靜電場的高斯定理

1、12.1 電力線電力線2.2 電通量電通量2.3 靜電場的高斯定律靜電場的高斯定律例三、求無限長均勻帶電直線的場強分布例三、求無限長均勻帶電直線的場強分布例一、均勻帶電的球殼內外的場強分布例一、均勻帶電的球殼內外的場強分布例二、均勻帶電的球體內外的場強分布例二、均勻帶電的球體內外的場強分布例四、求無限大均勻帶電平板的場強分布例四、求無限大均勻帶電平板的場強分布提綱提綱作業(yè)：作業(yè)：1-8，1-9，1-102 靜電場的高斯定律靜電場的高斯定律22.1 電力線電力線(electric line of force)pSNpE)()( 正確的選擇正確的選擇 可以使數(shù)密度等于場強。可以使數(shù)密度等于場強。N

2、1 定義：定義：電力線上各點的電力線上各點的切線方向切線方向表表示電場中示電場中該點場強的方向該點場強的方向，在垂直于電力線的單位面積在垂直于電力線的單位面積上的電力線的條數(shù)（上的電力線的條數(shù)（數(shù)密度數(shù)密度)等于該點的等于該點的場強的大小場強的大小。Eq32 電力線的性質：電力線的性質：電力線不會中斷。電力線不會中斷。電力線不會相交。（單值）電力線不會相交。（單值）電力線不會形成閉合曲線，電力線不會形成閉合曲線，它起始于正電荷它起始于正電荷(或或處處)終止于負電荷終止于負電荷(或或處處) 。Eqq1 定義定義2.2、電通量、電通量通過任一面元的電力線的條數(shù)稱為通過這一通過任一面元的電力線的條數(shù)

3、稱為通過這一面元的面元的電通量電通量。（類比于流速場的定義）。（類比于流速場的定義）。4 面元 是矢量，或寫成 方向的規(guī)定方向的規(guī)定：l 閉合曲面外法線方向閉合曲面外法線方向(自內向外自內向外) 為正。為正。l 非閉合曲面的邊界繞行方向與法向成右手螺非閉合曲面的邊界繞行方向與法向成右手螺旋法則旋法則SdSndSSd n5 電場 也是矢量，與面元的夾角為 通過面元的電通量為： 電通量是標量) (nEEdSdSn EcosEdSSdEdeSd60 ed0 ed0 edEn n En E電通量有正負，取決于場強與面元方向夾角對于閉合曲面，為正時表明穿出該曲面，反之為進入（圖）7 通過任一曲面S的電通

4、量：l把該曲面分割成很多小元l求得每一個小面元的電通量l求積分 若是閉合曲面：SSeeSdEdSSeeSdEd82.3、靜電場的高斯定律、靜電場的高斯定律Gauss theorem1、表述：、表述：e0靜電場中任何一閉合曲面靜電場中任何一閉合曲面 S的電通量的電通量 ，等于，等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的 分之一倍。分之一倍。iinsideiSqSdE,01數(shù)學表達式數(shù)學表達式2、證明、證明：可用庫侖定律和疊加原理證明。：可用庫侖定律和疊加原理證明。（1） 證明包圍點電荷證明包圍點電荷 的同心球面的同心球面 的電通量的電通量 等于等于 qSe0q球面上各點的場強方

5、向與其徑向相同。球面上各點的場強方向與其徑向相同。球面上各點的場強大小由庫侖定律給出。球面上各點的場強大小由庫侖定律給出。qrEdSrqEdSSdEde2041 9dSrqEdSSdEde2041 0202044 qdSrqdSrqdSSSee 此結果與球面的半徑無關。換句話說，此結果與球面的半徑無關。換句話說，通過各球面的電力線總條數(shù)相等。通過各球面的電力線總條數(shù)相等。從從 發(fā)出的電力線連續(xù)的延伸到無窮遠。發(fā)出的電力線連續(xù)的延伸到無窮遠。qqrE（2） 證明包圍點電荷證明包圍點電荷 的的任意任意閉合曲面閉合曲面 的的 電通量電通量 等于等于 qSe0/q立體角立體角solid angle q

6、2rdSd 10立體角立體角2rdSd cosdSdS 2 2 cosrdSrrSdd dqEdSEdSndSrESdEde0 4cos 實際上因為電力線不會中斷（連續(xù)性），所以實際上因為電力線不會中斷（連續(xù)性），所以通過閉合曲面通過閉合曲面 和和 的電力線數(shù)目是相等的。的電力線數(shù)目是相等的。SSdSdSn Er d4Sd可以證明，略。可以證明，略。0 qdSee 11由于由于電力線的連續(xù)性電力線的連續(xù)性可知可知，穿入與穿出任一閉合曲面穿入與穿出任一閉合曲面的電通量應該相等。所以的電通量應該相等。所以當閉合曲面無電荷時，電當閉合曲面無電荷時，電通量為零。通量為零。 （3） 證明不包圍點電荷的任

7、一閉合曲面證明不包圍點電荷的任一閉合曲面 的的 電通量恒等于零。電通量恒等于零。SEqdS dS4證明：多個點電荷的電通量等于它們單獨存在時的證明：多個點電荷的電通量等于它們單獨存在時的電通量的代數(shù)和。電通量的代數(shù)和。iq2q1q利用利用場強疊加原理場強疊加原理可證?？勺C。12兩點說明兩點說明E 高斯定律中的場強高斯定律中的場強 是由是由全部電荷全部電荷產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。 通過閉合曲面的通過閉合曲面的電通量只決定于它所包含的電通量只決定于它所包含的 電荷電荷，閉合曲面外的電荷對電通量無貢獻。，閉合曲面外的電荷對電通量無貢獻。 SnSSSSneSdESdESdESdEEEESdE21321)( i

8、insideiSeneeeqSdE,0211 13附附對于靜止電荷的電場，庫侖定律和高斯定律等價。對于靜止電荷的電場，庫侖定律和高斯定律等價。高斯定律的用途高斯定律的用途：當電荷分布具有某種對稱性時，可用高斯定律求當電荷分布具有某種對稱性時，可用高斯定律求 出該電荷系統(tǒng)的電場的分布。比用庫侖定律簡便。出該電荷系統(tǒng)的電場的分布。比用庫侖定律簡便。 當已知場強分布時，可用高斯定律求出任一區(qū)域當已知場強分布時，可用高斯定律求出任一區(qū)域 的電荷、電位分布。的電荷、電位分布。開文迪許就是用高斯定律來證明庫侖定律的平方開文迪許就是用高斯定律來證明庫侖定律的平方 反比關系。這說明它們不是相互獨立的定律，而反

9、比關系。這說明它們不是相互獨立的定律，而 是用不同形式表示的電場與場源電荷關系的同一是用不同形式表示的電場與場源電荷關系的同一 客觀規(guī)律。客觀規(guī)律。對于運動電荷的電場，庫侖定律不再正確，對于運動電荷的電場，庫侖定律不再正確，而高斯定律仍然有效。而高斯定律仍然有效。14四、利用高斯定律求靜電場的分布四、利用高斯定律求靜電場的分布中的中的 能以標量能以標量SSdEE當當場源電荷分布具有某種對稱性時場源電荷分布具有某種對稱性時，應用高斯定律，選取適當?shù)膽酶咚苟?，選取適當?shù)母咚姑娓咚姑妫姑娣e分使面積分形式提出來，即可求出場強。形式提出來，即可求出場強。均勻帶電球殼均勻帶電球殼均勻帶電細棒均勻帶電

10、細棒ElS eOrpQESopE均勻帶電無限大平板均勻帶電無限大平板e15例一、均勻帶電的球殼內外的場強分布。例一、均勻帶電的球殼內外的場強分布。設球殼半徑為設球殼半徑為 R，所帶總電量為所帶總電量為 Q。解：解：場源的對稱性決定著場強分布的對稱性。場源的對稱性決定著場強分布的對稱性。它具有與場源同心的球對稱性。固選同心球面為高斯面。它具有與場源同心的球對稱性。固選同心球面為高斯面。 場強的方向沿著徑向，且在球面上的場強處處相等。場強的方向沿著徑向，且在球面上的場強處處相等。QK_1高斯面高斯面高斯面高斯面EQ均勻帶電球殼均勻帶電球殼Rr024 QrEdSESdESSe RrrrQE 420

11、當當 高斯面內電荷為高斯面內電荷為 0Rr RrE 0當當 高斯面內電荷為高斯面內電荷為Q，所以所以Rr 16結果表明：結果表明：QK_1均勻帶電球殼外的場強均勻帶電球殼外的場強分布正象球面上的電荷分布正象球面上的電荷都集中在球心時所形成都集中在球心時所形成的點電荷在該區(qū)的場強的點電荷在該區(qū)的場強分布一樣。在球面內的分布一樣。在球面內的場強均為零。場強均為零。EQRr17例二、均勻帶電的球體內外的場強分布。例二、均勻帶電的球體內外的場強分布。設球體半徑為設球體半徑為R，所帶總帶電為所帶總帶電為Q解：它具有與場源同心的球對稱性。解：它具有與場源同心的球對稱性。固選取同心的球面為高斯面。固選取同心

12、的球面為高斯面。 QERr333300023434114RQrRQrVQVqrESdEoRrS RrrRQrEo 43 RrrrQEo 42 18例三、求無限長均勻帶電直線的場強分布。例三、求無限長均勻帶電直線的場強分布。設線電荷密度為設線電荷密度為e該電場分布具有軸對稱性。該電場分布具有軸對稱性。距離導線距離導線 r 處一點處一點 p 點的場強方向點的場強方向一定垂直于帶電直導線沿徑向，并一定垂直于帶電直導線沿徑向，并且和且和 p點在同一圓柱面（以帶電直點在同一圓柱面（以帶電直導線為軸）上的各點場強大小也都導線為軸）上的各點場強大小也都相等，都沿徑向。相等，都沿徑向。以帶電直導線為軸，作一個

13、通過以帶電直導線為軸，作一個通過p點，點，高為高為 的圓筒形封閉面為高斯面的圓筒形封閉面為高斯面 S，通過通過S面的電通量為圓柱側面和上下面的電通量為圓柱側面和上下底面三部分的通量。底面三部分的通量。lElS eOrp19因上、下底面的場強方向與面法向垂直，因上、下底面的場強方向與面法向垂直，其電通量為零。即式中后兩項為零。其電通量為零。即式中后兩項為零。此閉合面包含的電荷總量此閉合面包含的電荷總量其方向沿求場點到直導線的垂線其方向沿求場點到直導線的垂線方向。正負由電荷的符號決定。方向。正負由電荷的符號決定。ElS eOrp bottomtopfacesideSeSdESdESdESdE lq

14、einsidei lrlEdSESdEefacesidefacesidee 012 rEe02 20解：由于電荷分布對于求場點解：由于電荷分布對于求場點 p到平面的垂線到平面的垂線 op 是對稱的，是對稱的，所以所以 p 點的場強必然垂直于該點的場強必然垂直于該平面。平面。0e0e又因電荷均勻分布在無限大的平面上，又因電荷均勻分布在無限大的平面上，所以電場分布對該平面對稱。即離平所以電場分布對該平面對稱。即離平面等遠處的場強大小都相等、方向都面等遠處的場強大小都相等、方向都垂直于平面，垂直于平面，當當 場強指離平面。場強指離平面。當當 場強方向指向平面。場強方向指向平面。例四、求無限大均勻帶電

15、平板的場強分布。例四、求無限大均勻帶電平板的場強分布。設面電荷密度為設面電荷密度為eopeES21選一其軸垂直于帶電平面的選一其軸垂直于帶電平面的圓筒圓筒式封閉面作為高斯面式封閉面作為高斯面 S，帶電平帶電平面平分此圓筒，場點面平分此圓筒，場點 p位于它的位于它的一個底面上。由于圓筒側面上各一個底面上。由于圓筒側面上各點的場強方向垂直于側面的法線點的場強方向垂直于側面的法線方向，所以電通量為零；又兩個方向，所以電通量為零；又兩個底面上場強相等、電通量相等，底面上場強相等、電通量相等，均為穿出。均為穿出。場強方向垂直于帶電平面。場強方向垂直于帶電平面。opESeSESdESdESdEfacerightfaceleftSe 202 SSEe 2202 eE 場強方向指離平面場強方向指離平面;0e場強方向指向平面。