二階導(dǎo)數(shù)意義

1、二階導(dǎo)數(shù)的意義二階導(dǎo)數(shù)就是對一階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)一次，意義如下：（1）斜線斜率變化的速度，表示的是一階導(dǎo)數(shù)的變化率（2）函數(shù)的凹凸性。（3）判斷極大值極小值。結(jié)合一階、二階導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的極值。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)大于零 時，為極小值點；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于零，而二階導(dǎo)數(shù)小于零時，為極大值點；當(dāng)一 階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)都等于零時，為駐點。、用二階導(dǎo)數(shù)判斷極大值或極小值定理設(shè) f（X）在 X。二階可導(dǎo)，且 f（X。） 0, f（X。） 0若f（X。）0 ,則f（X）在X。取得極大值；若f（X。）。，則f（x）在X。取得極小值.一、 .1 . o例 試問a為何值時，函數(shù)f（X） asinx xsin3x在

2、X 一處取得極33值？它是極大值還是極小值？求此極值.解 f (x) acosX cos3xa由假設(shè)知f （/）。，從而有- 132又當(dāng)a 2時，f(X)2sin x 3sin3x,且f(3),所以f(X)2sin xsin3x在x 處取 33,得極大值，且極大值f(R石.3例求函數(shù)f (x) x3 3x2 9x 5的極大值 與極小值.解 "*)在2,4上連續(xù)，可導(dǎo).令f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 0,得x 1和x 3,思考： f(x)在x 1取得極大還是極小值？在x 3取得極大還是極小值?f '(x) 6x 6-1代入二階導(dǎo)數(shù)表達式為-12, f(x

3、)在x 1取得極大值3代入二階導(dǎo)數(shù)表達式12,在x 3取得極小值三、函數(shù)圖像凹凸定理若f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，則曲線y f(x)在(a,b)內(nèi)的圖像是凹曲線的充要條件是f (x)0 , x (a,b).曲線y f(x)在(a, b)內(nèi)的圖像是凸曲線的充要條件是f (x)0, x (a,b)。幾何的直觀解釋：如果如果一個函數(shù)f(x)在某個區(qū)間I上有f''(x) 0包成立,那么在區(qū)間I上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函數(shù) 圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。1 .曲線的凸性對函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值進行了討論，使我們知道了函數(shù)變化的大

4、致情況.但這還不夠，因為同屬單增的兩個可導(dǎo)函數(shù)的圖形， 雖然從左到右曲線都在上升，但它們的彎曲方向卻可以不同.如圖11中的曲線為向下凸,而圖12中的曲線為向上凸.y+f(Xi) f(X2) f(Xi X2)2 I 2)定義4.5.1設(shè)y f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若曲線yf(x)位于其每點處切線的上方，則稱它為在(a,b)內(nèi)下凸(或上凹)；若曲線y f(x)位于其每點處切線的下方，則稱它在(a,b)內(nèi)上凸(或下凹).相應(yīng)地，也稱函數(shù)y f (x)分別為(a,b)內(nèi) 的:E凸函數(shù)和上凸函數(shù)(通常把下凸函數(shù)稱為凸函數(shù)).從圖1 1和圖12明顯看出，下凸曲線的斜率tan f (x)(其中為切 線

5、的傾角)隨著x的增大而增大，即f (x)為單增函數(shù)；上凸曲線斜率f (x)隨著x的增大而減小，也就是說，f (x)為單減函數(shù).但f (x)的單調(diào)性可由二階導(dǎo)數(shù)f (x)來判定，因此有下述定理.定理4.5.1若f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)， 則曲線y f(x)在(a,b)內(nèi)下凸(凹函數(shù))的充 要條件是f (x)0 x (a,b).例1討論高斯曲線2.、e x的凸性.22(2x2 1)e x .所以當(dāng)2x21.、1 _或x 時y 0 ;22當(dāng)2x21i 一 .0 ,即當(dāng)1x T時y 0.2. 2因此在區(qū)間1,111, 一，京與應(yīng),)內(nèi)曲線下凸；在區(qū)后N內(nèi)曲線上凸.四川高考數(shù)學(xué)2006理22壓軸題22,已知函數(shù)f (x) xa 1nx，證明f(x)的導(dǎo)函數(shù)，(x)對于任意兩個 不相等的正數(shù) xi, x2,當(dāng)a 0時，有f(Xi) f(X2)f(xix222證法一：由 f(x) X a1nx xf(Xi) f(x2)i / 22二(XIX22L)X1x2a(ln x1In x2)212=2(xiX22)XiX2X1X2alnf(x殳）XiX2、2X1X2Xi X2 aln2比較大小，會算嗎?二