第17章勾股定理復(fù)習(xí)題易錯(cuò)題.

1、八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理水平測(cè)試（1）一、試試你的身手（每小題3 分，共24 分）1三角形的三邊滿(mǎn)足a2 b2c2，這個(gè)三角形是三角形，它的最大邊是2在直角三角形ABC 中， C 90°， BC 24， CA 7， AB3在 ABC 中，若其三條邊的長(zhǎng)度分別為9、12、 15，則以?xún)蓚€(gè)這樣的三角形所拼成的四邊形的面積是4如圖1 所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，正方形A，B，C 的面積分別是8cm2，10cm2，14cm2，則正方形D 的面積是cm25如圖 2，在 ABC 中， C 90°，BC 60cm， CA 8

2、0cm，一只蝸牛從C 點(diǎn)出發(fā)，以每分鐘 20cm 的速度沿 CA AB BC 的路徑再回到 C 點(diǎn)，需要分鐘的時(shí)間6已知 x、y 為正數(shù)，且 x2-4 +(y2-16)2 0，如果以 x、 y 的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為7在布置新年聯(lián)歡會(huì)的會(huì)場(chǎng)時(shí)，小虎準(zhǔn)備把同學(xué)們做的拉花用上，他搬來(lái)了一架高為2.5米的梯子，要想把拉花掛在高2.4 米的墻上（設(shè)梯子上端要到達(dá)或超過(guò)掛拉花的高度才能掛上），小虎應(yīng)把梯子的底端放在距離墻米處8如圖 3 是 2002 年北京第24 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽，由 4 個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為

3、52 和 4，則直角三角形的兩直角邊分別為和（注：兩直角邊長(zhǎng)均為整數(shù)）二、相信你的選擇（每小題3 分，共24 分）1下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）A 6，12， 13B3，4，7C 4， 7.5， 8.5D 8， 15， 162要登上某建筑物，靠墻有一架梯子，底端離建筑物5m，頂端離地面12m，則梯子的長(zhǎng)度為（）A 12mB 13mC 14mD 15m3直角三角形兩直角邊邊長(zhǎng)分別為6cm 和 8cm，則連接這兩條直角邊中點(diǎn)的線(xiàn)段長(zhǎng)為（）A 10cmB 3cmC 4cmD 5cm4若將直角三角形的兩直角邊同時(shí)擴(kuò)大2 倍，則斜邊擴(kuò)大為原來(lái)的（）A2 倍B3 倍C4 倍D5 倍5下列說(shuō)法中，不正確的是（

4、）A 三個(gè)角的度數(shù)之比為1 3 4 的三角形是直角三角形B三個(gè)角的度數(shù)之比為3 4 5 的三角形是直角三角形C三邊長(zhǎng)度之比為3 4 5 的三角形是直角三角形D三邊長(zhǎng)度之比為9 40 41 的三角形是直角三角形6三角形的三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足關(guān)系：(a+b)2 =c2+2 ab，則這個(gè)三角形是（）A 鈍角三角形B 直角三角形C銳角三角形D 等邊三角形7某直角三角形的周長(zhǎng)為A3B430，且一條直角邊為C 12D 135，則另一直角邊為（）8如果正方形ABCD的面積為29，則對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)度為（）2422A B CD 3939三、挑戰(zhàn)你的技能（共60 分）1（ 10 分）如圖4，你能計(jì)算出各直角三角形中未知邊的

5、長(zhǎng)嗎？2（ 10 分）如圖5 所示，有一條小路穿過(guò)長(zhǎng)方形的草地AE 100m，則這條小路的面積是多少?ABCD ，若AB 60m， BC 84m ，3（10 分）如圖 6，在 ABC 中， BAC 120 °， B 30°，AD AB，垂足為 A，CD 1cm，求 AB 的長(zhǎng)4（ 10 分）小芳家門(mén)前有一個(gè)花圃，呈三角形狀，小芳想知道該三角形是不是一個(gè)直角三角形，請(qǐng)問(wèn)她可以用什么辦法來(lái)作出判斷？你能幫她設(shè)計(jì)一種方案嗎？5（ 10 分）如圖 7，在 ABC 中， AB AC 25，點(diǎn) D 在 BC 上， AD 24， BD 7，試問(wèn) AD 平分 BAC 嗎？為什么？6（ 10

6、 分）如圖8 所示，四邊形求證： AC CD ABCD中，AB =1，BC=2， CD =2，AD =3，且AB BC四、拓廣探索（本題12 分）觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？32 4 5， 52 12 13， 7224 25，9240 41， 這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊(yùn)涵其中呢？（1）填空： 132+；（ 2）請(qǐng)寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（ 3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識(shí)，說(shuō)明你的結(jié)論的正確性參考答案：一、 1直角， a2 253 1084 175126 207 0.78 4，6二、 14 CBDA58 BBCA三、 1（ 1） x5 ；（2） x242240m 233cm4略5所以 AD 平分 BAC

7、 ，理由略6證明略四、（ 1） 84， 85（ 2）任意一個(gè)大于 1 的奇數(shù)的平方可以拆成兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，并且這兩個(gè)連續(xù)整數(shù)與原來(lái)的奇數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)（ 3）略八年級(jí)下冊(cè)第十八勾股定理水平測(cè)試一、試試你的身手（每小題3 分，共 24 分）1一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為1 2 3，則三角形是三角形；若這三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的三邊分別為 a、 b、 c（設(shè)最長(zhǎng)邊為c），則此三角形的三邊的關(guān)系是2已知等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為2，則直角邊長(zhǎng)為，若直角邊長(zhǎng)為 2，則斜邊長(zhǎng)為3在 RtABC 中， C 90°，若 AB 41， AC 9，則 BC； 若 AC 1.5，BC 2，則 AB4已知兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)

8、分別為11cm 和 60cm，當(dāng)?shù)谌龡l線(xiàn)段的長(zhǎng)為cm 時(shí)，這 3 條線(xiàn)段能組成一個(gè)直角三角形5如圖 1，將一根長(zhǎng)24 厘米的筷子， 置于底面直徑為6 厘米，高為8 厘米的圓柱形水杯中，則筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度至少為厘米6如圖 2， ACCE ， AD BE 13 ， BC 5， DE 7，那么 AC7等腰直角三角形有一邊長(zhǎng)為8cm，則底邊上的高是，面積是8如圖 3，一個(gè)機(jī)器人從A 點(diǎn)出發(fā)，拐了幾個(gè)直角的彎后到達(dá)B點(diǎn)位置，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)， 點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的直線(xiàn)距離是二、相信你的選擇（每小題3 分，共 24 分）1如圖 4，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225，289，則字母 A 所代表的正方形的

9、面積為（）A 4B 8C 16D 642小麗和小芳二人同時(shí)從公園去圖書(shū)館，都是每分鐘走50 米，小麗走直線(xiàn)用了10 分鐘，小芳先去家拿錢(qián)再去圖書(shū)館，小芳到家用了6 分鐘，從家到圖書(shū)館用了8 分鐘，小芳從公園到圖書(shū)館拐了個(gè)（設(shè)公園到小芳家及小芳家到圖書(shū)館都是直線(xiàn)） （）A 銳角B 直角C鈍角D 不能確定3一直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)是7cm，另一條直角邊與斜邊長(zhǎng)的和是49cm，則斜邊的長(zhǎng)（）A 18cmB 20cmC 24cmD 25cm4如圖 5，四邊形 ABCD 是正方形， AE 垂直于 BE，且 AE=3 ， BE=4，則陰影部分的面積是（）A16B 18C 19D 215在直角三角形中，斜

10、邊與較小直角邊的和、差分別為18、 8，則較長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為（）A20B16C12D86在 ABC 中，若 AB 15， AC 13，高 AD 12，則 ABC 的周長(zhǎng)是（）A42B 32C42 或 32D37 或 337如圖 6，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD 、EF 、GH 四條線(xiàn)段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線(xiàn)段是（）ACD、EF、GHB AB、 EF、 GHC AB、 CD、 GHD AB、 CD、EF8如圖 7，在 ABC 中， C 90°，D 為 BC 邊的中點(diǎn)， DE AB 于 E，則 AE2-BE2 等于（）AAC2BBD 2C BC2D DE2三、挑戰(zhàn)你

11、的技能（共58 分）1（ 11 分）一個(gè)三角形三條邊的比為5 12 13，且周長(zhǎng)為 60cm，求它的面積2（ 11 分）在數(shù)軸上作出表示29 的點(diǎn)3（ 12 分）如圖8，是一個(gè)四邊形的邊角料，東東通過(guò)測(cè)量，獲得了如下數(shù)據(jù)：AB 3cm，BC 12cm，CD 13cm，AD 4cm，東東由此認(rèn)為這個(gè)四邊形中A 恰好是直角， 你認(rèn)為東東的判斷正確嗎？如果你認(rèn)為他正確，請(qǐng)說(shuō)明其中的理由；如果你認(rèn)為他不正確，那你認(rèn)為需要什么條件，才可以判斷A 是直角？4（ 12 分）如圖9，一游泳池長(zhǎng)48 米，小方和小朱進(jìn)行游泳比賽，小方平均速度為秒，小朱為3.1 米 /秒但小朱一心想快，不看方向沿斜線(xiàn)游，而小方直游

12、，倆人到達(dá)終點(diǎn)的位置相距14 米按各人的平均速度計(jì)算，誰(shuí)先到達(dá)終點(diǎn)?3 米/5（ 12 分）如圖10（1）所示為一上面無(wú)蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開(kāi)展成平面圖，如圖10（ 2）所示已知展開(kāi)圖中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1求在該展開(kāi)圖中可畫(huà)出最長(zhǎng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度？這樣的線(xiàn)段可畫(huà)幾條？四、拓廣探索（本題14 分）已知：在Rt ABC 中， C 90°， A、 B、 C 的對(duì)邊分別為a、 b、 c，設(shè) ABC 的面積為 S，周長(zhǎng)為l （1）填表：三邊 a、 b、 ca bc3、 4、525、 12、1348、 15、176S（2）如果 a b cm，觀察上表猜想：l（3）證明（ 2）中的結(jié)論Sl(用含有

13、m 的代數(shù)式表示)參考答案：一、 1直角， a2b2c221，23 40， 2.5461 或 3 479146124或42 4，16或 3281057二、 14 DBDC58 CCBA三、 1 120cm 22圖略3不正確，可添加DBBC 或 DB5cm4小方先到達(dá)終點(diǎn)5最長(zhǎng)的線(xiàn)段長(zhǎng)為10 這樣的線(xiàn)段可畫(huà)4 條四、解：（ 1）從上往下依次填1 ， 1， 3；（2） Sm ；22（ 3）證明略l4Ww w.x kb 點(diǎn)擊勾股定理之特色題本文將在各地課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題中，涉及勾股定理知識(shí)內(nèi)容的特色創(chuàng)新題采擷幾例，供讀者學(xué)習(xí)鑒賞一. 清新扮靚的規(guī)律探究題例 1（成都市）如圖，如果以正方形ABCD

14、的對(duì)角線(xiàn)AC 為邊作第二個(gè)正方形ACEF ，再以對(duì)角線(xiàn)AE 為邊作第三個(gè)正方形AEGH ，如此下去， ，已知正方形ABCD 的面積 S1 為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為S2，S3 ， ， Sn （ n 為正整數(shù)），那么第 8 個(gè)正方形的面積 S8 _I【解析】：求解這類(lèi)題目的常見(jiàn)策略是：“從特殊到一般 ”即是先通過(guò)觀察幾個(gè)特殊的數(shù)式中的變數(shù)與不變數(shù)，得出一般規(guī)律，然后再利用其一般規(guī)律求解所要解決的問(wèn)題對(duì)于GEJ此題，由勾股定理、正方形的面積計(jì)算公式易求得：S12S222FDC1 1，( 2 )S3224S4(2 22)8HAB照此規(guī)律可知： S5 4216，新 課標(biāo)第 一網(wǎng)觀察數(shù) 1

15、、2、4、8、16 易知： 1 20 ,221 ,4 22 ,8 23,16 24 ，于是可知 Sn 2n 1因此， S828 127128二 . 考查閱讀理解能力的材料分析題例 2（臨安）閱讀下列題目的解題過(guò)程：已知 a、b、c 為ABC 的三邊， 且滿(mǎn)足 a 2 c2b2 c 2a4b 4 ，試判斷ABC 的形狀解：a 2 c2b2c 2a 4b 4( A)c2 (a 2b 2)a(2b2a)(2b2)B ()c2a 2b2(C)ABC是直角三角形問(wèn)：（ 1）上述解題過(guò)程， 從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)：（ 2）錯(cuò)誤的原因?yàn)椋海?3）本題正確的結(jié)論為：.；【解析】：材料閱讀題是近

16、年中考的熱點(diǎn)命題，其類(lèi)型多種多樣，本題屬于“判斷糾錯(cuò)型 ”題目集中考查了因式分解、勾股定理等知識(shí)在由a 2 c2b 2c 2a 4b 4 得到等式c2 (a2b2 )( a2b2 )( a2b2 ) 沒(méi)有錯(cuò)，錯(cuò)在將這個(gè)等式兩邊同除了一個(gè)可能為零的式子a2b2 若a2b20，則有(ab)(ab)0 ，從而得ab ，這時(shí)，ABC 為等腰三角形因此：（ 1）選C（ 2） 沒(méi)有考慮 a2 b2 0(3) ABC是直角三角形或等腰三角形三 . 滲透新課程理念的圖形拼接題例 3（長(zhǎng)春）如圖，在 RtABC 中， C = 90 °， AC = 4 ， BC = 3 在 Rt ABC 的外部拼接一個(gè)

17、合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形，如圖所示要求：在答題卡的兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出兩種與示例不同的拼接方法，并在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng) （請(qǐng)同學(xué)們先用鉛筆畫(huà)現(xiàn)草圖，確定后再用0.5 毫米的黑色簽字筆畫(huà)出正確的圖形）示例圖備用圖【解析】：要在 Rt ABC 的外部拼接一個(gè) 合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形， 關(guān)鍵是腰與底邊的確定；要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)，這需要用到勾股定理知識(shí)下面四種拼接方法可供參考四. 極具 “熱點(diǎn) ”的動(dòng)態(tài)探究題例 4（泉州） :如圖，一架長(zhǎng)4 米的梯子AB 斜靠在與地面OM 垂直的墻壁ON 上，梯子與地面的傾斜角為 60

18、 求 AO 與 BO 的長(zhǎng)；若梯子頂端A 沿 NO 下滑，同時(shí)底端B 沿 OM 向右滑行 . 如圖 2，設(shè) A 點(diǎn)下滑到C 點(diǎn)，B 點(diǎn)向右滑行到D 點(diǎn)，并且AC:BD=2:3 ，試計(jì)算梯子頂端A 沿 NO 下滑多少米 ?X k b1.c o m【解析】：對(duì)于沒(méi)有學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)的同學(xué)而言，求解此題有一定的難度但若是利用等邊三角形就可以推出的一個(gè)性質(zhì)： “在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30 ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 ”，結(jié)合勾股定理求解，還是容易解答的 Rt AOB 中 , O= 90 , =60 , OAB= 30 ，又 4 米， OB1 AB2 米 .2由勾股定理得：OAA

19、B2OB2422212 2 3（米）.設(shè) AC 2 x, BD3x, 在 Rt COD 中 ,OC232x, OD23x, CD4根據(jù)勾股定理 : OC 2OD 2CD 22242 232x2-3x 13 x2128 3x0 x0 13x128 30831216324 x13所以， AC=2x=13即梯子頂端 A 沿 NO 下滑了 16324 米.13勾股定理中的常見(jiàn)題型例析勾股定理是幾何計(jì)算中運(yùn)用最多的一個(gè)知識(shí)點(diǎn) 考查的主要方式是將其綜合到幾何應(yīng)用的解答題中，常見(jiàn)的題型有以下幾種：一、探究開(kāi)放題例 1 如圖 1，設(shè)四邊形ABCD 是邊長(zhǎng)為1 的正方形，以正方形ABCD 的對(duì)角線(xiàn)AC 為邊作第

20、二個(gè)正方形ACEF ，再以第二個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)AE 為邊作第三個(gè)正方形AEGH ，如此下去 （1）記正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 a1 1，依上述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次為a2 ， a3 ， a4 ， ， an ，求出 a2 ， a3 ， a4 的值（ 2）根據(jù)以上規(guī)律寫(xiě)出第n 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)an 的表達(dá)式分析：依次運(yùn)用勾股定理求出a2，a3， a4，再觀察、歸納出一般規(guī)律解： (1) 四邊形 ABCD 為正方形， AB=BC=CD=AD=1由勾股定理，得ACAB2BC22 ，同理， AE=2， EH= 22 即 a2=2，3 ，42 2a =2a =(2) a11 (2) 0 ， a22 (

21、2)1 ， a32 (2) 2 ， a4 22 ( 2)3， a( 2) n 1n1, n是自然數(shù) n點(diǎn)撥： 探究開(kāi)放題形式新穎、思考方向不確定，因此綜合性和邏輯性較強(qiáng)，它著力于考查觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，對(duì)提高同學(xué)們的思維品質(zhì)和解決問(wèn)題的能力具有十分重要的作用二、動(dòng)手操作題例 2 如圖 2，圖（）是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)分別為a 和 b，斜邊長(zhǎng)為 c圖（） 是以 c 為直角邊的等腰直角三角形請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形（）畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫(xiě)出它是什么圖形；（）用這個(gè)圖形證明勾股定理；（）假設(shè)圖（）中的直角三角形有苦干

22、個(gè)，你能運(yùn)用圖（）所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫(huà)出拼后的示意圖（無(wú)需證明）解：（ 1）所拼圖形圖 3 所示，它是一個(gè)直角梯形（ 2）由于這個(gè)梯形的兩底分別為a、b，腰為（ a+b），所以梯形的面積為1 (a b)( a b)1 (a b)2 又因22為這個(gè)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，所以梯形的面積又可表示為：1 ab1 ab1 c2222 1 (a b) 21 ab1 ab1 c2 a2b2c2 2222（ 3）所拼圖形如圖 4點(diǎn)撥：動(dòng)手操作題內(nèi)容豐富，解法靈活， 有利于考查解題者的動(dòng)手能力和創(chuàng)新設(shè)計(jì)的才能。本題通過(guò)巧妙構(gòu)圖，然后運(yùn)用面積之間的關(guān)系來(lái)驗(yàn)證勾股定

23、理。三、閱讀理解題例 3 已知 a，b，c 為 ABC 的三邊且滿(mǎn)足222244a c b c =a b，試判斷 ABC 的形狀小明同學(xué)是這樣解答的222244， c2a2b2a2b2a2b2解： a c b c =a b c2a2b2訂正： ABC 是直角三角形?橫線(xiàn)與問(wèn)號(hào)是老師給他的批注，老師還寫(xiě)了如下評(píng)語(yǔ)：“你的解題思路很清晰，但解題過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，相信你再思考一下，一定能寫(xiě)出完整的解題過(guò)程”請(qǐng)你幫助小明訂正此題，好嗎？分析：這類(lèi)閱讀題在展現(xiàn)問(wèn)題全貌的同時(shí)，在關(guān)鍵處留下疑問(wèn)點(diǎn)，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，以補(bǔ)充欠缺的部分， 這相當(dāng)于提示了整體思路， 而讓學(xué)生在整體理解的基礎(chǔ)上給予具體的補(bǔ)缺因此，

24、本題可作如下訂正：解： a2c2b2c2 =a4b4， c2a2b2a2b2a2b2 a2b2c2a2b20 ， a2b20 或 c2a2b2 ab 或 c2a2b2 ABC 是等腰三角形或直角三角形點(diǎn)撥：閱讀理解題它與高考中興起的信息遷移題有異曲同工之巧 解決的關(guān)鍵是抓住疑問(wèn)點(diǎn)，補(bǔ)全漏洞四、方案設(shè)計(jì)題例 4 給你一根長(zhǎng)為 30cm 的木棒，現(xiàn)要你截成三段，做一個(gè)直角三角形，怎樣截?。ㄔ试S有余料）？請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種方案分析：構(gòu)造直角三角形，可根據(jù)勾股定理的逆定理來(lái)解決解：方案一：分別截取 3cm，4cm， 5cm；方案二：分別截取 6cm， 8cm， 10cm；方案三：分別截取 5cm， 12cm

25、， 13cm點(diǎn)撥：本題首先依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)出方案， 然后再通過(guò)測(cè)量、 截取、加工等活動(dòng)方能完成既要思考，又要?jiǎng)邮肿寣W(xué)生在這個(gè)過(guò)程中，體會(huì)做數(shù)學(xué)的快樂(lè)五、實(shí)際應(yīng)用題例 5 如圖 5，三個(gè)正方形形狀的土地面積分別是74 英畝、 116 英畝、 370 英畝，三個(gè)正方形恰好圍著一個(gè)池塘現(xiàn)要將這560 英畝的土地拍賣(mài)，如果有人能計(jì)算出池塘的面積，則池塘不計(jì)入土地價(jià)錢(qián)白白奉送，英國(guó)數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個(gè)問(wèn)題，你能解決嗎？分析：巴爾教授解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)首先發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形的面積74、 116、 370 相當(dāng)于池塘的三條邊的平方，因而聯(lián)想到勾股定理，得74=52+72 ， 116=

26、42+102， 370=92+17 2于是作出圖 6，運(yùn)用勾股定理的逆定理，問(wèn)題就得以解決解： 74=52+72， AB 是兩直角邊分別為 5 和 7 的直角三角形的斜邊， 作出這個(gè)直角三角形，得 Rt ABE同理，作 Rt BCF，其中 BF=4，F(xiàn)C=10延長(zhǎng) AE、CF 交于 D，則 AD =9， CD =17，而 AC2=370=9 2+17 2=AD2+CD 2， ACD 是直角三角形， ADC=90°SABC SADC SAEB SBCF SEDFB=1 17 917 511044711222點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理和它的逆定理構(gòu)造新圖形，用構(gòu)造法解題的思想，有助于

27、提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力勾股定理中的易錯(cuò)題辨析一、審題不仔細(xì)，受定勢(shì)思維影響例1在 ABC中，A,B,C 的對(duì)邊分別為a, b, c，且( ab)( ab)c2 ，則（）（A）A 為直角（B）C 為直角（C）B 為直角（D）不是直角三角形錯(cuò)解：選（B）分析：因?yàn)槌Ｒ?jiàn)的直角三角形表示時(shí)，一般將直角標(biāo)注為C ，因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為C 就一定表示直角，加之對(duì)本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯(cuò)誤 .該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為a2b2c2 ，即 a2b2c2，因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷 .正解：a2b2c2 ，a2b2c2 .故選（ A）例2已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，求第三邊長(zhǎng).錯(cuò)解：第三邊

28、長(zhǎng)為3242255 .分析：因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說(shuō)法，即意味著兩直角邊為3 和 4時(shí)，斜邊長(zhǎng)為 5.但這一理解的前提是 3、4 為直角邊 .而本題中并未加以任何說(shuō)明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊 .正解：（1）當(dāng)兩直角邊為3 和 4 時(shí)，第三邊長(zhǎng)為3242255；（2）當(dāng)斜邊為 4，一直角邊為 3 時(shí)，第三邊長(zhǎng)為42327 .二、概念不明確，混淆勾股定理及其逆定理例 3下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)， 可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是 （）（A）1、2、3（B）32,42 ,52（C） 1, 2, 3（D） 3, 4, 5錯(cuò)解：選（B）分析： 未能徹底區(qū)分勾股定理及其及逆定理，

29、對(duì)概念的理解流于表面形式.判斷直角三角形時(shí)，應(yīng)將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行平方看是否滿(mǎn)足a2b2c2 的形式 .222正解：因?yàn)?23 ，故選（ C）例 4 在 B 港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60方向以每小時(shí) 8 海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15 海里的速度前進(jìn)， 2 小時(shí)后，甲船到 M 島，乙船到 P 島，兩島相距 34 海里，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？錯(cuò)解：甲船航行的距離為 BM= 82 16（海里），乙船航行的距離為 BP=15 230（海里） . 16230234 （海里）且MP=34（海里） MBP 為直角三角形， MBP 90 ，乙船是沿著南偏東 30 方向航行的

30、.分析：雖然最終判斷的結(jié)果也是對(duì)的， 但這解題過(guò)程中存在問(wèn)題 .勾股定理的使用前提是直角三角形， 而本題需對(duì)三角形做出判斷， 判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理 .其形式為“若a2b22，則C90錯(cuò)解的原因在于未能充分理解勾股c.定理及其逆定理的概念，導(dǎo)致錯(cuò)誤運(yùn)用 .正解：甲船航行的距離為 BM=8216（海里），乙船航行的距離為 BP=15230（海里） . 1623021156,34 21156， BM 2BP2MP2， MBP 為直角三角形，MBP90 ，乙船是沿著南偏東30 方向航行的 .靈活應(yīng)用勾股定理勾股定理在幾何計(jì)算或驗(yàn)證中，均有十分廣泛的應(yīng)用，請(qǐng)看以下幾例一計(jì)算問(wèn)題例 1一個(gè)零件如圖所

31、示，已知AC=3厘米AB=4米，求 CD 的長(zhǎng)解：在 RtABC 中根據(jù)勾股定理知：22222BC AC +AB =3 +4 =25厘米BD=12厘在 RtCBD中根據(jù)勾股定理知：CD2 BC2+BD 2=25+12 2=169CD 0 CD=13 厘米例 2如圖 在四邊形 ABCD 中，已知四條邊的比 AB:BC:CD:DA 2：2： 3： 1，且 B 90°，則 DAB 的度數(shù)分析：這道題涉及到角度的求解， 需要利用到勾股定理的逆定理 （如果三角形的三邊長(zhǎng) a,b,c 滿(mǎn)足 a2+b2 c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形）解：設(shè) DA=m （ m 0）則 AB 2mBC=2m CD = 3m在 Rt ABC 中，由 AB BC=2m知 BAC 45°，又由勾股定理得222222ACAB +BC =（2m） +（ 2m） =8mAC 2+AD 2=（ 8m） 2+ m2=9m 2CD 2=（3m） 2=9m2 AC2+AD2