線性代數(shù)問題無答案

1、第一章 多項(xiàng)式1.(P16)證明：當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式；當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式.這里是使的整數(shù)，而是實(shí)數(shù).2. (P16)求最低次數(shù)的多項(xiàng)式與，使得 （1）； （2）3. (P16)求次數(shù)最低的多項(xiàng)式，使得被多項(xiàng)式除時(shí)余式為，被多項(xiàng)式除時(shí)余式為.4(P22)把下列復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式分解為一次因式的乘積： （1）； （2）； （3）.5. (P22)證明：復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式對(duì)所有的實(shí)數(shù)恒取正值的充分必要條件是，存在復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，沒有實(shí)數(shù)根，使得.6. (P22)證明：實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式對(duì)所有實(shí)數(shù)恒取非負(fù)實(shí)數(shù)值的充分必要條件是，存在實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式和，使得.7.(P26)設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且素?cái)?shù)滿足：，而，證明：具有

2、次數(shù)的整系數(shù)不可約因式.8. (P26)設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且素?cái)?shù)滿足：，但.證明：在上不可約.9. (P26)設(shè)是個(gè)不同的整數(shù).證明：多項(xiàng)式 在上不可約.第二章 行列式10.(P54)計(jì)算下列行列式：（1） （2）11. (P54)設(shè)是上元函數(shù).如果對(duì)任意整數(shù)，均有， 則稱為對(duì)稱的.數(shù)域上規(guī)范對(duì)稱重線性函數(shù)稱為階積和式(Permanent)，記為.記，并記階方陣為則階積和式也記為.證明： .12. (P66)給定階方陣.證明： ， 其中是行列式中元素的代數(shù)余子式，.13. (P84)計(jì)算下列階行列式： （1） ； (2)； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）；（8）； （9）； （10

3、）計(jì)算階行列式 ，其余未寫出的元素都是零.14.(P86)設(shè)是正整數(shù).證明：行列式 能被整除.15.(P86)(Burnside)設(shè)階方陣滿足，則方陣稱為斜對(duì)稱方陣.把看成未定元，證明：奇階斜對(duì)稱方陣的行列式恒為零，而偶階斜對(duì)稱方陣的行列式是一個(gè)完全平方.16.(P86)(Minkowski)設(shè)階方陣的元素都是實(shí)的，并且.證明：17.(P86)(Levy-Desplanques)設(shè)階方陣的元素都是復(fù)數(shù)，并且，則方陣稱為主角占優(yōu)矩陣.證明：主角占優(yōu)矩陣的行列式不為零.18.(P87)把階行列式展成的多項(xiàng)式，并用行列式的子式表示它的關(guān)于的各次冪的系數(shù)，其中.提示：第三章 矩陣19.(P104)計(jì)算

4、下列行列式： （1），其中冪等和 （2）20.(P106)當(dāng)時(shí)，矩陣的子式稱為矩陣的一個(gè)階主子式，.設(shè).證明：矩陣的每一個(gè)主子式都是非負(fù)實(shí)數(shù).21.(P106)設(shè)，其中是矩陣的前列構(gòu)成的子矩陣.證明： .22.(P113)系數(shù)都是整數(shù)的矩陣稱為整系數(shù)矩陣.行列式等于的整系數(shù)矩陣稱為幺模矩陣.證明：整系數(shù)矩陣的逆矩陣仍是整系數(shù)矩陣的充分必要條件是為幺模矩陣.23.(P113)設(shè)是階方陣的行列式的元素的代數(shù)余子式.證明： 其中.24.(P114)設(shè)，且.證明：.25.(P123)設(shè).證明：.26.(P124)設(shè)，從矩陣中任意取出個(gè)行構(gòu)成矩陣.證明：.27.(P124)設(shè)，從矩陣中任意取出個(gè)行，個(gè)列

5、上的交叉元素構(gòu)成的矩陣記為.證明：.28.(P134)設(shè)和都是階方陣，并且.證明： .29. (P134)設(shè)和都是階方陣，.證明：存在正整數(shù)，使得 .30. (P134)設(shè).證明：的充分必要條件是，存在，使得.由此證明：如果且方陣冪等，則方陣也冪等.31.(P134)證明：存在階可逆的整系數(shù)矩陣，使得它的第一行為整數(shù)的充分必要條件是，整數(shù)互素.32.(P151)證明：存在矩陣和矩陣的廣義逆和，使得 .第四章 線性空間33.(P164)設(shè)個(gè)行向量滿足. 證明：向量線性無關(guān).34.(P186)設(shè)都是階方陣，并且. 證明： .第五章 線性變換35.(P205)設(shè)是線性映射，并且對(duì)任意.證明：，其中.

6、36.(P219)設(shè)是數(shù)域上維線性空間到自身的線性映射，且. 證明：.37.(P219)設(shè)是數(shù)域上維線性空間到自身的所有線性映射構(gòu)成的線性空間，且.定義線性映射如下：設(shè)，令.求與.38.(P219)設(shè).證明：的充分必要條件是，存在數(shù)域上階與階可逆方陣與使得 。其中，且.39.(P223)設(shè)是線性變換，且是正整數(shù).證明：的充分必要條件是.40.(P224)設(shè)滿足.證明：方陣相似于.41.(P224)證明：秩為的冪等方陣(即)相似于.42.(P229)設(shè)是線性變換，中向量生成的子空間是的不變子空間，且，證明：是的基.43.(P239)設(shè)與為階復(fù)方陣.則關(guān)于未知方程只有零解的充分必要條件是，方陣與沒

7、有公共特征值.44.(P239) 設(shè)與為階方陣.定義映射如下：設(shè)，則令.顯然是道自身的線性變換.證明線性變換可逆的充分必要條件是方陣與沒有公共特征值.45.(P240)設(shè)階方陣為 .當(dāng)滿足什么條件時(shí)方陣可逆，并當(dāng)可逆時(shí)，求逆方陣.46.(P247)由于方陣的是方陣在相似下的不變量，因此定義線性變換在的某組基下的方陣的為線性變換的.證明：如果復(fù)線性空間的線性變換滿足，則存在的一組基，使得線性變換在這組基下的方陣的主對(duì)角元都是零.47.(P248)設(shè)3階實(shí)方陣在實(shí)數(shù)域上不相似于上三角方陣，即不存在3階可逆實(shí)方陣，使得是上三角方陣.證明：方陣在復(fù)數(shù)域上相似于對(duì)角方陣.48.(P248)取定n階復(fù)方陣

8、，定義線性變換與如下： 如果方陣可以對(duì)角化，問線性變換和是否也可以對(duì)角化？49.(P248)設(shè)n維復(fù)線性空間與可交換.證明：線性變換與具有公共特征向量.進(jìn)而證明：設(shè)是下標(biāo)集合，的線性變換集合中任意兩個(gè)線性變換與可交換，則線性變換具有公共特征向量.50.(P248)設(shè)n階復(fù)方陣與可交換.證明：存在n階可逆方陣，使得與都是上三角方陣，即方陣與可以同時(shí)相似于上三角.試推廣到任意多個(gè)兩兩可交換的方陣的情形. 51.(P254)證明：酉方陣的任意一個(gè)子方陣的特征值的模不大于1.52.(P254)設(shè)與是n階實(shí)正交方陣，且.證明：.53.(P254)設(shè)是n階實(shí)方陣，且方陣的最大與最小特征值分別為.證明：方陣

9、的特征值的實(shí)部滿足.54.(P254)設(shè)是n階復(fù)方陣，且.證明： .第六章 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形55.(P259)設(shè)與是3階復(fù)方陣，且它們具有相同的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式，則與相似.56.(P259)(Fitting)設(shè)是數(shù)域上的n維線性空間的線性變換.證明：存在線性變換的不變子空間和，使得，并且線性變換在上的限制是可逆的，而在上的限制是冪零的.57.(P269)證明:如果數(shù)域F上n維線性空間的線性變換的二次冪為循環(huán)變換，則本身也是循環(huán)變換.反之是否成立？58.(P269)設(shè)數(shù)域F上n維線性空間的線性變換可對(duì)角化.證明： (1)如果是循環(huán)變換，則的n個(gè)特征值兩兩不同； (2)如果的n個(gè)特征值兩兩

10、不同，且是的完全特征向量組，則是循環(huán)向量.59.(P269)設(shè)和是數(shù)域F上n維線性空間的可交換的線性變換，且為循環(huán)變換.證明：存在多項(xiàng)式，使得.60.(P269)設(shè)是數(shù)域F上n維線性空間的線性變換，而且的任意一個(gè)與可交換的線性變換都可以表示成的多項(xiàng)式.證明：是循環(huán)變換.61.(P276)求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的一種方法：設(shè)是n階復(fù)方陣，是方陣的所有不同的特征值.證明：(1) 存在正整數(shù)m，使得；(2)設(shè)是使的最小正整數(shù).則方陣的最小多項(xiàng)式為 ；(3)設(shè)是方陣的屬于的初等因子，則；(4)設(shè)方陣的初等因子組為其中屬于特征值且次數(shù)為的初等因子的個(gè)數(shù)記為，并約定，當(dāng)不是方陣的初等因子時(shí)，.則 ，其中.求

11、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形采用如下步驟：1) 求出放陣的特征多項(xiàng)式，并求出方陣的全部不同的特征值；2) 對(duì)每個(gè)特征值，由求出；3)對(duì)每個(gè)，計(jì)算 ，由此確定是否是方陣的初等因子，以及初等因子在方陣的初等因子組中出現(xiàn)的次數(shù)；4)根據(jù)3)中所確定的方陣的初等因子組，寫出方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.62.(P287)證明：任意一個(gè)滿秩方陣都可以表示為，其中是可逆方陣，是上三角方陣，而且它的對(duì)角元都是首一多項(xiàng)式，對(duì)角線以上的元素都是次數(shù)小于同一列的對(duì)角元的次數(shù)的多項(xiàng)式.并證明這種表法唯一.63.(P296)證明：一組兩兩可交換的可對(duì)角化方陣可以用同一個(gè)可逆方陣相似于對(duì)角形.64.(P304)設(shè)是自然數(shù)的一個(gè)排列.

12、把n階單位矩陣的第行分別調(diào)到行得到的方陣稱為置換方陣.證明：置換方陣相似于對(duì)角形.65.(P305)證明：所有n階輪回方陣可以經(jīng)過一個(gè)可逆方陣化為對(duì)角形.66.(P305)設(shè)方陣和每一個(gè)與方陣可交換的方陣都可交換.證明：方陣可以表為方陣的多項(xiàng)式.第七章 Euclid 空間67.(P328)設(shè)是n維Euclid空間V的一組基.對(duì)施行Gram-Schmidt正交化得到的正交向量組記為.證明： ，其中約定零個(gè)向量的Gram方陣的行列式為1.68.(P328) 設(shè)是n維Euclid空間V的一組向量.證明： ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩兩正交或其中含有零向量時(shí)成立.由此證明：如果是n階實(shí)方陣，則 .69.(P328

13、)設(shè)是n階正交方陣.而方陣.證明：方陣的特征值滿足，其中.70.(P328)證明：正交方陣的任意一個(gè)子方陣的特征值的絕對(duì)值小于或等于1.71.(P328)證明：如果n階方陣的行列式為1，則方陣可以表示為有限多個(gè)形如的方陣的乘積，其中是位置上的元素為1,而其他元素都為零的n階方陣，并且.如果n階正交方陣的行列式為，則還應(yīng)添加上方陣.72.(P336)設(shè)是n維Euclid空間V的線性變換.證明：的伴隨變換的像空間是的核的正交補(bǔ).73.(P336)設(shè)是所有次數(shù)小于4的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式集合連同內(nèi)積構(gòu)成的Euclid空間，其中.設(shè)是的微商變換.求的伴隨變換.74.(P342)證明：一組兩兩可交換的規(guī)范方陣可

14、以同時(shí)正交相似于準(zhǔn)對(duì)角形.即設(shè)是下標(biāo)集合，規(guī)范方陣集合滿足：對(duì)任意，則存在正交方正，使得為準(zhǔn)對(duì)角形，其中是的全部特征值，其中是實(shí)數(shù)，.75.(P342)證明：n階實(shí)方陣為規(guī)范的充分必要條件是，存在實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，使得.76.(P353)設(shè)與是n維Euclid空間V的線性變換，與都是自伴的，且.證明：存在V的自伴變換，使得.77.(P354)(Fischer)設(shè)是n維Euclid空間V的自伴變換的特征值，.設(shè)是的不變子空間.證明：對(duì)， .78.(P354)設(shè)是n階實(shí)對(duì)稱方陣的所有特征值.證明： .79.(P365)設(shè).證明：的所有特征值都是正的.80.(P365)設(shè).證明：存在可逆三角方陣，使得.

15、81.(P365)設(shè)與是n階對(duì)稱方陣，且，其中.證明：存在非零實(shí)的行向量，使得.82.(P366)設(shè)n階實(shí)方陣的極分解唯一.證明：方陣可逆.83.(P366)設(shè)是n階實(shí)對(duì)稱方陣的所有奇異值.證明： .84.(P369)設(shè) n階實(shí)對(duì)稱方陣的特征值.證明：Schur不等式： ； .85.(P375)設(shè)n階實(shí)方陣的順序主子式都不為零.證明：存在對(duì)角元全為1的n階下三角方陣和，使得，其中，并約定.86.(P376)設(shè)n階對(duì)稱方陣.證明：在n維實(shí)的行向量集合連同標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積構(gòu)成Euclid空間，有不等式所定義的區(qū)域是有界的，并且它的體積V為 ，其中.87.(P376)設(shè).證明：.88.(P376)設(shè)是對(duì)稱矩

16、陣，記.證明：（1）是滿足且與可交換的最小方陣，這里所謂“最小”是指，如果對(duì)稱方陣滿足且與可交換，則；（2）是滿足且與可交換的最小的半正定對(duì)稱方陣；（3）是滿足且與可交換的最小的半正定對(duì)稱方陣；（4）設(shè)與是可交換的對(duì)稱方陣，則存在滿足,且與和都可交換的最小對(duì)稱方陣.89.(P376)證明：兩個(gè)n階半正定對(duì)稱方陣與可以同時(shí)相合于對(duì)角形，即存在n階可逆矩陣，使得與都是對(duì)角方陣.(提示：方陣是半正定的.)90.(P376)正定對(duì)稱方陣的概念可以推廣(見Johnson C R. Positive definite matrices. Amer.Math.Monthly,1970,77:259-264)

17、：設(shè)是n階實(shí)方陣(不必是對(duì)稱的).如果對(duì)任意非零行向量，則方陣稱為正定的.記，其中，它們分別是的對(duì)稱部分和斜對(duì)稱部分.證明：(1) 方陣正定的充分必要條件是，它的對(duì)稱部分是正定的；(2) 設(shè).則當(dāng)正定時(shí)，的非零根是純虛數(shù)；(3) 設(shè)正定，并且的所有非零的根為，則相合于如下的準(zhǔn)對(duì)角方陣： ，并且的根是正定方陣在相合下的全系不變量.91.(P377)設(shè)是實(shí)數(shù)，是n階實(shí)方陣，且是n階復(fù)正交方陣，即，其中.證明方陣是斜對(duì)稱的，并且 （1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)時(shí)，存在n階實(shí)正交方陣，使得 .92.(P377)設(shè)是n階復(fù)正交方陣，其中與是n階實(shí)方陣.證明：存在n階實(shí)正交方陣與，使得，其中是方陣的所有大于1的

18、奇異值，且1是方陣的重奇異值.93.(P377)設(shè)復(fù)方陣與適合，其中與是實(shí)正交方陣，則稱復(fù)方陣與正交相抵.證明：復(fù)正交方陣的實(shí)部的奇異值是復(fù)正交方陣正交相抵下的全系不變量.94.(P377)設(shè)是n階半正定對(duì)稱方陣的所有特征值.并且設(shè)方陣的每個(gè)列和都是零.證明： .(提示：對(duì)稱方陣，其中是每個(gè)元素都是為1的n階方陣.)95.(P377) 設(shè)是n階正定對(duì)稱方陣，.證明： ，其中.96.(P377)設(shè)與是n階實(shí)對(duì)稱方陣，且方陣是正定的.證明： ，其中，且.97.(P377)設(shè)是n階對(duì)稱方陣的特征值，.證明：（1）設(shè)與是n階對(duì)稱方陣，實(shí)數(shù)滿足，則 ， ； （2）當(dāng)半正定時(shí)，.第八章 酉空間98.(P395)證明：n維酉空間V的線性變換為規(guī)范的充分必要條件是，的每個(gè)不變子空間也是它的伴隨變換的不變自空間.99.(P395)證明：n維酉空間V的線性變換為規(guī)范的充分必要條件是，的每個(gè)不變子空間的正交補(bǔ)是的不變子空間.100.(P395)設(shè)n階規(guī)范方陣，方陣的任意兩個(gè)特征值的實(shí)部與虛部分別不相等，且是方陣與中某個(gè)方陣的特征向量.證明：存在復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)與，使得，并且.101.(P396)設(shè)n階復(fù)方陣滿足.則方陣稱為正交Hermit