2010高三數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)回歸課本教案：圓錐曲線

1、2010高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)回歸課本：圓錐曲線一考試內(nèi)容：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡單幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的簡單幾何性質(zhì).拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的簡單幾何性質(zhì).二考試要求：(1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.(2)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).(3)掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).(4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.【注意】圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題：考查圓錐曲線的概念與性質(zhì)；求曲線方程和軌跡；關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題.三基礎(chǔ)知識:(一)

2、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離的和大于|這個(gè)條件不可忽視.若這個(gè)距離之和小于|，則這樣的點(diǎn)不存在；若距離之和等于|，則動點(diǎn)的軌跡是線段.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（0），（0）.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大?。喝绻?xiàng)的分母大于項(xiàng)的分母，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在y軸上.4.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.(二)橢圓的簡單幾何性質(zhì)1. 橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為（0）. 范圍： -axa，-bxb，所以橢圓位于直線x=和y=所圍成的矩形里. 對稱性：分別關(guān)于x軸、y軸

3、成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心. 頂點(diǎn)：有四個(gè)（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長. 所以橢圓和它的對稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，稱為橢圓的頂點(diǎn). 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0e1.e越接近于1時(shí)，橢圓越扁；反之，e越接近于0時(shí)，橢圓就越接近于圓. 2.橢圓的第二定義 定義：平面內(nèi)動點(diǎn)M與一個(gè)頂點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)（e1時(shí)，這個(gè)動點(diǎn)的軌跡是橢圓. 準(zhǔn)線：根據(jù)橢圓的對稱性，（0）的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程

4、為.對于橢圓（0）的準(zhǔn)線方程，只要把x換成y就可以了，即.3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)所連的線段叫做這點(diǎn)的焦半徑. 設(shè)（-c，0），（c，0）分別為橢圓（0）的左、右兩焦點(diǎn)，M（x，y）是橢圓上任一點(diǎn)，則兩條焦半徑長分別為，.橢圓中涉及焦半徑時(shí)運(yùn)用焦半徑知識解題往往比較簡便.橢圓的四個(gè)主要元素a、b、c、e中有=+、兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件.4.橢圓的參數(shù)方程 橢圓（0）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 說明 這里參數(shù)叫做橢圓的離心角.橢圓上點(diǎn)P的離心角與直線OP的傾斜角不同：； 橢圓的參數(shù)方程可以由方程與三角恒等式相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換

5、. 92.橢圓的參數(shù)方程是.5.橢圓的的內(nèi)外部（1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.（2）點(diǎn)在橢圓的外部.6. 橢圓的切線方程 (1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是. （2）過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）橢圓與直線相切的條件是(三)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a（小于|）的動點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，要注意條件2a|，這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|，則動點(diǎn)的軌跡是兩條射線；若2a|，則無軌跡. 若時(shí)，動點(diǎn)的軌跡僅為雙曲線的一個(gè)分支，又若時(shí)，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，故在定義中應(yīng)為

6、“差的絕對值”.2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上. 4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.(四)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1.雙曲線的實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，離心率1，離心率e越大，雙曲線的開口越大.2. 雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程

7、是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).3.雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與到定直線（準(zhǔn)線）距離的比是一個(gè)大于1的常數(shù)（離心率）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-c，0）和（c，0），與它們對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是和.雙曲線的焦半徑公式，.4.雙曲線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.5.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）.6. 雙曲線的切線方程(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過雙曲線外一

8、點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.(五)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)（F）和一條定直線（l）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn)F不在直線l上，否則軌跡是過點(diǎn)F且與l垂直的直線，而不是拋物線。2拋物線的方程有四種類型：、.對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號則曲線的開口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。3拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例（1）范圍：x0；（

9、2）對稱軸：對稱軸為y=0，由方程和圖像均可以看出；（3）頂點(diǎn)：O（0，0），注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因?yàn)闊o中心）；（4）離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；（5）準(zhǔn)線方程；（6）焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn)P（x1，y1），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為（p0）： （7）焦點(diǎn)弦長公式：對于過拋物線焦點(diǎn)的弦長，可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式。設(shè)過拋物線y2=2px（pO）的焦點(diǎn)F的弦為AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的傾斜角為，則有|AB|=x+x+p以上兩公式只適合過焦點(diǎn)的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。

10、（8）直線與拋物線的關(guān)系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，當(dāng)a0時(shí)，兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0，則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時(shí)，直線和拋物線相交，但只有一個(gè)公共點(diǎn)。4.拋物線上的動點(diǎn)可設(shè)為P或 P，其中 .5.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是.6.拋物線的內(nèi)外部(1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.(4) 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部.點(diǎn)在拋物線的外部.7. 拋物線的切線方程(1)拋物

11、線上一點(diǎn)處的切線方程是.（2）過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.（3）拋物線與直線相切的條件是.(六).兩個(gè)常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓; 當(dāng)時(shí),表示雙曲線.(七)直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或（弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. (八).圓錐曲線的兩類對稱問題（1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的曲線是.（2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是.四基本方法和數(shù)學(xué)思想1.橢圓焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為橢圓（a>b>0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0)

12、,則（e為離心率）；2.雙曲線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為雙曲線（a>0,b>0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0),則:（1）當(dāng)P點(diǎn)在右支上時(shí)，；（2）當(dāng)P點(diǎn)在左支上時(shí)，；（e為離心率）；另：雙曲線（a>0,b>0）的漸進(jìn)線方程為；3.拋物線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，；4.涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題；5.共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，0）；6.計(jì)算焦點(diǎn)弦長可利用上面的焦半徑公式，一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A

13、、B兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長 ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準(zhǔn)距為p=，拋物線的通徑為2p，焦準(zhǔn)距為p; 雙曲線（a>0，b>0）的焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為b;8.中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設(shè)為Ax2+Bx21；9.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;10.過橢圓（a>b>0）左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB，則，過右焦點(diǎn)的弦；11.對于y2=2px(p0

14、)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（，y0）,以簡化計(jì)算;12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問題常用代點(diǎn)相減法，設(shè)A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（a>b>0）上不同的兩點(diǎn)，M(x0,y0)是AB的中點(diǎn)，則KABKOM=；對于雙曲線（a>0，b>0），類似可得：KAB.KOM=；對于y2=2px(p0)拋物線有KAB13.求軌跡的常用方法：（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成F(x,y)0，是求軌跡的最基本的方法；（2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學(xué)過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；（3

15、）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）：若動點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動點(diǎn)Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數(shù)式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程；（4）定義法：如果能夠確定動點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程；（5）參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)P（x,y）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。五高考題回顧一、利用圓錐曲線的定義求相關(guān)距離：1. （04年全國卷一.文理7）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，

16、一個(gè)交點(diǎn)為P，則=（ ）.A B CD42. （04年遼寧卷.9）已知點(diǎn)、，動點(diǎn)P滿足. 當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（ ）.A B CD23. （遼寧卷）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為.若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是A2+BCD21二、利用方程思想討論直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)：4.（04年全國卷一.文理8）設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l 的斜率的取值范圍是（ ）.A B2，2 C1，1 D4，45. （上海）過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這

17、樣的直線（ ）A有且僅有一條 B有且僅有兩條 C有無窮多條 D不存在6.（山東卷）設(shè)直線關(guān)于原點(diǎn)對稱的直線為，若與橢圓的交點(diǎn)為A、B、，點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4三、熟練運(yùn)用圓錐曲線的幾何性質(zhì)解題：7.（04年全國卷二.理15）設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線=1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是 .8. （04年天津卷.文5理4）設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則（ ）A. 1或5B. 6C. 7D. 99. (全國卷III)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓

18、長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）（A） （B） （C） （D）10. （江蘇卷）(11)點(diǎn)P(-3,1)在橢圓的左準(zhǔn)線上.過點(diǎn)P且方向?yàn)閍=(2,-5)的光線,經(jīng)直線=-2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為 ( )( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 11. （湖南卷）已知雙曲線1（a0，b0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，OAF的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為（ ）A30ºB45ºC60ºD90º四、利用圓錐曲線的定義解答相關(guān)三角形問題：12(04年湖北卷.理6）已知

19、橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（ ）. A. B. 3 C. D. 13.（山東卷）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與兩條漸近線交于P、兩點(diǎn)，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率 14.（04年福建卷.文理4）已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（ ）.A. B. C. D. 五、利用圓錐曲線中的焦半徑公式解題：15.（04年重慶卷.文10）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為( ).A. B. C

20、. D. 16. （04年湖南卷.理16）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)使組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 . 六.軌跡問題.17.（江西卷）以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓；18. (重慶卷)已知，B是圓F：(F為圓心)上一動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為 19.（上海）直角坐標(biāo)平面xoy中，若定點(diǎn)A(1,2)與動點(diǎn)P(x,y)滿足=4。則點(diǎn)P的軌跡方程是 六.課本中習(xí)題歸納圓錐曲線, 圓錐曲線與直線1(1)已知兩

21、個(gè)定點(diǎn),且=10,則點(diǎn)的軌跡方程是 .(2) 已知兩個(gè)定點(diǎn),且=8, 則點(diǎn)的軌跡方程是 .(3) 已知兩個(gè)定點(diǎn),且=6, 則點(diǎn)的軌跡方程是 .2兩焦點(diǎn)分別為,且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓方程是 .3若橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于6,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是 4ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是,邊AC,BC所在直線的斜率之積等于,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是 .5點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn),以點(diǎn)P以及焦點(diǎn),為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .6橢圓的長軸與半短軸的和等于 , 離心率等于 , 焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 ,頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 ,準(zhǔn)線方程是 ,左焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離等于 .7橢圓上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離等于3,則點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離是 ,則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離是 .8(1) 已知兩個(gè)定點(diǎn),動點(diǎn)P到的距離的差的絕對值等于6,則點(diǎn)P的軌跡方程是 ; (2) 已知兩個(gè)定點(diǎn),動點(diǎn)P到的距離的差的絕對值等于8,則點(diǎn)P的軌跡方程是 ; (3) 已知兩個(gè)定點(diǎn),動點(diǎn)P到的距離的差的絕對值等于10, 則點(diǎn)P的軌跡方程是 ;9已知曲線C的方程是, (1)若曲