等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷與證明(以及構(gòu)造數(shù)列)-2018年高考數(shù)學備考之百強校大題狂練.

1、2018屆高考數(shù)學大題狂練第一篇數(shù)列專題02等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷與證明（以及構(gòu)造數(shù)列）一、解答題1已知數(shù)列是等差數(shù)列，其首項為，且公差為（ ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列（ ）設(shè)，求數(shù)列的前項和，若【答案】（1）見解析；（ 2），又，數(shù)列是首項為4，公比為（ ）解：由（ 1）知4 的等比數(shù)列，2設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn ，a1 1，且對任意正整數(shù)n，點 ( an 1， Sn) 在直線 2x y 2 0 上 .(1) 求數(shù)列 an 的通項公式；(2) 是否存在實數(shù)，使得數(shù)列Sn為等差數(shù)列？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理nn2由 .【答案】（1） an12n 1（ 2） 2求出 2

2、, 經(jīng)檢驗 2 時 , 此數(shù)列的通項公式是關(guān)于n 的一次函數(shù) , 故滿足數(shù)列為等差數(shù)列, 從而得出結(jié)論 .試題解析：(1) 由題意，可得nn2a 1 S 20.當2時， 2 nn 1 20. naS，得 2an1 2an an 0，所以 ( n2).因為 a1 1， 2a2 a1 2，所以 a2 .所以 a 是首項為1，公比為的等比數(shù)列 .n所以數(shù)列 an 的通項公式為 an.(2)n2.由(1) 知， S若為等差數(shù)列，則1 ， 2 2 ， 3 3成等差數(shù)列，則 2 1SSSSS3，即 21，解得 2. 又 2 時， S 2n 2n 2，n顯然 2 n2 成等差數(shù)列，故存在實數(shù) 2，使得數(shù)列

3、Sn n 成等差數(shù)列 .3已知數(shù)列的前項和（ 為正整數(shù)）（ 1）求證：為等差數(shù)列；（ 2）求數(shù)列的前項和公式【答案】 (1) 見解析 (2)【解析】【試題分析】( I ) 利用, 可求得, 即證明了數(shù)列為等差數(shù)列.( II )由 ( I ) 求得的表達式 , 并利用錯位相減求和法求其前項和.所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列（方法二）當時，解得，設(shè)，則，當時，有代入得整理得所以即是以為首項，為公差的等差數(shù)列（ 2）由（ 1）得，依題意上式兩邊同乘以，得- 得，所以4設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，.（ 1）證明：為等比數(shù)列；（ 2）求 .【答案】 (1) 見解析；（ 2）.（ 1）證明：，則，是首項為2

4、，公比為 2 的等比數(shù)列 .（ 2）解：由（1）知，則.5已知數(shù)列an的 前 n 項 和 為 Sn ,滿 足 Sn2an 1 ( n N * ), 數(shù) 列 bn滿 足nbn 1n 1 bnn n 1 ( n N * ), 且 b11（ 1）證明數(shù)列bn為等差數(shù)列 , 并求數(shù)列an 和 bn 的通項公式 ;n（ 2）若 cn1n14 n1, 求數(shù)列 cn的前 n項和 T2 n ;32log2 an 32log2 an 1（ 3）若 dn anbn , 數(shù)列 dn的前 n項和為 Dn , 對任意的 nN * , 都有 Dn nSna , 求實數(shù) a 的取值范圍 .【答案】（1） an2n 1 ，

5、bnn2 ；（ 2）11；（ 3） a034n3代入可求。試題解析：（ 1）由 nbn 1n 1 bnn n 1 兩邊同除以 n n1 ，得 bn 1bn1 ，n 1nbbn從而數(shù)列n為首項b11d1 的等差數(shù)列，所以=n，n，公差n數(shù)列bn 的通項公式為 bnn2 當 n=1 時， S1 2a1 1=a1 ，所以 a1=1當 n2 時， Sn2an1 ， Sn -12an -11，兩式相減得 an2an 1 ，又 a1 =1，所以an2 ，an1從而數(shù)列an為首項 a1 =1，公比 q=2 的等比數(shù)列，從而數(shù)列an的通項公式為an 2n1 cn(4 n111(2)2n12n3n112n 12

6、n311111111T2 nc1c2c3c2n 1c2 n = 35 5 74n 1 4n 3 3 4n 3（ 3）由（ 1）得 danbn2n 1 ，nnDn1122322n 1 2n 2n2n 12Dn23n 1n 1n1222 32n 1 2n 1 2n2 ，所以，兩式相減得Dn12 222n1n2n12nn2n ,12因為 dn +1 dn2n 1n 1 12nn12n1 0 ，從而數(shù)列dn 為遞增數(shù)列所以當 n=1時，dn 取最小值 d1 =0 ，于是 a06已知等差數(shù)列 an 中，公差d>0，其前 n 項和為 Sn，且滿足： a2a3 45， a1 a4 14.(1) 求數(shù)列

7、 an 的通項公式；(2)Sn構(gòu)造一個新的數(shù)列 b 若 b 也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c；通過公式 b ncnnn(3)對于 (2) 中得到的數(shù)列 bn ，求 f ( n) bn( n N* ) 的最大值n 25bn 11【答案】 (1) a 4n 3 (2)n36【解析】試題分析：2nn1，故可根據(jù)基本不等式求最值f nn226n 25252 n 25 n 1n26n試題解析：(1) 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 a2 a3 a1 a4 14，由 a2 a3 14，解得 a25或 a29a2a345a39a35公差 d>0， a2 5， a39 d a3 a24， a1 a2d 1 an14 n14n3(2) Sn na1 n( n1) d n 2n( n 1) 2n2 n， bnSn2n2n ncnc數(shù)列 bn 是等差數(shù)列， 2b2 b1 b3，2·，解得1( c0 舍去 ) c2 bn2n2n2n