高考數(shù)學 第4講 函數(shù)與方程的思想方法素材 新人教版

1、第4講 函數(shù)與方程的思想方法一、知識整合函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0通過方程進行研究。就中學數(shù)學而言，函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中

2、學數(shù)學的基本思想，也是歷年高考的重點。1函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題。2方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.3(1) 函數(shù)和方程是密切相關

3、的，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉化為方程問題來求解，方程問題也可以轉化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點。(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉化，對于函數(shù)yf(x)，當y>0時，就轉化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質解決有關問題，而研究函數(shù)的性質，也離不開解不等式。(3) 數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。(4) 函數(shù)f(x)（nN*）與二項式定理是密切相關的，利用這個函數(shù)用賦值法和

4、比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題。(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關理論。(6) 立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決。二、例題解析運用函數(shù)與方程、表達式相互轉化的觀點解決函數(shù)、方程、表達式問題。例1 已知，（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 法一：依題設有 a·5b·c0是實系數(shù)一元二次方程的一個實根；0 故選(B)法二：去分母，移項，兩邊平方得：10ac2·5a·c20a

5、c 故選(B)點評解法一通過簡單轉化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決；解法二轉化為b2是a、c的函數(shù)，運用重要不等式，思路清晰，水到渠成。練習1 已知關于的方程 （2 m8）x +16 = 0的兩個實根 、 滿足 ，則實數(shù)m的取值范圍_。答案：；x21y02 已知函數(shù) 的圖象如下，則（ ）（A） (B)(C) (D)答案：A. 3 求使不等式·對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。：構造函數(shù)或方程解決有關問題：例2 已知，t，8，對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。解析t，8，f(t)，3原題轉化為：>0恒成立，為m的一次函

6、數(shù)（這里思維的轉化很重要）當x2時，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3問題轉化為g(m)在m，3上恒對于0，則：；解得：x>2或x<1評析 首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準“主元”往往是解題的關鍵。例3 為了更好的了解鯨的生活習性，某動物保護組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置，從海洋放歸點A處，如圖（1）所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對它進行了長達40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點測得數(shù)據(jù)如下表（設鯨沿海面游動），然后又在觀測站B處對鯨進行生活習性的詳細

7、觀測，已知AB15km，觀測站B的觀測半徑為5km。觀測時刻t（分鐘）跟蹤觀測點到放歸點的距離a（km）鯨位于跟蹤觀測點正北海岸西東圖1AB方向的距離b（km）1010.9992021.4133031.7324042.001(1)據(jù)表中信息：計算出鯨沿海岸線方向運動的速度；試寫出a、b近似地滿足的關系式并畫出鯨的運動路線草圖；AByx圖2（2）若鯨繼續(xù)以（1）運動的路線運動，試預測，該鯨經(jīng)過多長時間（從放歸時開設計時）可進入前方觀測站B的觀測范圍？并求出可持續(xù)觀測的時間及最佳觀測時刻。（注：6.40；精確到1分鐘）解析（1）由表中的信息可知：鯨沿海岸線方向運動的速度為：（km/分鐘）a、b近似

8、地滿足的關系式為：運動路線如圖（2）以A為原點，海岸線AB為x軸建立直角坐標系，設鯨所在位置點P（x，y），由、得：，又B（15，0），依題意：觀測站B的觀測范圍是：5 （y0） 又25 解得：11.30x17.70由得：該鯨經(jīng)過t113分鐘可進入前方觀測站B的觀測范圍 持續(xù)時間：64分鐘該鯨與B站的距離d當d最小時為最佳觀測時刻，這時x14.5，t145分鐘。練習4已知關于的方程2= 0有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。（答案：04）：運用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題例4設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范圍；（2）指出、，中哪一個最大，并說明理由。

9、解析（1）由得：，>0 <0<d<3（2）d<0，是關于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x<d<3 6<< 當n6時，最大。三、強化練習1展開式中的系數(shù)為_.2已知方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則( )A 1 B C D 3.設雙曲線的焦點在軸上，兩條漸近線為，則該雙曲線的離心率（ ）A 5 B C D 4已知銳角三角形ABC中，。 .求證； .設，求AB邊上的高。5甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為。.分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的