多元線性回歸模型公式

1、二、多元線性回歸模型在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中， 多個(gè)（多于兩個(gè)）要素之間也存在著相互影響、相互關(guān)聯(lián)的情況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。（一）多元線性回歸模型的建立假設(shè)某一因變量y 受 k 個(gè)自變量x1, x2 ,., xk 的影響，其n 組觀測(cè)值為（ ya , x1a , x2 a ,., xka ）， a 1,2,.,n 。那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為：ya01x1a2 x2a.k xkaa （）式中：0 , 1,.,k 為待定參數(shù)；a 為隨機(jī)變量。如果 b0 ,b1,., bk 分別為0 , 1 , 2 ., k 的擬合值，則回歸方程為?=b0b1 x1b2 x2.bk

2、 xk （）式中：b0 為常數(shù)；b1, b2 ,., bk 稱為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù) bi （ i1,2,., k ）的意義是，當(dāng)其他自變量x j （ ji ）都固定時(shí)，自變量 xi 每變化一個(gè)單位而使因變量y 平均改變的數(shù)值。根據(jù)最小二乘法原理，i （ i0,1,2,., k ）的估計(jì)值 bi （ i0,1,2,., k ）應(yīng)該使n2n2min （）Qya yayab0 b1 x1a b2 x2 a . bk xkaa1a 1有求極值的必要條件得Qn2yaya0b0a 1（）Qnyayaxja0( j1,2,., k)2bja 1將方程組（）式展開(kāi)整理后得：nnnnnb0(x1a )b1(

3、x2 a )b2.(xka )bkyaa 1a 1a1a 1nnnnn(x1a )b0(x12a )b1(x1a x2a )b2.(x1 a xka )bkx1a yaa1a1a 1a1a1（）nnnnn(x2a )b0(x1 a x2a )b1(x22a )b2.(x2a xka )bkx2 a yaa1a1a1a1a1nn.nnnxka2 )bk(xka )b0(x1a xka )b1(x2a xka )b2.(xka yaa1a1a1a1a1方程組（）式，被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣：則正規(guī)方程組（）式可以進(jìn)一步寫成矩陣形式AbB （ ）求解（）式可得：bA 1B(XTX)

4、1XTY （）如果引入記號(hào)：則正規(guī)方程組也可以寫成：L11b1L12b2.L1k bkL1yL21b1L22b2.L2k bkL2 y.（ ）Lk1b1Lk 2b2 . Lkkbk Lkyb0yb1 x1b2 x2.bk xk（二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)與一元線性回歸模型一樣，當(dāng)多元線性回歸模型建立以后，也需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。與前面的一元線性回歸分析一樣，因變量 y 的觀測(cè)值 y1, y2 ,., yn 之間的波動(dòng)或差異，是由兩個(gè)因素引起的， 一是由于自變量x1, x2 ,., xk 的取之不同，另一是受其他隨機(jī)因素的影響而引起的。 為了從 y 分開(kāi)來(lái)，就需要對(duì)回歸模型進(jìn)行方差分析，也就是將的離差平方和中把它們區(qū)y 的離差平方和 ST 或（Lyy）分解成兩個(gè)部分，即回歸平方和U與剩余平方和 Q：在多元線性回歸分析中， 回歸平方和表示的是所有k 個(gè)自變量對(duì)總影響，它可以按公式計(jì)算，而剩余平方和為y 的變差的以上幾個(gè)公式與一元線性回歸分析中的有關(guān)公式完全相似。 它們所代表的意義也相似，即回歸平方和越大，則剩余平方和 Q就越小，回歸模型的效果就越好。不過(guò)，在多元線性回歸分析中，各平方和的自由度略有不同，回歸平方和 U的