窆猓ǜ鱾€(gè)方向上大小不完全相同）。 （2）布儒斯特定律：若則反射波，即反射波只有分量； 若為自然光入射時(shí)，則反射波變?yōu)橥耆€偏振波。6正入射（）的菲涅爾公式 ， 3 有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播引言：（1）真空或介質(zhì)中電磁波傳播可視為無能量損耗，電磁波無

10、衰減（能量）；（2）電磁波遇到導(dǎo)體，導(dǎo)體內(nèi)自由電子在電場作用下運(yùn)動，形成電流，電流產(chǎn)生焦耳熱，使電磁波的能量不斷損耗，因此在導(dǎo)體內(nèi)電磁波是一種衰減波，電磁能熱能；（3）導(dǎo)體中電磁波傳播過程：交變電磁場與自由電子運(yùn)動相互作用，使它不同于真空或介質(zhì)中的傳播形式。一導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布1 靜電場中導(dǎo)體上的電荷分布：靜電平衡時(shí)，電荷僅分布在表面上，導(dǎo)體內(nèi)部無電荷，且，導(dǎo)體表面的電場表面。2變化場情況下的電荷分布：在有變化電磁場情況下，導(dǎo)體不再處于靜電平衡狀態(tài)，必然有體電荷分布，分布變化形成電流，產(chǎn)生附加變化電磁場，形成導(dǎo)體內(nèi)總電磁場分布，又影響。僅討論均勻?qū)w：由電荷守恒定律和、及導(dǎo)出： （其中為導(dǎo)體

11、的電導(dǎo)率，為導(dǎo)體的介電常數(shù)（靜電場下）。 解為：為特征時(shí)間或馳豫時(shí)間，表示減小到所需時(shí)間。3良導(dǎo)體條件：（）或者特性：導(dǎo)體內(nèi)，電荷僅分布在導(dǎo)體表面一薄層內(nèi)。二導(dǎo)體內(nèi)的電磁波1基本方程（導(dǎo)體內(nèi)部） 對于良導(dǎo)體，但是可考慮，但一般良導(dǎo)體下也只分布在導(dǎo)體表面一薄層內(nèi)；若考慮，則邊值關(guān)系中面電流，若，則。對于一定頻率的電磁波入射到導(dǎo)體上：、成立。對于定態(tài)波： 與介質(zhì)中定態(tài)波方程相比，僅多了一項(xiàng)。2導(dǎo)體中的平面波解 （1）引入復(fù)介電場數(shù) ，則。 （推導(dǎo)過程：）（：實(shí)部為位移電流的貢獻(xiàn)；虛部是傳導(dǎo)電流的貢獻(xiàn)，它引起能耗，耗散功率） 因此，定態(tài)波方程組與介質(zhì)中定態(tài)波方程組形式上完全一樣。 （2）直接寫出亥姆

12、霍茲方程 ， （3）平面波解仍可寫作 ，與介質(zhì)中不同， 為復(fù)矢量，可以定義為。3、的意義及表示式（1）平面電磁波解改寫為：描述波振幅在導(dǎo)體內(nèi)的衰減程度衰減常數(shù)；：描述波空間傳播的位相關(guān)系傳播常數(shù)（波實(shí)際沿方向傳播，）。（2）、與間的關(guān)系式 由 由于一般與方向不同，僅由這兩個(gè)式子還不能解出、。 （3）平面波從介質(zhì)入射到導(dǎo)體表面設(shè)介質(zhì)中波矢為，導(dǎo)體中為，則，并設(shè)在平面，即；上節(jié)（2.4）式仍然適用，即，由 （即分界面指向?qū)w內(nèi)部，波沿方向衰減）由 解出：令與軸夾角為，由得，從而定出。，相速為。對良導(dǎo)體情況： ，、幾乎同方向。（推導(dǎo)過程：因?yàn)?，則，又，所以。）對于正入射：，與均沿軸方向；介質(zhì)中，所以

13、，。良導(dǎo)體情況下：（）。三穿透深度和趨膚效應(yīng)1穿透深度：波幅降至原值的傳播距離（用表示）。 在導(dǎo)體中的平面波為（情況下） 所以當(dāng)時(shí)，波幅為，從而，且對于良導(dǎo)體。2趨膚效應(yīng)：對于良導(dǎo)體，當(dāng)電磁波頻率為交變頻率時(shí)，電磁場及交頻電流集中在導(dǎo)體表面薄層。例如，當(dāng)兆赫，銅 。3導(dǎo)體內(nèi)磁場與電場的關(guān)系 由對于良導(dǎo)體 且，因此，電場與磁場有的位相差。 振幅比： 則有 ；在真空或介質(zhì)中；兩個(gè)振幅比相比較，可見導(dǎo)體中磁場比真空或介質(zhì)中磁場重要的多，金屬中電磁能主要是磁場能量。四導(dǎo)體表面上的反射真空正入射時(shí)，反射系數(shù)為 4 諧振腔一有界空間中的電磁波1無界空間中橫電磁波（TEM波） TEM波：電場和磁場在垂直傳播

14、方向上振動的電磁波。 平面電磁波在無界空間中傳播時(shí)就是典型的TEM波。2有界空間中的電磁波邊值問題上節(jié)已討論金屬一般為良導(dǎo)體，電磁波幾乎全部被反射，穿透深度，因此，如果空間中良導(dǎo)體（金屬）存在時(shí)，它構(gòu)成了電磁波存在的邊界，特別是電磁波在中空的金屬管中傳播，金屬邊界制約管內(nèi)電磁波的存在形式，在這種情況下，亥姆霍茲方程的解不再是平面波解。二理想導(dǎo)體邊界條件 我們討論的理想導(dǎo)體，一般金屬接近于理想導(dǎo)體。假定它的穿透深度（）。1一般邊值關(guān)系：（由于邊界為理想導(dǎo)體，故認(rèn)為導(dǎo)體內(nèi)），只有面電流分布） 設(shè)為導(dǎo)體的電磁場量，為真空或絕緣介質(zhì)中的電磁場量， 。2理想導(dǎo)體內(nèi)部： ，令代替，則在界面上：；在介質(zhì)中，

15、應(yīng)用到界面上，而在界面上。 2 綜合理想導(dǎo)體為邊界的邊值問題3 定態(tài)波：在求解中主要用到三諧振腔1諧振腔：用來產(chǎn)生交頻振蕩電磁波的一種裝置。一般用幾個(gè)金屬板或反射鏡（光學(xué)）構(gòu)成。低頻電磁波可采用回路振蕩器產(chǎn)生，頻率越高，輻射損耗越大，焦耳熱損耗越大。（因?yàn)椋叫?，電容電感不能集中分布電場和磁場，只能向外輻射；又趨膚效應(yīng)，產(chǎn)生焦耳熱損耗。）2矩形諧振腔的駐波解的形式 （1）由6個(gè)金屬壁構(gòu)成的空腔稱作矩形諧振腔 6個(gè)面在直角坐標(biāo)中表示為 （2）設(shè)為腔內(nèi)或的任意一個(gè)直角分量 所以每個(gè)分量都滿足，其中。 （3）分離變量法求解 令代入 ，得到 ， ， 解之得 ： 該解稱為矩形腔中的駐波解。 3由邊界條件

16、確定常數(shù) 假定 （1）考慮 對，沿該壁法線， ； 同理，；，。 從而 （） （2）考慮， ， ，。 對于、，同樣方法可得：， 再由，因此只有兩個(gè)常數(shù)未定。4 諧振波型（本征振蕩）（1）解： 兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)由激勵諧振的信號強(qiáng)度來確定。 （2）諧振頻率（本征頻率）： （3）討論l 給定一組，解代表一種諧振波型（本征振蕩, 在腔內(nèi)可能存在多種諧振波型的迭加）；只有當(dāng)激勵信號頻率時(shí)，諧振腔才處于諧振態(tài)。l 不存在中兩個(gè)為零的波型，若，則。l 對每一組值，有兩個(gè)獨(dú)立偏振波型，這是因?yàn)閷τ诖_定的可以分解到任意兩個(gè)方向。l 最低頻率的諧振波型 假定，則最低諧振頻率為 該波型為（1，1，0）型， 所以 ，為橫電

17、磁波。 但是在一般情況下，。5 波導(dǎo)管一高頻電磁波能量的傳輸線 1低頻電路情況雖然能量都在場中傳播，但在低頻時(shí)，場在線路中的作用可由一些參數(shù)（電壓、電流、電阻和電容等）表示出來，不必直接研究場的分布，用電路方程即可解決。對于低頻電力系統(tǒng)一般用雙線傳輸，有時(shí)也采用同軸線傳輸（為了避免電磁波向外輻射的損耗及周圍環(huán)境的干擾，但是頻率變高時(shí)，內(nèi)線半徑小，電阻大，焦耳熱損耗嚴(yán)重，趨膚效應(yīng)也嚴(yán)重）。2高頻情況場的波動性明顯，電容、電感等概念一般不再適用，線路中電流與位置有關(guān)，也具有波動性，電壓概念一般也不再適用于交頻情況，電路方程求解一般也不適用。在有線通訊中，交頻電磁波若用雙絞線或同軸線傳輸，能量因熱損耗損失嚴(yán)重，因此，一般用一根空心金屬管（波導(dǎo)管）傳輸電磁波，多用于微波范圍。（）二矩形波導(dǎo)中的電磁波1矩形波導(dǎo)管四個(gè)壁構(gòu)成的金屬管，四個(gè)面為一般情況下讓電磁波沿軸傳播2解的形式滿足方程， 其中滿足亥姆霍茲方程 。令代表電磁場量的任意一個(gè)直角坐標(biāo)分量，它也必然滿足上述方程，分離變量 ，則有 特解為：。3邊界條件定常數(shù)邊界條件：