解析幾何中定值與定點問題

1、解析幾何中定值與定點問題【探究問題解決的技巧、方法】(1) 定點和定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.(2) 解圓錐曲線中的定點、定值問題也可以先研究一下特殊情況，找出定點或定值，再視具體情況進(jìn)行研究.【實例探究】題型1 ：定值問題： = X3例1:已知橢圓C的中心在原點，焦點在 x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線 - 的焦點，離心率等于(I)求橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H)過橢圓 C的右焦點作直線I交橢圓C于A B兩點，交y軸于M點，若MA -兔丹化MB二BF，求證召+為為定值二+= 1(畳

2、、色、0)解：(I)設(shè)橢圓C的方程為一、 一，則由題意知b = 1.橢圓C的方程為二(II )方法一：設(shè)A、B、M點的坐標(biāo)分別為 丄IJ 易知F點的坐標(biāo)為(2, 0).-屛AF(心必幾)=禺(2和乃),.-斑二1 + 41+右將A點坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得1-去分母整理得 +'+_ |：'同理由廂=兔辭得:彳+5-坍=a.無忌是方程H +10jc+5- 5元=啲兩個根,.'.a】十厶=10方法二：設(shè) A、B、M點的坐標(biāo)分別為-'.J - - - '' 1 . ：1又易知F點的坐標(biāo)為（2, 0）.顯然直線I存在的斜率，設(shè)直線I的斜率為k,則直線I的

3、方程是|： -：,將直線I的方程代入到橢圓 C的方程中，消去y并整理得(l + 5*2)x2-2C)Jt3x4 20t2 - 5 = 0.+ 衍=E% =31十L a2姑-51十 5F 'Pg十心)-2工的4 - 2(珂 + xj +無©T MA =召亦.莎=拓莎，將各點坐標(biāo)代入得給 又= = 10.例2已知橢圓C經(jīng)過點A（1,3/2）,兩個焦點為（-1,0）,（1,0）.1）求橢圓方程2） E、F是橢圓上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線 EF的斜率為定值，并求出這個定值（1）a2-b2=c2 =1設(shè)橢圓方程為 x2/（ b2+1）+y2/b2

4、=1將（1，3/2）代入整理得 4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以橢圓方程為x2/4+y2/3=1（2）設(shè)AE斜率為k則 AE 方程為 y-（3/2）=k（x-1）x2/4+y2/3=1，聯(lián)立得出兩個解一個是A（ 1,3/2 ）另一個是E（ x1，y1）代入消去 y 得（1/4+k2/3）x2-（ 2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根據(jù)韋達(dá)定理x1 = （ k2/3-k-1/4 ） / （1/4+k2/3將的結(jié)果代入式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ） /（1/4+k2 /3）設(shè) AF 斜率為-k，F(xiàn) (x2，y2) 則 AF 方程為 y- (3/2 ) =

5、-k (x-1 x2/4+y2/3=1 聯(lián)立同樣解得x2= ( k2/3+k-1/4 ) / (1/4+k2/3)y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF斜率為(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直線EF斜率為定值，這個定值是1/2。22広例3、已知橢圓x2 y21(a b 0)的離心率為-，且過點(.21).a2b23(I)求橢圓的方程；(n)若過點 C (-1, 0)且斜率為k的直線I與橢圓相交于不同的兩點A, B，試問在x軸上是否存在點M，使MIA MB 5是與k無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若3k2 1不存在，請說明理由解：(1 )T橢圓離

6、心率為三6 , -6 ,工 -.3 a 3 a23又Q橢圓過點(血,1)，代入橢圓方程，得$厶1.a2 b2所以a25,b253 22橢圓方程為xy 1，即 x2 3y25.53(2)在x軸上存在點 M(】0)，使MA1 MB* 5是與K無關(guān)的常數(shù).63k2 1證明：假設(shè)在x軸上存在點M (m,0),使MA1 MBI 一5一是與k無關(guān)的常數(shù),3k2 1直線L過點C (-1, 0)且斜率為K, L方程為y k(x 1),2c2由X3y5,得(3k21)x2 6k2x3k250.yk(x1),6k23k25設(shè) A(x1, y1),B(X2, y2),則 X1X2,X1X223k13k 1ULUCI

7、LULU MAm,y)MB(X2 m,y2),uuuuUUUL55- MAMB小2區(qū)m)(X2 m) y！23k 13k125=x-i m x2 m k x-i 1 x2 1 廠 3k 12, 212,25=1 k x1x2k m x1 x2m k23k21k23k 1.26k 2. 2k m 2 m k 3k 153k2 1,2,2小222_ k 6mk 3m k m=3k21設(shè)常數(shù)為t,則 6mk3m2k2亦 t.3k2 123m 6m 1 3t2m t 0.解得1 m -60,M（ 6,0），即在x軸上存在點iuur ujiD5,使MA MB啟是與K無關(guān)的常數(shù)整理得(3m2 6m 1 3

8、t)k 2 m2 t 0對任意的k恒成立,題型2:定點問題2例4.已知橢圓C:y71 （a > b > 0）的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直b角三角形，直線 x-y+b=0是拋物線y2=4x的一條切線。（1 ）求橢圓的方程；（2）過點S（ 0，-1/3 ）的動直線L交橢圓C于A,B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存 在一個定點T,使得以AB為直徑的圓恒過點 T?若存在，求出點 T的坐標(biāo)；若不存在，請 說明理由。執(zhí) 由1卩牡 需疋+（甜_4）兀十F =id當(dāng)直切與x軸平行時.的廚方程為'+b+當(dāng)直線I與y軸童&吋”臥AB為直徑的園方程為亦亠* 7, 所以兩圈的切慮

9、為點（0, 1） *Si*（0, 1>,證明SffFe .蘭肯線i與耳軸不垂直巧 可設(shè)亶線1為;G8e+9)r -12 -15 =0.12kliF+91G曙心Q陀則I e曲+9 4弘饑護一扣w罟“仙總茄->+蘭“3 lSkJ+9 9所臥石一朮，眾次.AB力直住的過直(0, 1)所以廷衽一卜罡更匚使得以AB*MW求出此時厶ABG的外接圓方程；若不能,+a =1例5.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓 C: $，如圖所示，斜率為 k (k >0)且不過原點的直線I交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E,射線OE交橢圓C 于點G,交直線x=-3 于點D (-3 , m )(I)

10、求m 2+k 2的最小值；(n)若 |OG| 2=|OD|-|OE|,(i) 求證：直線I過定點；(ii) 試問點 B, G能否關(guān)于x軸對稱？若能請說明理由。解：(I)由題意：設(shè)直線 I: y=kx+ n(n 丸),= itx十旳斗+ 3'，消y得:,AB 的中點 E-，l ；l：6ht則由韋達(dá)定理得:p " - 2所以 m 2+k 2='，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號,即"存，兀存如心塚，(3hi n 所以中點E的坐標(biāo)為e1十？F'l十3t2,因為0、E、D三點在同一直線上，所以koE=k OD ,1 m=，解得3k 3即m2+k 2的最小值為2。y =

11、x(H) (i)證明：由題意知：n > 0，因為直線0D的方程為13V =- X3邑+宀11 311 ? 所以由得交點G的縱坐標(biāo)為+3又因為，且 |0G|2=|0D| |0E|，mn所以=處,rn +31十釆1m = k，所以解得k=n ,?又由(I)知:所以直線I的方程為I: y=kx+k，即有I: y=k (x+1 ), 令x=-1得，y=0，與實數(shù)k無關(guān)，所以直線I過定點(-1 , 0);(ii)假設(shè)點B, G關(guān)于x軸對稱，則有 ABG的外接圓的圓心在 x軸上,又在線段AB的中垂線上，由(i)知點 G所以點B(偏+弓 又因為直線I過定點(-1 , 0),4 +31m = 2r又因為

12、k，所以解得m = 1或6,所以直線I的斜率為又因為J 二+1，所以m2=6舍去，即m2=1 ,此時 k=1 , m=1 , EAB的中垂線為 2x+2y+1=0,圓心坐標(biāo)為圓的方程為綜上所述，點B, G關(guān)于x軸對稱，此時 ABG的外接圓的方程為21 橢圓c :篤a【針對練習(xí)】1 (a b 0)的左、右焦點分別是 FF?,離心率為 丄3 ,過F1且垂直b2于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(I)求橢圓C的方程； (n )點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點 ,連接PF1,PF2,設(shè) F,PF2的角平分線PM交C的長軸于點M (m,0),求m的取值范圍；(川)在(n)的條件下,過P點作斜率為k

13、的直線l,使得I與橢圓C有且只有一個公共點,設(shè)直線PF1, PF2的斜率分別為k1, k2,若k10,試證明血丄為定值,并求出這個定值kk22、如圖，S(1,1)是拋物線為y2 2px(p 0)上的一點,以S為圓心，r為半徑(1 r 2做圓，分別交x軸于A, B兩點，連結(jié)并延長 SA、SB,分別交拋物線于(I )求證：直線CD的斜率為定值;(n)延長DC交x軸負(fù)半軸于點E ,若EC :ED = 1 : 3 ,sin 2 CSD cosCSD的值。2x3、已知橢圓C:二a每 1( a b 0)的離心率為丄,點(1,-)在橢圓C上. b222求C、(I )求橢圓C的方程；(n )若橢圓C的兩條切線

14、交于點M(4,t),其中t R,切點分別是 A、B,試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓2 2篤當(dāng)1上的點(X°,y°)處的橢圓切線方程是答餐1,證明直線AB恒過橢圓的右abab焦占f ;2 j(川)在( n)的前提下，試探究IAF2 | | BF2 |的值是否恒為常數(shù)，若是,求出此常數(shù)；若不是，請說明理由2 2x y4、橢圓 C :二 21 (aa bb 0)的離心率為1，其左焦點到點 P(2,1)的距離為 S0 .2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l : ykx m與橢圓C相交于AB兩點(A、B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓標(biāo).C的右頂點,求證：直線l過定點，并求出該定點

15、的坐2x 2 C:T y1,代B是四條直線x 2,y1所圍成5、如圖，已知橢圓長方形的兩個頂點(1 )設(shè)P是橢圓C上任意一點,求證：動點Q(m,n)在定圓上運動，并求出定圓的方程;11、解:(I )由于ca(2)若M、N是橢圓C上的兩個動點，且直線 0M、ON 的斜率之積等于直線 OA、OB的斜率之積，試探求 OMN 的面積是否為定值，說明理由 .【針對練習(xí)參考答案】2 2x y2 2 2 b ,將xc代入橢圓方程a b得yuuu uuu uuu 若 OP mOA nOB,2b2由題意知 a2b2所以a 2, b所以橢圓方程為y2 1iuv UUJVUJLU ujuvuuv uuuv uuiu

16、 UJUVIPF2I(n)由題意可知：驚鬻=驚?豁罷竿np罟，設(shè)p(X0,yo)其中X2 4,將向量坐標(biāo)代入并化簡得:m( 4X0 16) 3xo 12x。，因為X 4,33 3x 聯(lián)立得：所以 m x0,而 Xo ( 2,2),所以 m ( ，)ky2yy1C(1Z1)由題意有SA SB，直線SB的斜率為4y°y1,所以kx00 ,而 k14y°k%，代入11中得x 、3kk1kk2,k2x 3114( 一L3x°、"3)8為定值.kk.kk2xx2、解(1)將點(1，1)代入y2 2px，得2p 1拋物線方程為y2 x(3)由題意可知,l為橢圓的在p

17、點處的切線，由導(dǎo)數(shù)法可求得，切線方程為：設(shè)直線SA的方程為y 1 k(x 1)，C(x1, yj與拋物線方程y21 1kcdk_2 2(1_k)(1 k)k2k2(2 )設(shè)E(t,0)一 1 EC 1 ED3(1_kL廠t,R 1)1(1 k)23(k21)1丄(-3 k1)直線SA的方程為y2x1A/)3同理B(3,0)2cos CSD2 2cos ASB SASBAB2sin2SB SA4CSD -5，sin 2 CSD24sin 2 CSD cos CSD 39因此：252 2xy3、解:(i)設(shè)橢圓C的方程為 21(a b 0)ab3 319一Q點(1,一)在橢圓c上，二 24 2a2

18、4b22 2由得:a24,b23 橢圓C的方程為X -43(n)設(shè)切點坐標(biāo)A(x1,y1),B(X2,y2)，則切線方程分別為43，43.又兩條切線交于點 M(4, t),即即點A、B的坐標(biāo)都適合方程故直線AB恒過橢圓的右焦點(川)將直線AB的方程xtX1- y13tx 3yF2.t 3y1,1，顯然對任意實數(shù)t，點(1,0)都適合這個方程,即(匸亦2ty 90所以旳3代入橢圓方程，得3( - y 1)2 4y2 120,327不妨設(shè)y10, y20, IAF21./(xi同理|BF2|所以所以IAF2I1IAF2I|BF2| ,t2 9'w1的值恒為常數(shù)HI6tt212%2乙y2 -

19、r,y1y21)21-)y24c 1由題：ea 2左焦點(一c,0)到點P(2,1)的距離為:4、解:(1)由可解得c = 1 , a = 2 ,所求橢圓C的方程為中+(2)設(shè) A(X1,y1)、B(x2,y2),將1)y1212 t2 9廠y1,_3_ y,t2 9y”2y13t=9.(y2 yj2y2d =(2 + c) 2 + 1 2y = kx + m代入橢圓方程得(4 k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2- 12 = 0 .8km-X1 + X2 = 4ik，X1X2=4m 2 124k 2 + 3，且 y1 = kx1 + m, y2 = kx2 + m./ AB為直徑的圓過橢圓右頂點A2(2,0)，所以 a2a ?&B=0.所以(X12,y1)(x2 2,y2) =(X1 2)(x2 2) +y2=(X1 2)(X2 2) + ( kx1 +m) (kx2+ m)=(k 2 + 1) xix2 + (km 2) (xi + X2)+