二項式定理習題精選精講

1、基本內容一、二項式定理(a b)n C0an C；an 1b1C：an rbrC：bn(n N )這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做(a3”的展開式1.項數規(guī)律：展開式共有n+1個項2,二項式系數規(guī)律：C0、C；、C：、3.指數規(guī)律：(1)各項的次數和均為n;(2)二項和白第一項a的次數由n逐次降到0,第二項b的次數由0 逐次升到n.特別J地：1、把b用-b代替2、令 a=1, b=x3、令 a=1, b=1(公式為n個(a+b)乘積的結果，利用計數原理分析所得結果，掌握遞推法)二、楊輝三角：表中的每一個數等于它肩上的兩數的和rn 1r 1nr n1、每行數字左右對稱，由1

2、開始逐漸變大，然后變小，回到12、第n行的數字個數為n個。3、第n行數字和為2n 1。4、每個數字等于上一行的左右兩個數字之和。 可用此性質寫出整個帕斯卡三角形。112C3Cn 1 Cn223C4Cn 1Cn1 15、斜行數字之和 1+2 + 3+ .+ Cn1= 0 即 C1 C22 21+3 + 6+ -+ Cn1 =Cn 即 C2 C31+4+10+白飛4r rrrr 1。Cr 1 G 2 。1 C第三數為 1x(n-1) Xn-2) /2,6、第n行的第1個數為1,第二個數為1x(n-1), 第四個數為1x(n-1) x(n-2) /2 x(n-3) /3依此類推 三、二項式展開的通項

3、(第r+1項)Tr 1 C；anrbr四、二項式系數性質二項式系數的函數觀點：從函數角度看,rCn 可看成是以r為自變量的函數f(r),其定義域是:圖像：孤立的點0,1,2,nf (r) Cn定義域0,1,2, ,n1 .對稱性Cm Cn m在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等。2 .增減性與最大值當K<U 時，二項式系數是逐漸增大的，由對稱性知它的后半部是逐漸減小的,2且在中間取得最大值。n 1 口當n是偶數時，中間的一項第 2 1項，C2 取得最大時n -1n 1口 u當n是奇數時，中間的兩項第 一2 1項和第一2 1項，Cn2 、Cn2 相等，且同時取得最大值

4、。n 1 n 1 n 1n 1 n 1 n 1(當n為奇數時，(a b)n的展開式的中間項是C；a丁b三和C；a丁b二；n n n當n為偶數時，(a b)n的展開式的中間項是C商摟。)3 .各二項式系數和2n co cn c； cn常見題型及解法一、求二項展開式n ”1. (a b)例1 .求(3荻型的展開式二)4的展開式;，x解：原式=(3X1)4=(3X 1)2X1041二F©4(3x)C4(3x)2C4(3X)C4(3X)C4254x2 12x 1)154 x= 4(81x4 84x3 x2 12=81x84 x 一x(直接展開也可以，但稍顯麻煩)小結: 的這種 2.'

5、例2.這類題目一般為容易題目，高考一般不會考到，但是題目解決過程中 “先化簡在展開”的思想在高考題目中會有體現的。(a b)n”型的展開式求(3方 ；)4的展開式；x分析：解決此題，只需要把(3、不 ：)4改寫成3右(4)4的形式然后按照二 xx項展開式的格式展開即可。本題主要考察了學生的“問題轉化”能力。3 .二項式展開式的“逆用”例3.計算 1 3C1n 9C： 27C3 . ( 1)n3ncn；解：原式二C： C：( 3)1 C：( 3)2 C：( 3)3 . C：( 3)n (1 3)n ( 2)n小結：公式的變形應用，正逆應用，有利于深刻理解數學公式，把握公式本質。例1計算并求值 1

6、 20； 4C2 L 2nC：(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)解：(2)原式C0(x 15 c5(x 4 C2(x 1fC3(x 1f c4(x 1) 0 c5(x 1) 1f 1x5 1例3 若 n N，(亞 1)n 五% b1,(an,bn Z)，則bn的值(A )A 一定為奇數B與n的奇偶性相反C 一定為偶數D與n的奇偶性相同解:“4 b (1 V2)n C * c2(V2)2C3曲3 LCn(V2)nbn CO *2)2 C：(V2)4 L 奇 偶偶所以bn為奇數故選(A) 思考能用特殊值法嗎？二、通項公式的應用1 .確定二項式中的

7、有關元素例4.已知（a 白的展開式中x3的系數為9 ,常數a的值為x 24解：Tri C；（a）9r（臼, C9（ 1）r 2； a9r x” x : 2令 3r 9 3,即 r 8 2依題意，得c8 （ 1）8 2 4 a982,解得 a 142 .確定二項展開式的常數項、有理項（常數項即X0項.有理項即整數次募項） 1、求常數項例5./5）10展開式中的常數項是解:Tr1 C；o(. X)10r( 31 )r3 X人 5令5 r 0 ,即 r6。6所以常數項是(1)6C1605卻(1)rC；0 X 62102、例求有理項10.求（石）10的展開式中有理項共有3 X項;4rr10 r /1、

8、r r r 10 -3"斛：Tr 1。(“)(板)C10( 1) X當r 0,3,6,9時，所對應的項是有理項。故展開式中有理項有4項。當一個代數式各個字母的指數都是整數時，那么這個代數式是有理式;當一個代數式中各個字母的指數不都是整數（或說是不可約分數）時, 那么這個代數式是無理式。3.求單一二項式指定哥的系數例6. （03全國）（X2工）9展開式中X9的系數是2x解：1 C；葭2）91令 18 3x 9,則 r 3 1 321C9（ 2）3%練習：試判斷在1 r _ r 18 2r 1 r 1 1 r _ r z 丁)一 C9X (二)()- C9( 2x 52 X 51 r 1

9、8 3x2)X3,從而可以得到x9的系數為:填212練習(i)：試判斷在x + 的展開式中有 無常數項？如果有，余曲x常數項；如果沒有，說明理由.(2)由(，3x V2)100展開式所得的x的 多項式中，系數為有理數的共有多少項？(t7 7 共 17 項)三、求幾個二項式的和(積)的展開式中的條件項的系數例7. (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展開式中，X2的系數等于解：x2的系數是四個二項展開式中4個含x2的，則有C0( 1)0 c3( 1)1cj( 1)2c；( 1)3(C0c3 c2 c/)20例8. (02全國)(x2 1)(x 2)7的展開式中，x

10、3項的系數是解：在展開式中，x3的來源有：第一個因式中取出x2,則第二個因式必出x,其系數為C7( 2)6；第一個因式中取出1,則第二個因式中必出x3,其系數為C7( 2) x3的系數應為：c7( 2)6 c7( 2)4 1008,填 1008。練習、：求例6:求(Jx1f(2x 仔的展開式中x6項的系四、利用二項式定理的性質解題1.求中間項例9.求(4)10的展開式的中間項； x解：Tr1 口。(a)10(套)，展開式的中間項為C：°(4)5()55即： 252x6。2.求系數最大或最小項注意區(qū)別二項式系數與項的系數的概念：r二項式系數為 Cn ；項的系數為：二項式系數與數字系數的

11、積(1)特殊的系數最大或最小問題例11. (00上海)在二項式(x 1)11的展開式中，系數最小的項的系數是 ；解：Tr1 Cx11 r( 1)r要使項的系數最小，則r必為奇數，且使C；1為最大，由此得r 5, 從而可知最小項的系數為C：( 1)5462(2) 一般的系數最大或最小問題例12.求(17 4)8展開式中系數最大的項；24 x解：記第r項系數為設第k項系數最大，則有又T.k 1C8 .2k 1C8C81,2r1那么有,2 k 18!k 2C8 .2c8.28!2(k 1)!.(9 K)! (K 2)!.(10 K)!(K8!1)!.(9 K)!2K 1 2K8!K!(8 K)!例1

12、3.在(x y)7的展開式中，系數絕對值最大項是解：求系數絕對最大問題都可以將" (a b)n"型轉化為"(a b)n”型 來處理，故此答案為第4項C；x3y4,和第5項 C；x2y 系數最大的項為第3項T3 7x和第4項T4。練習、若C19與C；1W時有最大值，m (4 或 5)五、利用“賦值法”求部分項系數，二項式系數和幾個結論：1、a=b=1 , C；c；c：C： 2n2、0a=1、b=-1 , Qy n4.求證：C0 2Cn 3C2 .C：C2C：2n-12n2n 1nC：2n 1倒序相加求和法例10 求證C； 2C： 3C； L分析：本題的左邊是一個數列

13、但不能直接求和為c° c；,c； c； 1 C： c；r由此分析求解解：設 Sn0 C； C； 2c； 3C3L (n 1)C1 nCnns nC0 (n 1)cn (n 2)C2on12sn(C；C；C2c；1 c；)2n2n 114.若(2x3)則(a。 解： (2xa0a1xa2 a4 )3)4a02a2x(a134a3x a4x )a3)2的值為令 x 1 ,有(2 <3)2axa2x4令 x 1 ,有(2 V3)a； a;4 (a；3 a3xa?a?4adxa3 a,，a,) (a a3)a2 a4) (a1 a3)故原式= (a; a; a2 a3 a4).(a;=

14、(23)4.( 2-,3)4=(1)4 11, 1,0在用“賦值法”求值時，要找準待求代數式與已知條件的聯系，一般而言: 特殊值在解題過程中考慮的比較多。例 15.設(2x 1)6 a6x6 a5x5 . ax aQ,則 a0 ai a?.%；分析：解題過程分兩步走；第二1定所給絕對值符號內的數的符號；第二步是用賦值法求的化簡后的代數式的值。解：Tri C6(2x)6 r (1)a。aia?.a6a。aa?a3a4a§a6= (a° a? a4 a6) (a1 a3 a5)=0練習(2x2 1)n的展開式的各項系數和為 12 n2n2(n 1)解：設(2x1) a0xa1x

15、an展開式各項系數和為a。司a2an上式是恒等式，所以當且僅當x=1時，(2-1) n= a0 al a 4.a0 a a2an=(2-1 ) n=1注意：求展開式中各項系數和常用賦值法：令二項式中的字母為14.已知(1 2x)7a0 a1x a2x2 La7x7貝 1 a1 a2 L a7 a1 a3 a5 a7a0 a2 a4 a6(-2-10941093)六、利用二項式定理求近似值例16.求0.9986的近似值，使誤差小于0.001；分析：因為0.9986=(1 0.002)6,故可以用二項式定理展開計算。解：0.9986=(1 0.002)6=1 6.( 0.002)1 15.( 0.

16、002)2 . ( 0.002)6 222T3 C6.( 0.002)2 15 ( 0.002)2 0.00006 0.001,且第3項以后的絕對值都小于0.001, 從第3項起，以后的項都可以忽略不計。0.9986=(1 0.002)6 1 6 ( 0.002) = 1 0.012 0.988小結：由(1 x)n 1 C1nx C2x2 . C：xn，當x的絕對值與1相比很小且n很 大時，x2,x3,.xn等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內可以忽略不 計，因此可以用近似計算公式：(1 x)n 1 nx,在使用這個公式時，要注意 按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍，若精確度要求較高， 則可以使用更精確的公式：(1 x)n 1 nx nUx2。2利用二項式定理求近似值在近幾年的高考沒有出現題目，但是按照新課標要求，對高中學生的計算能力是有一定的要求，其中比較重要的一個能力就 是估算能力。所以有必要掌握利用二項式定理來求近似值。七、利用二項式定理證明整除問題例17.求證：5151 1能被7整除。證明：5151 151=(49 2)1051150