行測立體折疊學(xué)習(xí)筆記.

1、圖形推理之立方體拆疊一、基礎(chǔ)知識（1）正方體性質(zhì)正方體共有 8 個頂點， 12 條邊， 6 個面。每個面有且有一個相對面，有 4 個相鄰面。每 3 個相鄰面有一個公共頂點，每 2 個相鄰面有一條公共邊。即每個頂點都必然為 3 個相鄰面共居，每條邊都必然為 2 個相鄰面共居。每個頂點有 3 條邊從該點出發(fā)。（2）拆開、疊起正方體的拆開是指正方體沿著邊剪開而使六個面由立體組合變?yōu)槠矫娼M合，從而形成一個由六個正方形組成的平面圖。疊起即將這個過程復(fù)原的操作。公務(wù)員考試中疊起的方向是從外向內(nèi)疊起，拆開的方式從外向內(nèi)平鋪（即立體視圖中的表面為外表面） 。由于拆開是沿著邊剪開，并且保證六個面始終連接（而不是

2、把六個面分別剪開，再隨意組合在一起的） ，所以不管如何拆疊，正方體還是那個正方體，所以，正方體的根本性質(zhì)不會改變，即：在立體圖和展開圖中相對面依舊是相對面，相鄰面依舊是相鄰面；每條邊所共居的兩個面不會改變；每個頂點共居的三個面不會改變；各面上圖案指向公共邊、公共頂點的方向，與公共邊、公共頂點的相對位置，與公共邊、公共頂點形成的角度，與其他面上圖案的關(guān)系不會改變；從每個頂點出發(fā)的三條邊不會改變。由于正方體有多種拆疊方式， 并且在拆開、 疊起的過程有可能會發(fā)生旋轉(zhuǎn)，所以有些表面現(xiàn)象可能會變化，即：立體圖的邊有可能被剪開成為 2 條邊，分開到 2 個正方形；頂點有可能被剪開分開到 2 個、 3 個正

3、方形；面的左右、上下位置可能會改變；面上圖案的方向可能會改變。但是這些變化是規(guī)律的改變，這就是做題的關(guān)鍵：被剪開的邊必然分布在它原本的 2 個相鄰面上，在疊起的過程中重合；被剪開的頂點必然分布在它原本的 2 個、 3 個相鄰面上，在疊起的過程中重合；- 1 -（立方體的疊起就是一個點與點、線與線重合的過程）由于立方體、平面圖都可以旋轉(zhuǎn)，所以上下、左右關(guān)系只是一種膚淺、錯誤的空間認(rèn)知方式，但無論如何剪開、如何旋轉(zhuǎn)，不可能改變的是面與面之間旋轉(zhuǎn)方向，即 3 個面，沿著面 1、面 2、面 3 劃箭頭的順時針、逆時針性質(zhì)不會改變。（兩個面很難判定是順逆時針， 而在立方體的一個視圖中只能看見 3 個面）

4、。面上圖案的旋轉(zhuǎn)是由于立方體的旋轉(zhuǎn)造成的，圖案本身不可能旋轉(zhuǎn)，面也不可能單獨旋轉(zhuǎn)，所以圖案和公共頂點、公共邊的關(guān)系，圖案和其他面上圖案的關(guān)系都不可能改變。 （這要在首先復(fù)原公共頂點、公共邊，或確定其他面的前提下來應(yīng)用）（3）視圖（考試所用）一個立體視圖可以看到正方形的 3 個面，包含上頂面、左側(cè)面、右側(cè)面。例如：1、任意三個非相對面都可以構(gòu)成1 個視圖；2、A、B、C 面內(nèi)不能有相對面；3、A、B、C 面共享 1 個公共頂點；4、沿著 A、B、C 三個面畫箭頭的順、逆時針性質(zhì)與平面圖一致（具體應(yīng)用下面說明）；5、從 4 可以推出， 3 個確定的面只能構(gòu)成3 種視圖，例如：（圖中 A-B-C 的

5、順序都是逆時針。從A、B 面考慮，它們在視圖中的- 2 -分布方式可以有 C(3，1)*C（2,1）=6 種方式，但是另外三種方式不可能和 C 面組成，只能和 C 面的相對面組成）6、從三個面組成的一個視圖可以旋轉(zhuǎn)得到另外兩個視圖（正方體是唯一且確定的，三個視圖是旋轉(zhuǎn)形成的不同視覺效果）。7、正方體不可能有2 個相同的視圖 （一個視圖的全部信息應(yīng)包括視圖所包含的3 個面、 3 個面在視圖中的位置、面上圖案的方向、視圖的1公共頂點、 3 條公共邊）。8、實際上，一個面就可以確定一個視圖 （一個面的全部信息應(yīng)包括面、面在視圖中的位置、 面上圖案的方向、 面上的 4 個點（4 條邊）的位置）。設(shè) A

6、 的對面為 D，B 的對面為 E，C 的對面?zhèn)€為 F，則A 可以和 BC，BF，EC，EF 分別組成 3 個視圖，計 12 個視圖。A 在上頂面可以和BC，BF，CE，EF 分別組成 1 個視圖，計 4 個視圖（ A 在左側(cè)面、右側(cè)面相同） 。A 面上圖案的方向是否會改變要根據(jù)具體圖案來定。A 面上的 4 個點（ 4 條邊）的位置在每個視圖中都不同。9、根據(jù)以上規(guī)律，可以得出，在解題中，判斷一個視圖是否可以有平面圖得到的方法為（按照從易到難的邏輯順序排列） ：（1）三個面是否可能構(gòu)成視圖三個面中不能有相對面；（2）三個面是否可以構(gòu)成指定視圖（面在視圖中的位置是否正確）根據(jù)時針法，沿著三個面畫箭

7、頭的順、逆時針性質(zhì)與平面圖一致。（3）面上圖案的方向是否錯誤面上圖案與公共頂點、 公共邊的關(guān)系， 面上圖案與和其他面上圖案的關(guān)系與平面圖一致（例如上例中，字母 A 的尖端始終指向 AB 面的公共邊，B 的上頂點始終指向 BC 面的公共邊， C 的開口始終指向 CA 面的公共邊， A 的尖端始終指向 C 的下端， C 的開口始終指向 B 的上端， B 的豎直線始終與 A 字母平行）。（4）點（邊）的位置是否正確由于點（邊）本身都長一樣，所以通過面上圖案和點（邊）的關(guān)系來判斷。- 3 -三個面的公共頂點的性質(zhì)在視圖和平面圖中應(yīng)該一致。兩面之間的公共邊的性質(zhì)在視圖和平面圖中應(yīng)該一致。即：公共邊為黑邊

8、的，仍為黑邊；公共頂點有 m 根對角線穿過的，仍有 m 根對角線。10、視圖中首先要確定的組成這個視圖的三個面，然后才是面上圖案的方向。在解題時，不要為擔(dān)心圖案的旋轉(zhuǎn)而牽絆住。二、解題策略總體思路為排除法，即找出選項中答案是否有不符合的部分。注意：下述方法按照解題從易到難的順序排列，同時，解題時必須遵守的思路，即必須先判斷是否出現(xiàn)相對面，而后使用時針法來判斷位置是否正確，進而確定構(gòu)成視圖的三個面。在確定面之后，利用圖案之間，圖案和公共頂點、公共邊的關(guān)系來判斷圖案是否錯誤。而描點法可以用來確定公共邊、公共頂點的，從而來判斷圖案是否正確，也可以作為殺手锏單獨使用（通常用于線條類或者圖案多有重復(fù)的題

9、目） 。根據(jù)基礎(chǔ)知識 -視圖 -9 的知識，按照以下方法來操作：（1）相對面排除法 -判斷三個面是否可能構(gòu)成視圖平面圖中的相對面變?yōu)橄噜徝?，則錯誤。1、相對面的判斷方法- 4 -以上 4 個平面圖中，陰影面在正方體中都是相對面。即： I 型圖，即兩個面在同 1 列或同 1 行，中間隔 1 個面，則兩個面相對（如果中間隔 2 個面，則為相鄰）。Z 型圖，即兩個面之間相隔 1 列，且劃線可以構(gòu)成 Z 字型，則兩個面相對。注意：左圖中的兩個黑面不是相對面，因為 Z 字明顯一長一短，應(yīng)該如右圖所示。2、相鄰面的判斷方法平面圖中相鄰的面必然相鄰，有公共頂點的面必然相鄰；在同1 列或同 1 行中間隔 2

10、個面的相鄰（它們的相對面在平面圖中相鄰的）。注意：立體圖中相鄰的面在平面圖中不一定相鄰，這是因為疊是一個重合的過程，而拆是一個剪開的過程?？偨Y(jié)起來就是：相對必然不相鄰，平面相鄰立體必相鄰，立體相鄰需分析。（2）時針法 -判斷三個面是否可以構(gòu)成該視圖沿著三個面畫箭頭，平面圖和立體圖的順、逆時針應(yīng)該一致。使用條件：1、三個面沒有相對面；2、平面圖中，三個面應(yīng)該至少形成兩對面相鄰（有公共邊或者公共頂點）。3、不適用于面上圖案發(fā)生旋轉(zhuǎn)的題目（注意：這里的不適用是指使用時針法無法判斷圖形是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即無法真正實現(xiàn)解題，但并不是說時針法就無法參與解題。在圖形十分簡單或者圖案出現(xiàn)重復(fù)的題目中，使用時針法可

11、以幫助確定構(gòu)成視圖的面，從而促進解題） 。例題解析：- 5 -利用相對面排除法， 可以排除選項 C，選項 A 中 1-4-6的順序為逆時針，和平面圖中不相同，故排除。選項 D 中 2-4-6 的順序為逆時針，和平面圖中不相同，故排除。選項 B 中，1-3-4 的順序為逆時針，和平面圖中相同，故選擇 B。注意：如果三個面無法構(gòu)成條件 2，則可以尋找其中一個面的相對面，它往往和另兩個面能夠構(gòu)成條件 2，而它和另兩個面畫箭頭的順、逆順序和原來的面相反。如果，相對面仍然無法構(gòu)成條件 2，則可以選擇將較遠(yuǎn)面翻轉(zhuǎn)到另兩個面旁邊，即將該面翻轉(zhuǎn)到自己的相對面的相對面（即平面圖中該面的相對面的其他相對面位置）

12、，前提是翻轉(zhuǎn)后的平面圖依舊能夠構(gòu)成立方體。（3）圖案關(guān)系法 -判斷面上的圖案是否正確立體圖中，指定面上圖案與公共頂點、公共邊的關(guān)系，面上圖案與和其他面上圖案的關(guān)系與平面圖一致。例題解析：相對面排除法：平面圖中，1 點面和 4 點面相對，故排除B。時針法：平面圖中， 1 點面 -3 點面 -2 點面為順時針，故 1 點面 -3 點面 -6 點面為逆時針， A 項符合。 4 點面 -5 點面 -6 點面為逆時針，故 1 點面 -5 點面 -6 點面為順時針，所以排除 C。2 點面 -3 點面 -4 點面為順時針， D- 6 -項符合。圖案關(guān)系法：平面圖中，2 點面、 3 點面、 4 點面相鄰，優(yōu)先

13、判斷D 項。發(fā)現(xiàn)平面圖中 2 點與 2 點面、 3 點面的公共邊平行，垂直于2 點面、 4 點面的公共邊，而D 中 2 點與 2 點面、 3 點面的公共邊垂直，平行于2 點面、 4 點面的公共邊，故排除D，答案為 A。（4）標(biāo)點法 -判斷公共頂點、公共邊是否正確立體圖中三個面的公共頂點，兩個面的公共邊的性質(zhì)應(yīng)該與平面圖中一致。立方體的疊起就是一個點與點、邊與邊復(fù)合的過程。 1 個點攜帶有且只有 3 個面， 1 條邊攜帶有且只有 2 個面，相對面不能共享點、 面。所以標(biāo)點法，就是要將平面圖中的各個點、邊找到自己的“下家” 。1、平面圖會出現(xiàn) 14 個點，部分點攜帶 3 個面（ L 型的三個面的公

14、共點），如圖中的 N 點， G 點。部分點攜帶 2 個面，如圖中的 C 點、 E 點、F 點、J 點、M 點、L 點。部分點攜帶 1 個面，如圖中的 A 點、B 點、D 點、H 點、I 點、K 點。2、3 面點即是它所攜帶的3 個面的公共頂點，如 N（1,2,3）、G（4,5,6）。3、2 面點會和 1 面點重合，成了2 個點原本分別攜帶的3 個面的公共頂點。如 A 點和 M 點重合（ 1,3,4），B 點和 L 點重合（ 1,4,5），C 點和K 點重合（ 1,2,5）D 點和 J 點重合（ 2,5,6），E 點和 I 點重合（ 2,3,6），F(xiàn)點和 H 點重合（ 3,4,6）。4、3 個

15、1 面點重合，成了3 個點原本分別攜帶的3 個面的公共頂點（圖中未出現(xiàn)此種情況）。5、隨著點的重合，邊也重合成為面的公共邊。如AN 和 MN 重合成為 1 和 3 的公共邊， AB 和 ML 重合成為 1 和 4 的公共邊，BC 和 LK 重合成為 1和 5的公共邊， CD 和 KJ重合成為 2和 5的公共邊， DE 和 JI重合成為 2 和 6 的公共邊， EF 和 IH 重合成為 3 和 6 的公共邊， FG 和 HG重合成為 4 和 6 的公共邊。（原本就攜帶兩個面的邊不變， CN(1，2),NE(2，3)，MF(3，4),LG(4，5),GJ(5,6)）。6、注意：邊是相互重合，而不能

16、生出新的邊。如B、L 重合，平面圖上通過 B、L 的邊有 AB,BC,LG, ML,LK, 共 5 條邊。 AB 和 ML 重合，成- 7 -為 1和 4公共邊，BC和LK 重合，成為 1和 5的公共邊， LG 是 4，5的公共邊，即從 B（L）點出發(fā)了 3 條邊，不存在 LC(因為有了 BC)，不存在 BG（因為有了 LG）,不存在 BK（因為有了 LK ）,不存在 LA（因為有了 BA）。根據(jù)以上的判斷，可以看出：選項 A由 3和 1或 4、5或 6組成，但是 3和 5是相對面，排除 5。1和 6 是相對面，排除。那么只有 3、4、6。平面圖中， 3-4-6 為順時針，立體圖中符合。 3-

17、4-6的公共頂點為 F（H），平面圖中 3 上的對角線沒有通過 F 點，而立體圖中通過了，所以為錯誤。 （另一種思路：先確定右側(cè)面為3，根據(jù)前面判斷的點重合情況，確定公共頂點為 A（M）,可得出頂面為4，正面為 1，由此得出 A 項不正確，如右上角圖。 ）選項 B 應(yīng)該有 3 和 2、5 或 6 組成，但是 3 和 5 相對，所以應(yīng)該為 3、2、6。3-2-1 為順時針，所以 3-2-6為逆時針， B 符合。 3、2、6 公共頂點為 E（ I），平面圖中 6 上的斜線沒有通過 I，所以 B 錯誤。（另一種思路：先確定頂面為 3，根據(jù)前面判斷的點重情況，確定公共頂點為 E（I ）,可得- 8 -

18、出正面為 2（CDEN ），右側(cè)面為 6（HIJG），由此得出 B 項不正確。如左下角圖）選項 C 由 2、5、6 組成。根據(jù)時針法， 4-5-6 為順時針，所以 2-5-6 為逆時針，則判斷，左側(cè)面為 5，右側(cè)面為 6。2、5、6 的公共頂點為 D（J），平面圖中， 5、6 兩個面的斜線都沒有穿過 J，C 符合。 5 上的 JK 應(yīng)為直角三角形的一條邊（或者說 J 點在 5 上應(yīng)該為直角三角形的直角點） ，但是立體圖中不符合，所以 C 錯誤。 ( 另一種思路：右側(cè)面和正面與平面圖形中的面和面對應(yīng)，分析發(fā)現(xiàn)向外無法折出 C 項所示的方位。如左上角圖 )選項 D 由 3、4、6 組成。平面圖中

19、3-4-6為順時針， D 符合。 3-4-6 的公共頂點為 F（H），各點、各邊均正確，故選擇 D。（右下角圖）公共頂點、公共邊的判斷方法：1、從易到難法。平面圖中構(gòu)成 L 字型的三個面上原本相互垂直的兩條邊會重合， 邊上的 2 個點會重合。 即圖中的 A 點和 M 點、F 點和 H 點重合， AN 和 MN 重合成為 1 和 3 的公共邊， FG 和 HG 重合成為 4 和 6 的公共邊。這些關(guān)系的確立為尋找公共邊、公共頂點打下基礎(chǔ)。2、 相互配合法。 公共頂點必然在公共邊上，公共邊必然從公共頂點出發(fā)。 1 個面必然和它的4 個非相對面都有公共邊。 1 個面上的 4 條邊都要有另一個面來分享

20、， 4 個點都要有另 2 個面來分享。 2 條邊重合則邊上的頂點分對重合。如A 點和 M 點重合，則 1,4 的公共邊必然分別從A點、M 點出發(fā)，而 AN（NM ）已經(jīng)是 1,3 的公共邊， MF 是 3,4的公共邊，則 1,4 的公共邊必然是AB、ML ，同時也推斷出B 點和 L 點重合。3、錯誤排除法。 1 個 2 面點和 1 個 1 面點重合。 3 個 1 面點重合。 1個點已經(jīng)找個 3 個面，必然不再和別的點重合。1 個邊已經(jīng)找到2 個面，必然不再和別的點重合。知識補充：（ 1）解題時要選擇特殊面來進行推理，如果所有面上都無特別的圖案來幫助判斷，可以選定一面，添上一個箭頭（或者在邊上畫箭頭） ，來人為加上一個圖案。前提是這個箭頭必須是唯一的，即在平面圖、立體圖中都可以確定的找到這個箭頭的起點。- 9 -（ 2）上述的方法，都可以應(yīng)用到非立方體的其他立體折疊中。即都遵循相對（或者不相鄰）必不相鄰，三個面畫箭頭順逆時針方向不變，圖案關(guān)系不改變等原則。描點法較為復(fù)雜，在多面體中難以應(yīng)用。在解題時要根據(jù)題目進行具體分析，雖不能直接硬搬立方體的規(guī)律，但是幾個基本原則的靈活運用可以有效促進解題。（3）正方體拆開可能情形1、最長列為 4 個面，另 2 個面上下組合（1）（2）（3）（4）（5）（6）2