概率論部分習(xí)題解答

1、P35習(xí)題一6. 記 Ai 表示甲第 i 輪命中目標(biāo)，Bi 表示乙第 i 輪命中目標(biāo)，i=1，2，。則 P甲勝出=P( A1 + A1 B1 A2 + A1 B1 A2 B 2 A3 +.) = P( A1 ) + P( A1 B1 A2 ) + P( A1 B1 A2 B 2 A3 ) +.) +. =p1= P( A ) + P( A1 )P(B1 )P( A ) + P( A1 )P(B1 )P( A2 )P(B 2 )P( A1231- (1- p )(1- p )12p1p1=P甲勝出=1- (1- p1 )(1- p2 )p1 + p2 - p1 p2p2 (1- p1 )p2 (

2、1- p1 )=同理，P乙勝出=1- (1- p1 )(1- p2 )p1 + p2 - p1 p27. 以 A1 表示“抽到甲地區(qū)報名表”， A2 表示“抽到乙地區(qū)報名表”， A3 表示“抽到丙地區(qū)報名表”；以 B 表示“先抽取到一份女生表”。(1) 由全概率公式，得：3å13715P(B) =P( A )P(B | A ) ， P( A ) = P( A ) = P( A ) =， P(B | A ) =， P(B | A ) =ii12312310i=1P(B | A ) =，所以， p = P(B) = 29 。532590(2) 以 C 表示“后抽取到一份男生表”，要求 P

3、(B | C)3C1C1 ´ 8 !P(BC)7åP(B | C) =， P(BC) =P( A )P(BC | A ) ， P(BC | A ) = 3 7=ii1P(C)10 !30i=1C1C1 ´13 !C1C1´ 23 !411 202P(BC | A2 ) = 7 8=， P(BC | A3 ) = 5 20=， P(BC) = ´=15 !1525 !63 3093C1 ´ 9 !C1 ´14 !å78 7=， P(C | A2 ) = 8=P(C) =P( A )P(C | A) ， P(C | A

4、 ) =ii110 !1015 !15i=1C1´ 24 !41 6161P(C | A3 ) = 20=， P(C) = ´=25 !53 3090所以， P(B | C) = P(BC) = 20P(C)618. 以 A1 表示“被傳送字符為 AAAA”， A2 表示“被傳送字符為 BBBB”， A3 表示“被傳送字符為 CCCC”。(1) 以 B 表示“收到字符 ABCA”。由全概率公式，得：31åP(B) =P( A )P(B | A ) ， P( A ) = P( A ) = P( A ) =， P(B | A ) = 0.6 ´ 0.2 &#

5、180; 0.2 ´ 0.6 = 0.0144 ，ii12313i=1P(B | A2 ) = 0.23 ´ 0.6 = 0.0048 ， P(B | A3 ) = 0.23 ´ 0.6 = 0.0048 ，所以， P(B) = 0.008 。| B) = P( A1 B) = P( A1 )P(B | A1 ) = 0.6(2)要求 P( A | B) ， P( A11P(B)P(B)P74習(xí)題二2.解：PX=1=(1/5)3=0.008，PX=2=(2/5)3-(1/5)3=0.056，PX=3=(3/5)3-(2/5)3=0.152，PX=4=(4/5)3-

6、(3/5)3=0.296，PX=5=1-(4/5)3=0.488；C 2C 21PY=1=PY=2=0，PY=3=0.1，PY=4= 3 =0.3，PY=5= 4 =0.6C 3C 3C 35555. (1)以 A 表示“經(jīng)第 1 次檢驗?zāi)芙邮铡保慈〕?10 件無次品，則 P(A)=0.910=0.349(2)以 B 表示“需做第 2 次檢驗”，即取出 10 件有 1 或 2 件次品，則P(B)=0.99*0.1* C1 +0.98*0.12* C 2 =0.5811010(3)以 C 表示“能夠被接收”，則 P(C|B)=0.95=0.590 (4) P(BC) = P(B)P(C | B

7、) =(2)*(3)=0.343(5) (1)+(4)=0.692 6.(1)Ex=1000=1/l，所以l=1/1000ìx1000 ,ìx1000 ,-1-f (x) = ïx ³ 0 ，分布函數(shù) F (x) = ï1 - eex ³ 0x < 0í1000íhhï0,ïî0,x < 0î(2)系統(tǒng)X = max(x1,x2 ,.,xn ) ，其概率分布函數(shù)為：當(dāng) x£0 時， FX (x) = 0當(dāng) x³0 時， FX (x) = PX

8、£ x = Pmax(x1,x2 ,.,xn ) £ x = Px1 £x £ x =fh (t)dtúû = -lx nn= Õi=1ù néxò各元件相互，從而 FX (x) = PX £ x1 - ePêë 0i故其概率密度函數(shù)，當(dāng) x³0 時，- x ù n-1éf (x) = F (x)'= n1- e-lx n-1 le-lx = n ê1- e- x 1000 ú1000ûeXX100

9、0 ë又解：參考 P99 例 3.17(該例子是兩個相互的隨量，可擴展到本題的 n 個相互的隨量)，可得并統(tǒng)的分布函數(shù)為： F (x) = F (x)n ，求導(dǎo)可得并統(tǒng)的密度hX函數(shù)。(3) 系統(tǒng)Y = min(x1,x2 ,.,xn ) 的概率分布函數(shù)為：當(dāng) y£0 時， FY ( y) = 0當(dāng) y³0 時，F(xiàn)Y ( y) = PY £ y = Pmin(x1,x2 ,.,xn ) £ y = Px1 £ y U x2 £ y U . U xn £ yn所以 F ( y) = 1 - Px > y,x &

10、gt; y,.,x > y = 1 - Õ Px > y = 1 - e-nl×yY12nii=1故其概率密度函數(shù)，當(dāng) y³0 時，- n× y 1000nf ( y) = F ( y) ' = nle-nl× y=eYY1000又解：同樣參考例 3.17，可得串統(tǒng)的分布函數(shù)為： = 1 - e 1000 ，求導(dǎo)可得串- n x (x) nF (x) = 1 - 1 - F統(tǒng)的密度函數(shù)。hX10.(1) Cm pm (1- p)n-mn(2)求中途有 m 人下車的概率 PY=m，起點站上車的人數(shù) X³m，即 X=m

11、，m+1，所以lmlm+1lm+k-l m-lm-lm+ e(m +1)!m(1- p) + . +e(m + k)!m(1- p) + .kem!pCm+1 pCm+k pPY=m=1llk= (lp)e +(1 - p) + . +-l(1 - p) + .mkm!×k!m!m!(lp)m(lp)m-l l (1- p)-lpe，即 Y 服從參數(shù)為lp 的泊松分布， Y P(lp)e e=m!m!(3)EY=lpP120 習(xí)題三æ m -1 ö næ1 ö næ m -1 ö n1 ö næ= 0 =

12、 ç÷ = ç1-÷m= 1 = 1- ç÷ = 1- ç1-÷m2. (1) Xi 的分布為 PX i， PX ièøèømèømèøæ m -1 ö næ1 ö n= 1 - ç÷ = 1- ç1-÷mEX ièømèø(2)隨量 X 表示摸取球 n 次，摸取到的顏色的數(shù)目，即摸取到多少種顏色的球é

13、30; m - 1ön ùéæ1 ön ùmmEX = Eå X i = å EX i = mê1 - çú = mê1 - ç1 -÷m÷úúûmèøèøêëúûêëi=1i=13. (1) (Yi , Y j ) i ¹ j 的概率分布為：Ck C s´ 7 25-k -s= s = 25 25

14、-k,925P(Yi = k, Y j0 £ k £ 25, 0 £ s £ 25, k + s £ 25Ck ´825-k邊緣分布 P(Yi = k = 25, 0 £ k £ 25925C s ´825-sP(Yj = s = 25, 0 £ s £ 25925可見，Yi 與 Yj 不(2) ( X i , X j ) i ¹ j 的概率分布為：XjXi01p X ii0725925825 - 7 25 (*)9259258259251825 - 7 258257 251

15、- 2 ´+8251-9259259259259 25*注：Xi = 0, X j = 1 表示第 i 站無人下車且第 j 站有人下車以 A 表示“第 i 站無人下車”， B 表示“第 j 站無人下車”，則 A = AB + AB ，從而825725P( A) = P( AB) + P( AB) ， P( A) =， P( AB) =，所以925925825725PXi = 0, X j = 1 = P( AB) = P( A) - P( AB) =925-925由概率分布表可見，Xi 與 Xj 不。8258258257 25(3) EX i = 1-， EX j = 1-， EX

16、i X j = 1- 2´925925925+9257 25850i X j - EX i ´ EX j=-925950所以， cov(æ 8 ö 25æ 8 ö50æ 8 ö 25æ 8 ö50825925EX 2 = 1-， (EX i ) 2 = 1- 2 ´ç ÷+ ç ÷= EX 2 - (EX i ) 2 = ç ÷- ç ÷， DX iiiè 9 øè 9 

17、48;è 9 øè 9 øæ 8 ö 25æ 8 ö50同理， DX j = EX 2 - (EX) 2 = ç ÷- ç ÷jjè 9 øè 9 øæ 7 ö 25æ 8 ö50ç ÷- ç ÷99é50 ùé50 ù2525cov( X , X )= êæ7ö- æ 

18、6;÷ç ÷ ú /êæ88ö- æ ö÷ç ÷ ú = è8øè øij所以， r=ççX , Xæ 8 ö 25æ 8 ö50i jDXêè 9 øè 9 ø ú êè 9 øè 9 ø úDXjëû ëû

19、iç ÷- ç ÷è 9 øè 9 ø9å(4)交通車停車次數(shù) X 的方差 DX = D(X i ) = 9 ´ DX i + 2 ´ C 2 ´cov( X , X )9iji=1éæ 8 ö 25æ 8 ö50 ùéæ 7 ö 25æ 8 ö50 ùDX = 9 ´ êç ÷- ç ÷ 

20、0; + 72 ´ êç ÷- ç ÷ úêëè 9 øè 9 ø úû10. (1)(U，V)的概率分布為：êëè 9 øè 9 ø úû(2) EU = 3 ， EU 2 = 3 ， DU =31644EV = 1 ， EV 2 = 1 ， DV = 1 ， EUV = 12242VU01pU i0140141141234pV j12121p X jj825925

21、8251-9251所以，cov(U，V)= 1 ， rcov(U ,V )1=U ,V8DU DV3ì10 £ x £ 1, 0 £ y £ 2其他f (x, y) = ï 214.íïî02 é 11dxùdy = 11- y ùdy = 22 éò òò(1) P3X ³ Y =êúûê3 ú223ëëû0y / 30211112ò&

22、#242;(2)邊緣密度函數(shù) f (x) =dx = 1 , f ( y) =dy =XY0 20 2所以 f (x, y) = f X (x) × fY ( y) ，說明 X 與 Y邊緣分布函數(shù) F0y( y)dy = y2ò， F ( y) = PY £ y =fYY0根據(jù) P100 式 3.49，得 Z = min X , Y 的密度函數(shù)為：ì 3 - z0 £ z £ 1其他(z)1- F (z) + f (z)1- F (z) = ï 2f (z) = fíZXYYXïî0P143 習(xí)

23、題四nì1第i 次拋擲硬幣出現(xiàn)正面第i 次拋擲硬幣出現(xiàn)1nåi=11. 設(shè) X i = íi = 1,2,., n ， X =Xiî0EX =， EX=， DX = 1 ， E X = 1 ， DX =1114n2iii2242使 X 落在 0.4 到 0.6 之間的概率至少為 0.9，即 X 落在該區(qū)間之外的概率小于等于 0.1，由P54 切比雪夫不等式， P| X - 0.5 |³ 0.1 = P| X - EX |³ 0.1 £= 25 £ 0.1DX0.12n所以，n250n1n4å， EX =

24、m ， DX i = s = 4 ， EX = m ， DX = n = 0.0422. X =Xiii=1由 P54 切比雪夫不等式， P| X - m |³ e = P| X - EX |³ e £ DX = 0.04 £ 0.1e 2e 2當(dāng)e = 0.4 = 0.632 時，上述不等式成立，即 P| X - m |£ e ³ 0.9所以， X - m 落在-0.632 和 0.632 兩個界限之間的概率至少為 0.9- x+¥xòòò6. (1)證明： F (-x) =f (x)dx =

25、f (x)dx = 1-f (x)dx = 1- F (x)所以 F (x) + F (-x) = 1對任意 x0，有-¥-¥x= ò- x f (x)dx = ò-¥ f (x)dx - ò-¥ f (x)dx = F (x) - F (-x) = 2F (x) -1G(x) = P| X |£ x = P-(2)由(1)可得，當(dāng) x0 時， g(x) = 2 f (x)當(dāng) x<0 時，由于G(x) = P| X |£ x = 0 ，所以， g(x) = 0而 f (x) 關(guān)于 y 軸對稱，所以，

26、對任意實數(shù) x，均有 f (x) = 1 g(| x |)29. 令x = X k (i = 1,2,., n) ，由于總體 X 的 k 階原點矩a = EX kiik則 Ex = EX k = EX k = a (i = 1,2,., n) ，即x的數(shù)學(xué)期望；而 X 相互，則x 也iikiii相互，于是，由大數(shù)定律，對任意實數(shù)>0，有：ì 1lim Px - a< e ü = 1，其中 1xnn= 1nnå ikååX k= Aíýiikî nnn®¥þi=1i=1i=1所以， lim PA - a< e = 1 ， lim PA - a> e = 0 ，即A k ®aPkkkkkn®¥P