進化穩(wěn)定均衡和納什均衡

1、進化穩(wěn)定均衡和納什均衡    摘要    為了讓讀者對進化博弈理論的基本概念進化穩(wěn)定策略（Evolutionarily Stable Strategy）有一個基本的了解，本文主要介紹進化穩(wěn)定策略概念的提出及其發(fā)展。為了便于理解，文中利用一些具體例子簡要地介紹進化穩(wěn)定均衡（就是系統(tǒng)選擇進化穩(wěn)定策略時所處的均衡）求法、應用以及它與納什均衡之間的關系。最后指出了傳統(tǒng)進化穩(wěn)定策略定義的缺陷及經(jīng)濟學家們對此所作的進一步研究。 關鍵詞：進化博弈；進化穩(wěn)定策略；進化穩(wěn)定狀態(tài)；納什均衡Abstract:This paper is

2、mainly about the concept of Evolutionarily Stable Strategy (ESS) and its developments. For the convenience of the readers better understanding of this basic concept in Evolutionary Game Theory, we use some cases to introduce the solution of Evolutionarily Stable Equilibrium (ESE, that is, the equili

3、brium when the system selects ESS), its applications and the relationships between Nash Equilibrium and ESE. Finally, we point out the flaws of the traditional concept of ESS and some economists researches on this.Key words: Evolutionary Game; Evolutionarily Stable Strategy; Evolutionarily Stable St

4、atus; Nash Equilibrium摘要    為了讓讀者對進化博弈理論的基本概念進化穩(wěn)定策略（Evolutionarily Stable Strategy）有一個基本的了解，本文主要介紹進化穩(wěn)定策略概念的提出及其發(fā)展。為了便于理解，文中利用一些具體例子簡要地介紹進化穩(wěn)定均衡（就是系統(tǒng)選擇進化穩(wěn)定策略時所處的均衡）求法、應用以及它與納什均衡之間的關系。最后指出了傳統(tǒng)進化穩(wěn)定策略定義的缺陷及經(jīng)濟學家們對此所作的進一步研究。關鍵詞：進化博弈；進化穩(wěn)定策略；進化穩(wěn)定狀態(tài)；納什均衡引言    進化生態(tài)學與博弈論的結

5、合至少已有三十幾年的歷史，初看起來使人覺得奇怪，因為博弈論常常假定參與人是完全理性的，而基因和其他的演化載體常常被假定是以一種完全機械的方式運動。然而一旦用參與人群體來代替博弈論中的參與者個人，用群體中選擇不同純策略的個體占群體個體總數(shù)的百分比來代替博弈論中的混合策略，那么這兩種理論就達到了形式上的統(tǒng)一。進化博弈理論由于對參與人的理性要求較少而與現(xiàn)實更為接近，因此在短短的時間內(nèi)就獲得了迅速的發(fā)展。特別是Maynard Smith（1973，1974）等提出基本均衡概念-進化穩(wěn)定策略（Evolutionarily Stable Strategy ESS）及Taylor and Jonker(19

6、78)提出基本動態(tài)概念-模仿者動態(tài)（Replicator Dynamics）以后，進化博弈理論被廣泛地應用于生物學、社會學等領域。1992年進化博弈理論的國際學術會議在康奈爾大學的召開，正式確定了它在經(jīng)濟學上的學術地位。越來越多的經(jīng)濟學家應用進化博弈理論來解釋并預測參與人的群體行為，在多數(shù)情況下，它比利用納什均衡預測人的行為更現(xiàn)實、更準確。由于歷史原因，我國經(jīng)濟理論界到目前為此還沒有對進化博弈理論的基本均衡概念進行系統(tǒng)介紹的文獻。本文試圖對進化穩(wěn)定策略作出簡要的介紹，并把該概念與傳統(tǒng)博弈論的基本概念納什均衡進行比較。    進化穩(wěn)定策略的定義及性質(zhì)

7、60;   進化博弈理論（Evolutionary Games Theory）來自達爾文的生物進化理論。在生物進化過程中不同種群在同一個生存環(huán)境中競爭同一種生存資源時，競爭的結果只有那些獲得較高適應度（后代成活率）的種群 生存下來，那些得到較低適應度的種群在競爭中被淘汰(即優(yōu)勝劣汰)；在進化過程中個體常常會發(fā)生突變、遷移、死亡，同時自然條件也會發(fā)生劇烈變化等都會對生物進化過程產(chǎn)生影響，因而要對種群進化進行比較完整的分析就必須建立一些能夠綜合考慮這些因素影響的模型。一般的進化博弈模型主要基于兩個方面而建立起來的：選擇（Selection）和突變(Mutation)。

8、選擇即是指本期中好（能夠獲得較高支付）的策略在下期變得更為盛行（被更多的參與者采用）；突變一般很少發(fā)生，它是以隨機（無目的性）的方式選擇策略（可能是能夠獲得高支付的策略，也可能是獲得較低支付的策略）。新的突變也必須經(jīng)過選擇，并且只有較好的策略才能生存（Survive）下來。選擇也可能包括許多形成機制，這些機制可能是生態(tài)的（支付決定后代的數(shù)量），也可能是個人的（試驗、刺激反應等），也可能是社會的（學習與模仿等）。就較好策略變得更為盛行而言，這個過程是適應性（Adaptive）且是不斷改進（Improving）的。    Maynard Smith and

9、Price(1973)以及Maynard Smith(1974)在考察種群個體適合度由其行為共同決定條件下個體對成功策略選擇的效果時，提出了一個能夠綜合描述上述各種因素的均衡概念-進化穩(wěn)定策略，它后來成為進化博弈理論的一個基本均衡概念。    進化穩(wěn)定策略的基本思想是：假設存在一個全部選擇某一特定策略的大群體和一個選擇不同策略的突變小群體，突變小群體進入到大群體而形成一個混合群體，如果突變小群體在混合群體中博弈所得到的支付大于原群體中個體在混合群體中博弈所得到的支付，那么小群體就能夠侵入大群體，反之就不能夠侵入大群體而在演化過程中消失。如果一個群體能夠消

10、除任何小突變?nèi)后w的侵入，那么就稱該群體達到了一種進化穩(wěn)定狀態(tài)，此時該群體所選擇的策略就是進化穩(wěn)定策略。下面我們利用一個簡單的模型來給出進化穩(wěn)定策略的定義。    進化穩(wěn)定策略是在研究生態(tài)現(xiàn)象時提出來的，生態(tài)學中每一個種群的行為都可以程式化為一個策略，所以在一個生態(tài)環(huán)境中所有種群就可以看作一個大群體，群體中個體之間進行的是對稱博弈 。下面就以為對稱博弈為例來介紹進化穩(wěn)定策略的定義。假定存在一個個體數(shù)為n（N=1，2，n ）的大群體 ，其中n是一個充分大的數(shù)。群體中每一個個體都有相同的純策略集合（行動集），于是混合策略集合S可定義為：   

11、;  其中表示群體（Population）中個體選擇純策略i的概率，也是進化系統(tǒng)在該時刻群體中選擇純策略i的個體占群體個體總數(shù)的百分比。由于群體中個體無角色區(qū)分且個體數(shù)目n充分大，因此可以認為群體中每個個體都選擇相同的混合策略x，純策略可以理解為混合策略的退化，下面所定義的進化穩(wěn)定策略對純策略而言依然有效。    假定在大群體中存在一個選擇突變策略的小群體，突變小群體在大群體中所占的比例為，是一個非常小的正數(shù)。群體中個體之間進行兩兩重復匿名博弈，每個個體都認為對手來自狀態(tài)，這里所說的對手實際上是一個虛擬的參與人。我們用表示選擇策略s的

12、參與人在博弈時所得到的期望支付，表示選擇策略突變者與虛擬參與人博弈時所得到的支付。給定群體所處的狀態(tài)h時，每一個參與者個體都尋找可能偏離被程式化策略的最優(yōu)反應策略。假定    （a）、期望支付函數(shù)（在生態(tài)學里面一般稱為“適應度”fitness函數(shù)）是對稱的，即。就博弈的支付矩陣而言，一個參與人的支付矩陣是其對手的支付矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，    （b）、支付函數(shù)對各分量是連續(xù)的，    （c）、如果     那么群體中個體應該選擇策略s。&#

13、160;   上面的假定（a）來自于前面單群體的假定，由于我們考察的是單群體的情形，即博弈中各參與者個體都有相同的行動集，并且群體中每一個個體都與選擇相同混合策略h的虛擬參與人進行博弈，因此博弈的支付矩陣是對稱的；假定（b）是為了技術上處理的方便；假定（c）說明本期中能夠獲得較高期望支付的策略在下期變得更盛行，這一點是來自于達爾文的優(yōu)勝劣汰理論，也是進化博弈理論關鍵所在。    如果上面的嚴格不等式對任何都成立，我們稱策略s為進化穩(wěn)定策略，群體中所有個體都選擇這一策略時群體所處的狀態(tài)，就稱為進化穩(wěn)定狀態(tài)，此時系統(tǒng)所達到的均衡

14、稱為進化穩(wěn)定均衡（Evolutionarily Stable Equilibrium）。上面的假定（c）并不是進化穩(wěn)定策略的定義，下面我們給出進化穩(wěn)定策略的正式定義：    策略是一個進化穩(wěn)定策略，當且僅當對任何策略，存在使得不等式（1）對所有的成立。    由進化穩(wěn)定策略的定義，可以得到一些簡單的性質(zhì)，下面給出并證明其中的兩個重要性質(zhì)。為了說明的方便，定義符號為的最優(yōu)反應策略集。如果一個參與人選擇策略s而其對手選擇策略，他的支付為，策略s就稱為對策略的反應策略，對策略的所有最優(yōu)反應策略集記為。 

15、0;  性質(zhì)1、如果策略s是進化穩(wěn)定策略，那么對任何都有。    證明 性質(zhì)（1）說明策略s是相對于其自身的最優(yōu)反應策略之一，也就是。（下面用反證法證明）如果策略s不是其自身的最優(yōu)反應策略，那么必定存在另一個策略滿足，由期望支付函數(shù)的連續(xù)性及期望支付函數(shù)是關于混合策略概率的線性函數(shù)，條件（1）可變?yōu)椋?    如果存在滿足的策略，那么，很明顯我們至少可以找到一個，對任何都有     即策略s不是進化穩(wěn)定策略，這與條件矛盾，所以對任何都有。 

16、60;  性質(zhì)2、如果策略s是進化穩(wěn)定策略且對任何策略滿足，那么必有。    證明 假定，這與條件一起隱含了對任何，（另外性質(zhì)2的證明也可以直接從進化穩(wěn)定策略的定義得出）。因此策略s并不滿足進化穩(wěn)定的條件，即策略s并不是進化穩(wěn)定策略，這就得出了矛盾。    綜合這兩個性質(zhì)就得到Maynard Smith (1974)及Taylor and Jonker (1978)給出進化穩(wěn)定策略的第三個性質(zhì)，此后許多有關進化博弈理論方面的文獻都沿用此性質(zhì)作為對進化穩(wěn)定策略的正式定義。  &

17、#160; 性質(zhì)3、 如果策略滿足（）對任何（）    那么策略s是進化穩(wěn)定策略。第一個條件說明：如果策略s是進化穩(wěn)定策略，那么選擇突變策略 的個體與選擇策略 的個體博弈時就會得到較少的支付，因而選擇突變策略 的群體就不能侵入到選擇進化穩(wěn)定策略的群體中；第二個條件說明：選擇進化穩(wěn)定策略 的群體可以侵入到突變者群體中，從而使得選擇突變策略者在進化過程中從群體中消失。     進化穩(wěn)定均衡與納什均衡之間的關系    為了比較進化穩(wěn)定均衡與納什均衡之間的關系，我們給出n人

18、博弈納什均衡的定義。說策略組合是納什均衡策略，如果對于每一個i，是給定其他參與人選擇的情況下第i個參與人的最優(yōu)策略，即：     納什均衡策略即是對其自身的最優(yōu)反應策略，反過來一個策略是對其自身的最優(yōu)反應策略，則它必定是納什均衡策略，于是用本文前面的符號來表示納什均衡的定義即是性質(zhì)（3）的條件（）。因此，如果策略s是進化穩(wěn)定策略，那么它一定是納什均衡策略，進化穩(wěn)定均衡必定是納什均衡，所以進化穩(wěn)定均衡是納什均衡的精煉。性質(zhì)（3）的第二個條件是對納什均衡的一個限制，該條件說明弱劣的納什均衡策略并不一定是進化穩(wěn)定策略，即并不所有的納什均衡策略都是進化穩(wěn)定策略。

19、    為了更好地理解這一點，下面用一個具體的數(shù)字例子來說明，考察如下博弈 ：     根據(jù)進化穩(wěn)定策略定義的性質(zhì)（3），要求一個博弈的進化穩(wěn)定策略可先求出該博弈的納什均衡策略，然后再檢驗納什均衡策略是否為進化穩(wěn)定策略即可。上面這個博弈只有一個混合策略納什均衡，且該均衡策略的期望支付為0，也就是說。很明顯，因此有，要使策略是進化穩(wěn)定策略，就必須滿足性質(zhì)3的條件（）。在這個博弈中對任何i都有，因此不是進化穩(wěn)定策略。從這個例子可以看出：有納什均衡策略的博弈不一定存在進化穩(wěn)定策略。由于上面博弈只有一個混合策略納什均衡，那

20、么我們要問，是不是所有純策略納什均衡都是進化穩(wěn)定均衡呢？混合策略納什均衡是否一定不是進化穩(wěn)定均衡呢？一個博弈中是否可以存在多個進化穩(wěn)定均衡呢？為了回答這些問題，下面我們再給出進化博弈中常用的老鷹-鴿子（Hawk-Dove）博弈。   老鷹-鴿子是指兩種策略并不是老鷹與鴿子之間的博弈?，F(xiàn)實中老鷹比較兇猛；鴿子比較溫馴。在建立進化博弈模型時，我們常常把老鷹、鴿子兩種完全不同生性的動物模型化為兩種不同的策略。假定有兩個參與者群體，其中每個群體都有兩種可供選擇的策略即老鷹策略（H）和鴿子策略(D)，博弈的支付矩陣如下：     如果

21、兩個參與者個體都選擇老鷹策略，由于雙方都非常兇猛，博弈的結果雙方都受傷，因此他們得到的支付模型化為-2；如果一個參與者個體選擇老鷹策略而另一個參與者個體選擇鴿子策略，博弈結果選擇老鷹策略者得到支付模型化為1，而選擇鴿子策略者得到支付模型化為0（弱肉強食）；如果雙方選擇策略鴿子策略，博弈的結果雙方得到支付模型化為-1（每個參與者都要付給博弈組織者1個單位的支付）。這個博弈有兩個純策略納什均衡（s1, s2）、(s2，s1)和一個混合策略納什均衡，根據(jù)性質(zhì)（3）可以得出兩個純策略納什均衡并不是進化穩(wěn)定策略 ，而其中的混合策略納什均衡是進化穩(wěn)定策略。    下

22、面我們證明混合策略納什均衡是進化穩(wěn)定策略，根據(jù)進化穩(wěn)定策略的定義我們只須證明：給定參與者個體選擇混合策略，其對手選擇一個不同的策略，滿足     利用簡單的代數(shù)運算可以得到     其中是混合策略中對應于策略的概率。由于，可以得到     如果，那么，因此是進化穩(wěn)定策略。從這個簡單的例子可以看出：存在純策略納什均衡不是進化穩(wěn)定均衡，相反混合策略納什均衡卻是進化穩(wěn)定均衡的博弈，也存在多個純策略納什均衡都是進化穩(wěn)定均衡的博弈，如下文所提到的保險博弈。  

23、60; 最后我們給出一個非常明顯的結論。在博弈論中弱劣策略可以是納什均衡策略，那么弱劣策略是否可能是進化穩(wěn)定策略呢？我們說弱劣策略絕對不會是進化穩(wěn)定策略。這一點很容易說明，假定弱劣策略s是一個進化穩(wěn)定策略，即存在一個策略弱優(yōu)于策略s，那么。這就與性質(zhì)（3）的條件（）矛盾。因此弱劣策略s不可能是進化穩(wěn)定策略。    從定義可以看出，進化穩(wěn)定策略是一個靜態(tài)概念，但卻能夠反映進化系統(tǒng)局部的動態(tài)性質(zhì)，其作用的大小取決于它能夠在多大程度上對系統(tǒng)動態(tài)性質(zhì)的描述。納什均衡與此不同，它是一個靜態(tài)的概念且不能也不需要反映系統(tǒng)的動態(tài)性質(zhì)，因此經(jīng)典博弈理論僅用納什均

24、衡這一概念就能夠描述博弈的一般性質(zhì)。正是由于ESS需要反映系統(tǒng)的動態(tài)特征，所以在不同的動態(tài)下，同一個博弈會有不同的進化穩(wěn)定均衡，因此要提出一個能夠描述進化博弈一般特征的均衡概念，比納什均衡復雜得多。進化穩(wěn)定均衡的效率分析    納什均衡并不一定具有帕累托效率，如囚徒困境博弈中的納什均衡便不具有帕累托效率。進化穩(wěn)定均衡是不是一定具有帕累托效率呢？下面我們利用經(jīng)典博弈論中常用的兩個例子囚徒困境和風險博弈對此進行說明。首先考察如下的囚徒困境博弈，     合作策略嚴格帕累托優(yōu)于非合作策略（風險優(yōu)勢策略），但它卻不是進化穩(wěn)

25、定策略，風險優(yōu)勢策略是唯一的進化穩(wěn)定策略（在附錄中證明），這個例子說明進化穩(wěn)定均衡并不一定具有帕累托效率。    下面這個例子中存在多個進化穩(wěn)定均衡，這是一個關于保險方面的博弈，博弈的支付矩陣如下，     這個博弈有兩個純策略嚴格納什均衡 ，并且都是進化穩(wěn)定均衡，然而，合作均衡嚴格帕累托優(yōu)于非合作均衡。同時這個博弈還有一個弱的混合策略納什均衡。該混合策略并不是進化穩(wěn)定策略，因為它不滿足ESS的第二條件。以上例子說明進化穩(wěn)定均衡也可能具有帕累托效率，也可能不具有帕累托效率，與帕累托效率無直接聯(lián)系。 

26、60;  對進化穩(wěn)定策略概念的進一步研究    進化穩(wěn)定策略是進化博弈理論最基本的概念，上面所給出的ESS定義是Maynard Smith and Price(1973)在描述生物進化現(xiàn)象時提出的。在考察生物現(xiàn)象時，他們把每一個種群的行動都程式化為一個策略，因而把整個生態(tài)環(huán)境中所有種群看作一個單一的大群體，即各種群個體之間進行的是對稱博弈，在此基礎上提出了進化穩(wěn)定策略的定義，那么這個在考察對稱博弈時得出的概念對群體進行非對稱博弈 時是否適應呢？有許多博弈論理論家對此進行了詳細的討論并得出：傳統(tǒng)ESS并不適應于非對稱博弈（Selten

27、1980），并且存在這樣的博弈：單群體時沒有進化穩(wěn)定均衡而在多群體時卻存在進化穩(wěn)定均衡。Selten同時證明在非對稱博弈中傳統(tǒng)的進化穩(wěn)定均衡與嚴格納什均衡是一個等價概念。此外，從Maynard Smith and Price 所提出的原初定義還可以看出：傳統(tǒng)ESS定義僅考慮到系統(tǒng)受到獨立且不重疊突變的影響的情形，而沒有考慮到當系統(tǒng)受到離散且重疊或者連續(xù)沖擊時對均衡的影響，因此傳統(tǒng)的ESS不適合后一種情形。要對群體行為的動態(tài)調(diào)整過程進行更為全面的分析，傳統(tǒng)的ESS定義作用的局限性就表現(xiàn)出來了。    為了克服這些缺點，使理論能夠更好地與現(xiàn)實接近，許多經(jīng)濟學

28、家及生態(tài)學家對傳統(tǒng)的ESS概念進行了不斷的修進并提出了許多新的均衡概念。Selten(1980)首次探討了非對稱博弈中的均衡問題，他通過引入角色限制行為（Role Conditioned Behavior）提出了極限ESS （Limit ESS）概念，從而把傳統(tǒng)的ESS引入到非對稱博弈中。Schaffer, M. E., (1988) 首次研究了有限群體的均衡問題進而提出了有限群體進化穩(wěn)定策略的新概念，他同時證明了有限群體進化穩(wěn)定策略并不總是納什均衡策略；Foster, D., and P. Young (1990) 首次把連續(xù)隨機因素引入動態(tài)系統(tǒng)，并提出隨機穩(wěn)定性（Stochastic St

29、able Set）概念 ；Gilboa and Matsui(1991)提出的循環(huán)穩(wěn)定集 （Cyclically Stable Set），他們把傳統(tǒng)的ESS引入到隨機動態(tài)系統(tǒng)。Maynard Smith(1982)提出了一個比ESS更一般的中性穩(wěn)定策略（Neutrally Stable Strategy）的概念，Binmore and Samuelson(1992)提出了類似的修正的ESS（Modified ESS）概念。這些概念的提出進一步豐富和完善了進化博弈理論的基本內(nèi)容。    進化博弈理論的發(fā)展簡介    

30、進化博弈理論于二十世紀六十年代被生態(tài)學家們用于解釋生態(tài)現(xiàn)象就已經(jīng)產(chǎn)生了；在七十年隨著ESS(Maynard Smith and Price1973; Maynard Smith1974)概念的提出，它就被越來越多的生態(tài)學家們所利用，在這個階段有少數(shù)經(jīng)濟學家(Jones 1976, Hirshleifer, J.,1977)開始把生態(tài)觀點引入到經(jīng)濟學領域，Hirshleifer認為應用進化博弈模型來解釋經(jīng)濟規(guī)律是一個很自然的事情，Jones（1976）利用進化理論來解釋一些貨幣現(xiàn)象；八十年代隨著對經(jīng)典博弈論研究的深入，許多經(jīng)濟學家把進化博弈理論引入到經(jīng)濟學領域，用于分析社會制度變遷(Axelro

31、d and Hamilton(1981); Axelrod(1984)、行業(yè)演化(Porter, M1980)以及股票市場(Conlisk 1980; Cornell and Roll 1981)等等，同時對進化博弈理論的研究也開始由對稱博弈向非對稱博弈深入（Selten 1980；1983），并取得了一定的成果；進入九十年代，尤其是1992年在關于進化博弈理論的會議在康奈爾大學召開，進化博弈理論在經(jīng)濟學上的學術地位得到正式的認可，在這個階段經(jīng)濟學家對進化博弈理論的研究進入了一個嶄新的階段，理論家們不僅考察了離散非重疊沖擊對演化系統(tǒng)的影響，而且也把離散重疊沖擊（Kandori, M. G. M

32、ailath, and R. Rob 1993; Bergin and Barton 1996）及連續(xù)沖擊對進化系統(tǒng)的影響（Foster, D., and P. Young 1990; Fudenberg, D. and C. Harris 1992）納入到模型之中并對之進行深入的研究，進化博弈理論的應用已經(jīng)滲透到了經(jīng)濟學領域中的各個方面，如Peyton Young（1993，1998）等利用進化博弈理論來研究社會習俗的形成、Fudenberg（1995）等利用進化博弈理論來研究社會學習過程、青木昌彥等（1996）利用進化博弈理論來分析社會經(jīng)濟體制形成的原因等等。結束語  

33、  在生態(tài)學中，由于不同種群的行為可以被程式化為不同的純策略，因而種群之間的博弈是對稱的，另外種群所受到的影響（自然災害、基因突變等）也是不連續(xù)的，所以傳統(tǒng)的ESS概念能夠很好地解釋生態(tài)現(xiàn)象。然而，把進化博弈理論用于解釋人的群體行為時，由于人與動物不同，人可以通過學習、模仿、試驗等活動而作出行動選擇，這樣就使得系統(tǒng)的復雜程度增加。研究人的群體行為所建立的博弈模型一般是非對稱的，而在非對稱博弈中，傳統(tǒng)ESS概念等價于嚴格納什均衡策略，而嚴格納什均衡本來就顯示出許多理想的性質(zhì)，如果把注意力集中于對嚴格納什均衡的研究是沒有任何實際意義的。此外，進化博弈理論利用系統(tǒng)論的觀點來考察群

34、體行為的演化過程，其均衡概念與進化動態(tài)的調(diào)整過程有關，而群體行為的動態(tài)過程是相當復雜的，所以要用一個統(tǒng)一的均衡來描述進穩(wěn)定狀態(tài)的困難就比較大。到目前為止還沒有一個既能描述對稱博弈又能描述非對稱博弈且對所有動態(tài)過程都適應的均衡概念，并且進化博弈的理論體系還比較粗糙且存在許多不完善之處，但從進化博弈的應用及其發(fā)展趨勢來看，我們有理由相信在不久的將來該理論一定會走向成熟，會成主流經(jīng)濟學的一個重要組成部分。附錄：    下面我們利用模仿者動態(tài)來證明，定義，則由模仿者動態(tài)可得由博弈的具體數(shù)據(jù)得到：，應用關系及模仿者動態(tài)可得： 該博弈有兩個平穩(wěn)點，及。在平穩(wěn)點 ，說

35、明如果整個群體中所有小偷都選擇合作策略，那么合作策略將會一個進化穩(wěn)定策略，但如果該群體中有一小部分小偷選擇突變的話，那么在長期中將沒有小偷選擇合作策略都選擇不合作。因此，根據(jù)進化穩(wěn)定策略的定義可知，不合作是唯一的進化穩(wěn)定策略，且這個均衡不具有帕累托效率。注釋：        張良橋，中山大學嶺南學院經(jīng)濟學系數(shù)量經(jīng)濟學專業(yè)九八級碩士研究生。        本文在寫作過程中始終得到了恩師王則柯教授的悉心指導及多次批閱。在此，謹向他表示衷心的

36、感謝。文中如有不當之處概由作者本人負責。        進化博弈用于分析生物現(xiàn)象時，把每一個種群程式化一個策略。這一點與分析人類群體的行為不同，因為人能夠隨著所處的環(huán)境的變化而選擇不同的策略。        對稱博弈是指群體中個體無角色區(qū)分的博弈，在進化博弈中，不同角色一般按個體所能夠選擇的純策略集合是相同還是不相同來區(qū)分的，因此對稱博弈中所有的個體都有相同的行動空間。     

37、0;  進化博弈中群體是按其個體所能選擇的純策略集是否相同來劃分的，有相行動集的個體組成一個群體 。        實際上這里所說的混合策略是群體中在某一時點選擇不同純策略的個體占群體中個體總數(shù)的一個頻率分布，在n充分大時由概率論中的大數(shù)定律可知，頻率分布可以近似地看作概率分布。        本文中所有例子中的支付矩陣均用單數(shù)矩陣，因為我們所考察的博弈均是單群體情形，即對稱博弈。   

38、     從進化穩(wěn)定策略的定義我們知道，只有在單一群體時該定義才成立，而在單一群體時，由于其中個體無角色區(qū)分，即我們無法從群體中分離出兩種類型的個體，所兩個純策略納什均衡不可能是進化穩(wěn)定策略。        一個納什均衡（s,s）稱為嚴格納什均衡，如果對任何策略，滿足。        非對稱博弈即是指多群體博弈，在進化博弈理論群體是按個體所能選擇的行動集來劃分的，有相同行動集的個體組成一

39、個群體，因此不同群體的個體之間進行博弈時，支付矩陣是非對稱的，這就是非對稱博弈名稱的由來。        他給出了如下的定義（以兩群體的情形為例）：在非對稱博弈G中，一個行為策略稱為進化穩(wěn)定策略，如果（）對任意的，滿足（）如果那么對任意的有。滿足這兩個條件之一的策略s就是進化穩(wěn)定策略。        一個狀態(tài)P是隨機穩(wěn)定狀態(tài)，如果在長期中，隨著隨機沖擊影響的不斷變少，系統(tǒng)幾乎一定（nearly certain）不會離開P的任意少的鄰域。

40、         這個概念直接來源于群體行為的調(diào)整過程。其基本思想是“可接近性”（Accessibility），我們可以把這種性質(zhì)粗略地定義如下：一個策略分布f可以接近另一個策略分布g，如果存在一條從f到g的道路，且在該道路方向上任何一點都是相對于該點的最優(yōu)反應。循環(huán)穩(wěn)定集是指在滿足“可接近性”條件下封閉的策略分布集合，即在該集合中任何兩個分布之間都是可接近的，且集合內(nèi)的任何分布與集合外的分布都不滿足可接近性。參考文獻王則柯（1999）：博弈論評話，中國經(jīng)濟出版社。 張維迎（1996）：博弈論與信息經(jīng)濟學，上海三聯(lián)

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