中學(xué)生物理競(jìng)賽系列練習(xí)試題圓周運(yùn)動(dòng)

1、中學(xué)生物理競(jìng)賽系列練習(xí)題第四章 圓周運(yùn)動(dòng) 萬(wàn)有引力定律1、如圖所示，賽車在水平賽道上做 900轉(zhuǎn)彎，其內(nèi)、外車道轉(zhuǎn)彎處的半徑分別 為ri、P2,車與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都是小。試問(wèn)：競(jìng)賽中車手應(yīng)選圖中的內(nèi)道 還是外道轉(zhuǎn)彎？在上述兩條轉(zhuǎn)彎路徑中， 車手在內(nèi)、外車道選擇中可能贏得的時(shí)間為多少?內(nèi)外解：對(duì)外車道，其走彎道所允許的最大車速為上，則m（V）2/r2= n mg,為 = (V2 V2) / 2a=Vm-2日g 2、2= Jb * g2 ,因此車先減速再加速，加速度為 a= m mg/ m= g,減速的路徑長(zhǎng)總時(shí)間為t2=t 減速 + t 圓弧 + t 加速=m2 +aI二 r2 V V2 -

2、八、 2Vr2“ 八、-+ 2 (2 分)=m - (2 )!(2 分)2V2ag2gJ同理，車走內(nèi)道的時(shí)間為ti=0m （2-），二 （4 分）g2 g又由于車在內(nèi)道和外道的直線路徑是相等的。車手應(yīng)該選擇走外道。時(shí)間差為:At=t i-t 2= （2-）七2二，（3 分）2g2、根據(jù)天文觀測(cè)，月球半徑為 R=1738km月球表面的重力加速度約為地球表面的重力加速度的1/6,月球表面在陽(yáng)光照射下的溫度可達(dá) 127C,此時(shí)水蒸氣分 子的平均速度達(dá)到v°=2000m/s。試分析月球表面沒(méi)有水的原因。（取地球表面的 重力加速度g=9.8m/s2）（要求至少用兩種方法說(shuō)明） 方法一：假定月球

3、表面有水，則這些水在 127c時(shí)達(dá)到的平均速度V0=2000m/s 必須小于月球表面的第一宇宙速度， 否則這些水將不會(huì)降落回月球表面， 導(dǎo)致月 球表面無(wú)水。取質(zhì)量為m的某水分子，因?yàn)镚Mm2=mv2/R, mg =GMrrR2,g =g/6 , 所以代入數(shù)據(jù)解得V1=1700m/s, V1<V0,即這些水分子會(huì)象衛(wèi)星一樣繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)而不落到月球表面，使月球表面無(wú)水。方法二：設(shè)vo=2000m/s為月球的第一宇宙速度，計(jì)算水分子繞月球的運(yùn)行半徑R,如果R>R,則月球表面無(wú)水。取質(zhì)量為m的某水分子，因?yàn)镚MmRi2=m%2/R2, mg=GMjm2, g 月=g/6,所以 R=vo2/g

4、 月=2.449 x 106m, R>R,即以 2000m/s 的速 度運(yùn)行的水分子不在月球表面，也即月球表面無(wú)水。方法三：假定月球表面有水，則這些水所受到的月球的引力必須足以提供水蒸氣 分子在月球表面所受到的向心力，即應(yīng)滿足：mg >GM/m,當(dāng)v=v0=2000m/s時(shí)， g月>Vo2/R=2.30m/s2,而現(xiàn)在月球表面的重力加速度僅為 g/6=1.63m/s 2,所以水 分子在月球表面所受的重力不足以提供 2000m/s所對(duì)應(yīng)的向心力，也即月球表面 無(wú)水。方法四：假定有水，則這些水所受到的月球的引力必須足以提供水蒸氣分子在月 球表面所受到的向心力，即應(yīng)滿足：mg &g

5、t;GM/rR?,即應(yīng)有g(shù)月R>v2而實(shí)際上：g 月 R=2.84 x 106m/s2, v02=4x 106n2/s 2,所以 Vo2>g月R即以 2000m/s 的速度運(yùn)行 的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面無(wú)水。3、半徑分別為一和2 （1：2=5: 1）的；兩金屬細(xì)齒輪互相吻合地裝配在一起， 如圖所示，它們的轉(zhuǎn)軸半徑均為。整個(gè)裝置放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)的方向平行于轉(zhuǎn)軸。兩轉(zhuǎn)軸通過(guò)金屬支架互相連通。當(dāng)兩齒輪互相接觸時(shí)， 量得兩齒輪邊緣之間的電阻為 R現(xiàn)將一具質(zhì)量為m的物體用輕繩繞在大齒輪的 軸上，忽略摩擦損耗，求懸掛物體在重力作用下勻速下落的速度。4、用恰好

6、足以擺脫太陽(yáng)引力場(chǎng)的速度，在離開(kāi)太陽(yáng)的徑向軌,機(jī)*道上，從地球發(fā)射一航天器，由時(shí)間控制以便航天器在木星后面一定距離穿越木星軌道。因航天器跟木星引力場(chǎng)有作用而偏轉(zhuǎn) 90°,即作用后的速度切于木星軌道（圓軌道）。在這作用中航天器單位質(zhì)量得到的能量是多少？（在作用時(shí)略去太陽(yáng)引力場(chǎng)，并假設(shè)持續(xù)時(shí)間與木星周期相比很?。╊}庫(kù)835、開(kāi)普勒從1909年至1919年發(fā)表了著名的開(kāi)普勒行星三定律：第一定律：所太陽(yáng)在這些橢圓的一個(gè)焦有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng), 點(diǎn)上。第二定律：太陽(yáng)和行星的聯(lián)線在相等的時(shí) 間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方

7、的比值都相等。實(shí)踐證明，開(kāi)普勒三定律也適用于人造地球衛(wèi)星或宇宙飛船。宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速 圓周運(yùn)動(dòng)，火星半徑為R,今設(shè)飛船在極短時(shí)間內(nèi)向外側(cè)噴氣，使飛船獲得一徑 向速度，其大小為原速度的ot倍。因a很小，所以飛船新軌道不會(huì)與火星表面交 會(huì)，如圖所示。飛船噴氣質(zhì)量可忽略不計(jì)，引力勢(shì)能表達(dá)式為-空巴。試求：r 飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度 h近和遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h遠(yuǎn)；（2）設(shè)飛船原來(lái)的運(yùn)動(dòng) 速度為vo,試計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T設(shè)火星和飛船的質(zhì)量分別為 M和m飛船沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，飛船在最近點(diǎn) 或最遠(yuǎn)點(diǎn)到火星中心的距離為r,飛船速度為v。因飛船噴氣前繞圓形軌道的面積速度為 grov。，等于噴

8、氣后飛船繞橢圓軌道1在D點(diǎn)的面積速度-rovDsine （D為圓軌道和橢圓軌道的父點(diǎn)），2由開(kāi)普勒第二定律，后者又等于飛船在近、遠(yuǎn)火星點(diǎn)的面積速度1rv,即:2 "v。=一 r°vD sin g=一 rv , 即 r0v。=rv (1) 2 分222由機(jī)械能守恒定律：°mv2-GMm =4“尹立飛)-GMm(2) 2分2r 2ro飛船沿原軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)：GMnm (3) 2分roro式中 ro =R+H,r =R+h (4) 2 分1 ，：,1 -:分（2）設(shè)橢圓半長(zhǎng)軸為a,則r近+r遠(yuǎn)=2a,即：a（7） 2分1 -: 2飛船噴氣前繞圓軌道運(yùn)行的周期為：To =包（

9、8） 2分vo設(shè)飛船噴氣后，繞橢圓軌道運(yùn)行的周期為 T,由開(kāi)普勒第三 定律得：_3_ ，一 .、,3(10) 4分1m2分從而解得：t=(k6、一半徑為R =1.00 m的水平光滑圓桌面，圓心為O,有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線 C,如圖預(yù)17-2 所示。一根不可伸長(zhǎng)的柔軟的細(xì)輕純，一端固定在封閉曲線上的某一點(diǎn)， 另一端系一質(zhì)量為m =7.5m102 kg的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個(gè)方向與純垂直、大小為V0 =4.0m/s的初速度。物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)純的張力為T°=2.0N時(shí)，繩即斷開(kāi)

10、，在繩斷開(kāi)前物塊始終在桌面上運(yùn)動(dòng).1 .問(wèn)純剛要斷開(kāi)時(shí)，繩的伸直部分的長(zhǎng)度為多少 ？2.若純剛 要斷開(kāi)時(shí)，桌面圓心O到純的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直 部分垂直，問(wèn)物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心O的水平距離為多少？已知桌面高度H =0.80m .物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰.取重力加速度大小為10 m/s2 .解：因桌面是光滑的，輕繩是不可伸長(zhǎng)的和柔軟的，且在斷開(kāi)前繩都是被拉 緊的，故在純斷開(kāi)前，物塊在沿桌面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其速度始終與純垂直，繩的 張力對(duì)物塊不做功，物塊速度的大小保持不變。設(shè)在純剛要斷開(kāi)時(shí)繩的伸直部分的長(zhǎng)度為X ,若此時(shí)物塊速度的大小為Vx ,則有 Vx =V

11、76;(1)純對(duì)物塊的拉力僅改變物塊速度的方向，是作用于物塊的向心力，故有22mvx mv0I。(2 X X2由此得*=嗎 (3)代入數(shù)據(jù)得x= 0.60m(4)2.設(shè)在純剛要斷開(kāi)時(shí)，物塊位于桌面上的 P點(diǎn)，BP是繩的伸直部分，物塊速度V0的方向如圖預(yù)解17-2所示.由題意可知，OB -LBP .因物塊離開(kāi)桌面時(shí)的速度仍為V0,物塊離開(kāi)桌面后便做初速度為Vo的平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為t,則有H =；gt2(5)(6)S| 二Vot由幾何關(guān)系，物塊落地地點(diǎn)與桌面圓心 O的水平距離s為解(5)、 ( 6)、s(8)物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程為代人數(shù)據(jù)得s=2.5m7、假設(shè)銀河系的物質(zhì)在宇宙中

12、呈對(duì)稱分布，其球心為銀心。距離銀心相等處的 銀河系質(zhì)量分布相同。又假定距銀心距離為r處的物質(zhì)受到銀河系的萬(wàn)有引力和 將以r為半徑的球面內(nèi)所有銀河系物質(zhì)集中于銀心時(shí)所產(chǎn)生的萬(wàn)有引力相同。已知地球到太陽(yáng)中心的距離為 R,太陽(yáng)到銀心的距離a=1.75 X 109R,太陽(yáng)繞銀心 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期T=2.4X1O8年。太陽(yáng)質(zhì)量為M,銀河系中發(fā)亮的物質(zhì)僅 分布在r01.5a的范圍內(nèi)。目前可能測(cè)得繞銀心運(yùn)動(dòng)的物體距銀心的距離不大于 6a,且在0&r&6a范圍內(nèi)，物體繞銀心運(yùn)動(dòng)的速率是一包量。按上述條件解答：(1)論證銀河系物質(zhì)能否均勻分布？(2)計(jì)算銀河系中發(fā)光物質(zhì)質(zhì)量最多有多少？(3)

13、計(jì)算整個(gè)銀河系物質(zhì)質(zhì)量至少有多少？(4)計(jì)算銀河系中不發(fā)光物質(zhì)(即暗物質(zhì))質(zhì)量至少是多少？(上述計(jì)算結(jié)果均用太陽(yáng)質(zhì)量 M表示)題庫(kù)p848、已知地球和火星都在同一平面上繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑凡為地球 軌道半徑凡的1.5倍.若要從地球表面向火星發(fā)射探測(cè)器，簡(jiǎn)單而又比較節(jié)省能 量的發(fā)射過(guò)程可分為兩步：在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足 夠的動(dòng)能，從而成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)行的人造行星(此時(shí)，地球?qū)μ綔y(cè)器的引 力很小，可以忽略不計(jì))；在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)， 在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原運(yùn)動(dòng)方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得 探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道

14、分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道上 運(yùn)動(dòng)，從而使探測(cè)器正好射到火星上，如圖 3甲所示.當(dāng)探測(cè)器脫離地球并沿地 球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)，經(jīng)觀測(cè)計(jì)算知火星與探測(cè)器與太 陽(yáng)所張角度為60°如圖3乙所示.問(wèn)應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上的火箭發(fā)動(dòng)已知地球半徑為機(jī)方能使探測(cè)器恰好落在火星表面（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日）R=6.4 x 106m 重力加速度g可取9.8m/s2。探測(cè)器在地球公園軌道上運(yùn)行的周期Td與地球公轉(zhuǎn)周期相同Td=Te=365d 火星公轉(zhuǎn)周期 T 市365v153=671d探測(cè)器的橢圓軌道上的運(yùn)行周期為Td' =365 1.253 =510d因此探測(cè)器從

15、燃火箭開(kāi)始至到達(dá)火星需時(shí)255d從點(diǎn)燃火箭發(fā)動(dòng)機(jī)前繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為d=co e=0.9860/d行0.5370/d 由于探測(cè)器運(yùn)行至火星需時(shí)255d,火星在此期間運(yùn)行的角度為m-Td' /2=1370 即探測(cè)器在橢圓軌道近日點(diǎn)發(fā)射時(shí)， 火星應(yīng)在其遠(yuǎn)日點(diǎn)的切點(diǎn)之前1370，亦即點(diǎn) 燃發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí),探測(cè)器與火星之間對(duì)太陽(yáng)的圓心角應(yīng)為 1800-137°=43°在某年3月1日零時(shí)，經(jīng)觀測(cè)計(jì)算知火星與探測(cè)器與太陽(yáng)所張角度為600 （火星在前探測(cè)器在后），為使其張角為430,必須等待二者在各自軌道中運(yùn)行至某個(gè)合適時(shí)日，設(shè)二者到達(dá)合適的位置，探測(cè)器又經(jīng)歷的天數(shù)為t,則 600-

16、43 0= dt- mt t=38d故點(diǎn)燃火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的時(shí)刻應(yīng)為當(dāng)年的 3月1日之后38天，即同年4月7日附加1、2006年2月10日，中國(guó)航天局將如圖所示的標(biāo)志確定為中 國(guó)月球探測(cè)工程形象標(biāo)志。它以中國(guó)書法的筆觸，抽象地勾勒 出一輪明月，一雙腳印踏在其上，象征著月球探測(cè)的終極夢(mèng)想。中國(guó)探月C 1_ E P我國(guó)的“嫦娥奔月”月球探測(cè)工程已經(jīng)啟動(dòng)，分“繞、落、回” 三個(gè)發(fā)展階段：在2007年前后發(fā)射一顆圍繞月球飛行的衛(wèi)星，在2012年前后發(fā)射一顆月球軟著陸器，在2017年前后發(fā)射一顆返 回式月球軟著陸器，進(jìn)行首次月球樣品自動(dòng)取樣并安全返回地球。設(shè)想著陸器完成了對(duì)月球表面的考察任務(wù)后，由月球表面回到

17、圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道艙， 如圖所示，為了安全，返回的著陸器與軌道艙對(duì)接時(shí)，必須具有相同的速度。設(shè) 著陸器質(zhì)量為 其月球表面的重力加速度為g,月球的半徑為R,軌道艙到月球 中心的距離為r,已知著陸器從月球表面返回軌道艙的過(guò)程中需要克服月球的引 力做功W =mgR1 -R)。不計(jì)月球表面大氣對(duì)著陸器的阻力和月球自轉(zhuǎn)的影響，r則著陸器至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙？2、科學(xué)家用天文望遠(yuǎn)鏡經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)，在宇宙中已發(fā)現(xiàn)中已發(fā)現(xiàn)了許多雙星系 統(tǒng)。雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距 離?，F(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量 都是M,兩者相距2L。它們正圍繞兩者連線的