系統(tǒng)頻率特性

1、第三章 系統(tǒng)頻率特性系統(tǒng)的時域分析是分析系統(tǒng)的直接方法，比較直觀，但離開計算機仿真，分析高階系統(tǒng)是困難的。系統(tǒng)頻域分析是工程廣為應(yīng)用的系統(tǒng)分析和綜合的間接方法。頻率分析不僅可以了解系統(tǒng)頻率特性，如截止頻率、諧振頻率等，而且可以間接了解系統(tǒng)時域特性，如快速性，穩(wěn)定性等，為分析和設(shè)計系統(tǒng)提供更簡便更可靠的方法。本章首先闡明頻率響應(yīng)的特點，給出計算頻率響應(yīng)的方法，接著介紹Nyquist圖和Bode圖的繪制方法、系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度及系統(tǒng)時域性能指標計算。3.1 頻率響應(yīng)和頻率特性 一般概念頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。考慮傳遞函數(shù)為G(s)的線性系統(tǒng)，若輸入正弦信號 (3.1-1)根據(jù)微分方程解的

2、理論，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為與輸入信號同頻率的正弦信號，只是其幅值和相位發(fā)生了變化。輸出幅值正比于輸入的幅值，而且是輸入正弦頻率的函數(shù)。輸出的相位與無關(guān)，只與輸入信號產(chǎn)生一個相位差，且也是輸入信號頻率的函數(shù)。即線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為 (3.1-2)由此可知，輸出信號與輸入信號的幅值比是的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的幅頻特性，記為。輸出信號與輸入信號相位差也是的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的相頻特性，記為。幅頻特性： (3.1-3)相頻特性： (3.1-4)頻率特性是指系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對頻率的關(guān)系特性，可表示為： (3.1-5)頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式。任何線性連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率特性都可由系統(tǒng)

3、傳遞函數(shù)中的s以代替而求得。有三種表示方法： (3.1-6) (3.1-7) (3.1-8)式中，實頻特性：虛頻特性：一般在分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響時，頻域分析比時域分析要容易些。根據(jù)頻率特性，可以較方便地判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度，并可通過頻率特性選擇系統(tǒng)參數(shù)或?qū)ο到y(tǒng)進行校正，使系統(tǒng)性能達到預(yù)期的性能指標。同時，由頻率特性易于選擇系統(tǒng)工作頻率范圍，或根據(jù)工作頻率要求，設(shè)計具有合適的頻率特性的系統(tǒng)。頻率特性物理意義明確并且可以用實驗的方法測定出來。控制系統(tǒng)的頻率特性與其動態(tài)特性和靜態(tài)性能之間存在著定性和定量的關(guān)系，因此，可以利用圖表、曲線和經(jīng)驗公式作為輔助工具來分析和設(shè)計系統(tǒng)。

4、 頻率響應(yīng)的計算一、連續(xù)時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的計算 (3.1-9)則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以由： (3.1-10)直接求出。 又設(shè)已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型為： （3.1-11）則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以由下式直接求出： (3.1-12)二、離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的計算若離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為(F,G,C,D)，則此系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為： (3.1-13)如離散系統(tǒng)以傳遞函數(shù)模型表示，將代入，則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為： (3.2-14)式中，T為采樣周期。 應(yīng)注意，離散時間系統(tǒng)的采樣頻率，而系統(tǒng)的頻率范圍應(yīng)在之間。三、頻率響應(yīng)計算函數(shù)MATLAB控制工具箱中，函數(shù)FREQRESP用于計算LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它既適用于連續(xù)

5、時間系統(tǒng)，也適用于離散時間系統(tǒng)；既適用于SISO系統(tǒng)，也適用于MIMO系統(tǒng)。函數(shù)調(diào)用格式為：其中，sys為系統(tǒng)模型；為指定的實頻率向量，單位為rad/s; 返回值H是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。它是一個三維數(shù)組。例如，SISO系統(tǒng)，H(1,1,5)表示頻率點所對應(yīng)響應(yīng)值；對于MIMO系統(tǒng)，H(1,2,5)表示第1個輸出和第2個輸入之間在頻率點的響應(yīng)值。頻率響應(yīng)H為復(fù)變量。為了說明函數(shù)FREQRESP所采用的計算方法，下面程序用兩種方法計算一個離散的頻率響應(yīng)：1.采用變換；2.直接用函數(shù)FREQRESP。例3-1已知離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，采樣周期，試計算它的頻率響應(yīng)并繪制其幅頻圖和相頻圖,amp301.m。

6、圖3-1 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.2 頻率特性圖示法在經(jīng)典控制論中，常用圖示法來描述系統(tǒng)的頻率特性，它們是：（1）幅相頻特性Nyquist圖，由表示極坐標上的的幅值和相角關(guān)系。（2）對數(shù)幅相特性Bode圖，它由兩個圖組成：對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖?？v坐標分別是：幅值，以表示；相角，以度表示。橫坐標為頻率，采用對數(shù)分度。（3）對數(shù)幅相特性Nichols圖，它是以為參變量來表示對數(shù)幅值和相角關(guān)系圖。MATLAB控制工具箱中，有專用的函數(shù)可方便地實現(xiàn)這三個圖形的繪制。 Nyfquist圖的繪制頻率特性是頻率的復(fù)變函數(shù)，可以在復(fù)平面上用一個矢量來表示。該矢量的幅值，相角。當頻率從變化時，矢端的軌跡即為

7、頻率特性。因此，把頻率特性在復(fù)平面上用極坐標表示的幾何圖形，稱為頻率特性的極坐標圖，或稱為Nyquist圖。Nyquist圖不便于分析頻率特性中某個環(huán)節(jié)對頻率特性的影響。MATLAB控制工具箱中有繪制Nyquist圖的函數(shù)NYQUIST，調(diào)用格式為：其中，為系統(tǒng)模型；頻率向量；為頻率響應(yīng)實部；頻率響應(yīng)虛部。MATLAB中，頻率范圍可由兩個函數(shù)給定：產(chǎn)生頻率在和之間個對數(shù)分布頻率點；產(chǎn)生頻率在和之間個線性分布的頻率點；N可以缺省。函數(shù)NYQUIST用于計算LTI系統(tǒng)的Nyquist頻率響應(yīng)。調(diào)用時，若不包含左邊輸出變量，函數(shù)NYQUIST繪制系統(tǒng)的Nyquist圖；調(diào)用時，若包含左邊輸出變量，則

8、不繪圖，只輸出變量的向量，這常用于分析系統(tǒng)頻率特性。同時，MATLAB控制工具箱中還有繪制Nichols圖的函數(shù)NICHOLS，其調(diào)用格式為：函數(shù)nichols(sys)用來計算LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)并繪制Nichols圖，分析系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)特性。例3-2繪制系統(tǒng)的Nyquist圖和Nichols圖，amp302.m。圖3-2 Nyquist圖 由圖3.2可見，該系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist曲線不包圍點，故閉環(huán)是穩(wěn)定的。 Bode圖的繪制Bode圖是由兩幅圖組成，分別稱為對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性。它在頻率響應(yīng)法中應(yīng)用最為廣泛。它的橫坐標是頻率，對數(shù)幅頻特性的縱坐標是幅值，單位dB；對數(shù)相頻特性的

9、縱坐標為，單位deg。Bode圖便于對系統(tǒng)中不同環(huán)節(jié)的作用以及整個系統(tǒng)進行分析。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中，用于Bode圖繪制的函數(shù)是BODE。函數(shù)BODE用于計算線性時不變系統(tǒng)（LTI）的頻率響應(yīng)、幅值和相位，繪制Bode圖，調(diào)用方式為：其中，為系統(tǒng)模型；為幅值；為相位；頻率范圍。函數(shù)BODE可用于任意LTI系統(tǒng)，即單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng) ，連續(xù)時間系統(tǒng)，離散時間系統(tǒng)。用函數(shù)繪制系統(tǒng)的Bode圖時，頻率范圍將根據(jù)系統(tǒng)零極點自動確定。是根據(jù)給定的頻率范圍繪制系統(tǒng)的頻率特性曲線。是根據(jù)給定的頻率范圍繪制多個系統(tǒng)的頻率特性曲線。當函數(shù)調(diào)用帶有左邊輸出變量時，函

10、數(shù)將返回頻率響應(yīng)的幅值mag，相位phase和頻率值。例3-3例3-1系統(tǒng)，試繪制其Bode圖，amp303.m。圖3-3 Bode圖比較圖3-3和圖3-1可知，在MATLAB中，可用不同方法求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，函數(shù)BODE完成例3-1程序的所有計算。3.3 穩(wěn)定裕度由Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)的Nyquist軌跡不包圍點，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡離點越遠，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高；開環(huán)Nyquist軌跡離點越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。這稱為系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。它通過系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)對點的靠近程度來表征，定量表示為穩(wěn)定裕度：幅值裕度kg和相位裕度。一、幅

11、值裕度kg的求取在Nyquist圖上，當為相位交界頻率時，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)，稱為系統(tǒng)的幅值kg，即 (3.3-1)顯然，在Nyquist圖上，Nyquist軌跡與負實軸的交點至原點的距離即為。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，有；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，有。在Bode圖上，幅值裕度改以分貝(dB)表示： (3.3-2)對于穩(wěn)定系統(tǒng)，kg(dB)必在0dB線以下，此時稱為正幅值裕度；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，必在0dB線以上，此時稱為負幅值裕度。二、相位裕度的求取當為增益交界頻率時，相頻特性距線的相位差值為相位裕度。 (3.3-3)式中，一般為負值。在Nyquist圖上，為Nyquist軌跡和單位圓的交點對負實軸的相位差值。對于穩(wěn)

12、定系統(tǒng)，必在Nyquist圖負實軸以下，為正相位裕度；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，必在Nyquist負實軸以上，為負相位裕度。在Bode圖上，對穩(wěn)定系統(tǒng)，必在Bode圖相線以上，此時稱為正相位裕度；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，必在Bode圖相線以下，此時稱為負相位裕度。綜上所述，若開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，具有正幅值裕度及正相位裕度時，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；具有負幅值裕度或負相位裕度時，其閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時考慮幅值裕度kg和相位袍度兩個指標。從控制工程實踐來講，為使系統(tǒng)具有滿意的穩(wěn)定裕量，一般使： (3.3-4)在MATLAB控制工具箱中，函數(shù)MARGIN用來計算相對穩(wěn)定性的幅值裕度（或稱增益

13、裕度）和相位裕度及對應(yīng)的交界頻率（或稱穿越頻率），調(diào)用格式為：用于繪制Bode圖并在圖中標出幅值裕度和相位裕度。，用于計算單輸入單輸出系統(tǒng)的增益裕度和相應(yīng)的相位交界頻率，相位裕度和相應(yīng)的幅值交界頻率。根據(jù)定義，相位交界頻率是指Bode圖的相頻曲線穿越時的頻率；而幅值交界頻率是指Bode圖的幅頻曲線穿越0分貝時的頻率。則根據(jù)給定的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)幅值向量mag、相頻向量phase和對應(yīng)的頻率向量計算系統(tǒng)的增益裕度G，相位裕度和相應(yīng)的交界頻率和。例3-4已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)的幅值裕度、相位裕度和相應(yīng)的交界頻率，amp304.m。圖3-4 例3-4的Bode圖繪制的標有相對穩(wěn)定性的波德

14、圖如圖3-4所示。因該系統(tǒng)幅值裕度和相位裕度均為正值，故系統(tǒng)穩(wěn)定，且相對穩(wěn)定性較好。3.4 系統(tǒng)時域頻域一般性能指標的計算分析系統(tǒng)特性時，通常要研究系統(tǒng)的時域特性和頻域特性?？捎肕ATLAB編程方法分析和計算系統(tǒng)時域和頻域的常用的一些性能。 系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標系統(tǒng)瞬態(tài)性能用系統(tǒng)的階躍響應(yīng)特征來定義。常用來描述系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標的參數(shù)有：（1）上升時間響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升至穩(wěn)態(tài)值的90%所要的時間。（2）峰值時間響應(yīng)曲線第一次達最大峰值所需要的時間。（3）最大超調(diào)量（4）調(diào)整時間瞬態(tài)響應(yīng)曲線進入并永遠保持在允許誤差范圍內(nèi)的最小時間。通常，取穩(wěn)態(tài)值的2%或5%。系統(tǒng)上述瞬態(tài)性能指標計算可用MA

15、TLAB編程完成。例3-5已知系統(tǒng)，試計算系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標（穩(wěn)態(tài)允許誤差，amp305.m。 系統(tǒng)穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性對于連續(xù)時間系統(tǒng)，如果閉環(huán)極點全部在S平面左半平面，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于離散時間系統(tǒng)，如果系統(tǒng)全部極點都位于單位圓內(nèi)，則此系統(tǒng)可以被認為是穩(wěn)定的。若連續(xù)系統(tǒng)零極點都在S平面左半平面，或若離散系統(tǒng)全部零極點均在單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。由于用數(shù)學(xué)方法直接求解特征方程是不容易的，一些穩(wěn)定判據(jù)（如Routh判據(jù)、Nyquist判據(jù)等）長期應(yīng)用于系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，這些方法日均是間接判別穩(wěn)定性的方法。MATLAB語言可以用數(shù)值計算方法直接求特征方程的根，且已編制專門求解函數(shù)。MA

16、TLAB函數(shù)中有許多函數(shù)可用來分析系統(tǒng)零點和極點的分布情況。函數(shù)POLE可直接用于計算系統(tǒng)極點。函數(shù)EIG用來計算矩陣特征值的根，函數(shù)ROOTS用來求一個多項式的根。利用系統(tǒng)零極點形式模型函數(shù)ZPK直接給出系統(tǒng)的零點和極點，函數(shù)PZMAP用來繪制系統(tǒng)的零極點圖和計算系統(tǒng)的零點和極點，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否是最小相位系統(tǒng)。例3-6已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試判斷該閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是否是最小相位系統(tǒng)，amp306.m。程序運行結(jié)果說明：閉環(huán)系統(tǒng)有兩個正極點，不穩(wěn)定，且也不是最小相位系統(tǒng)。關(guān)于系統(tǒng)相對穩(wěn)定性分析，可用函數(shù)MARGIN。 閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性在分析系統(tǒng)動態(tài)特性中，閉環(huán)頻率特性性能指標

17、計算是十分重要的，這些指標包括：幅頻寬、相頻寬、諧振頻率、諧振峰值、幅值穿越頻率、相位穿越頻率等。關(guān)于和計算可用MATLAB函數(shù)MARGIN，其余的頻率域性能指標可以用MATLAB編程方法計算。程序中用到MATLAB庫函數(shù)INTERP1。函數(shù)INTERP1用于一維數(shù)據(jù)插值，調(diào)用格式為：其中，x,y為數(shù)據(jù)列向量；xi為x中某元素的值；函數(shù)返回值yi是用插值法求得y中和xi對應(yīng)的值。mothed插值計算所采用的方法；linear為線性插值；spline為三次樣條插值；cublic為三次插值。該函數(shù)要求是單調(diào)的。例3-7已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函為：，求該系統(tǒng)閉環(huán)的幅值穿越頻率、諧振峰頻率、諧振峰

18、值、幅頻寬、相頻寬，amp307.m。圖3-5 閉環(huán)系統(tǒng)Bode圖（例3-7）閉環(huán)系統(tǒng)Bode圖如圖3-5所示。 穩(wěn)態(tài)性能計算一、穩(wěn)態(tài)誤差圖3-6 誤差計算系統(tǒng)方框圖對于圖3-6所示系統(tǒng)，由輸入引起的系統(tǒng)誤差 (3.4-1)由干擾引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差： (3.4-2)系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為：上面兩個計算式可由MATLAB編程實現(xiàn)。例3-8已知單位反饋系統(tǒng)：其中，輸入信號，擾動信號，試確定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。這是一個單位反饋系統(tǒng)，。輸入信號，即。干擾信號，即。由（3.4-1）和（3.4-2）可知系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為：用MATLAB計算系統(tǒng)總誤差程序，amp308.m。二、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值例3-5的程序中，已介紹了一種系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值的計算方法。MATLAB控制工具箱中，函數(shù)DCGAIN是用來計算LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益?？衫迷摵瘮?shù)直接求得系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。函數(shù)調(diào)用格式為：其中，sys為LTI模型；K為穩(wěn)態(tài)增益。例3-9用函數(shù)DCGAIN求例3-5系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值，amp309.m。計算結(jié)果與例3-5完全相同。3.5 系統(tǒng)分析圖形用戶界面MATLAB控制工具箱還提供了更為直觀的系統(tǒng)時域和頻域分析的圖形用戶界面-LTI Viewer。利用LTI Viewer為工具，可交互式可視化地獲得系統(tǒng)多種時域特性和頻域特性。以例3-5系統(tǒng)為例，介紹LTI Viewer的主要功能和使用方法和使