自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)

1、（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)一、曲線運(yùn)動(dòng)：自然坐標(biāo)、切一、曲線運(yùn)動(dòng)：自然坐標(biāo)、切向加速度和法向加速度向加速度和法向加速度二、圓周運(yùn)動(dòng)與角量系統(tǒng)二、圓周運(yùn)動(dòng)與角量系統(tǒng)三、相對運(yùn)動(dòng)三、相對運(yùn)動(dòng)AB n nuvvxy yuox60 oA BvxyorAB（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)一、自然坐標(biāo)、平面曲線運(yùn)動(dòng)一、自然坐標(biāo)、平面曲線運(yùn)動(dòng)AB n n切向以質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向?yàn)檎涀銮邢蛞再|(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向?yàn)檎?，記?或者或者 ，法向以曲線凹側(cè)方向?yàn)檎ㄏ蛞郧€凹側(cè)方向?yàn)檎?，記做記?或者或者 ntene1.1.質(zhì)點(diǎn)的位置用軌道長度質(zhì)點(diǎn)

2、的位置用軌道長度s s表示表示s = s (t)則則: : s = s ( t+ t) s ( t) 2. 速度和速率速度和速率vtrtrtsv ddd|d|dd自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系 (natural coordinates)使用前提：使用前提：軌道已知軌道已知軌道上選擇一點(diǎn)做軌道上選擇一點(diǎn)做原點(diǎn)。原點(diǎn)。 osenet（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)第第1 1項(xiàng)表示由于速度大小變化項(xiàng)表示由于速度大小變化所引起的加速度分量所引起的加速度分量, , 大小大小等于速率變化率等于速率變化率, , 方向沿軌方向沿軌道切向道切向, , 稱稱切向加速度切向加速度(tang

3、ential acceleration)tvaddt第第2項(xiàng)是由速度方向變化所引項(xiàng)是由速度方向變化所引起的加速度分量，為起的加速度分量，為法向加法向加速度速度(normal acceleration)nvntva2nddttddeetsvvteetddddttvvtaddvLBA (t) (t+ t) 當(dāng)當(dāng) t0時(shí)時(shí), 點(diǎn)點(diǎn)B 趨近于點(diǎn)趨近于點(diǎn)A,等腰等腰 O A B 頂角頂角 0。 推導(dǎo)nvntvtva2nddddtttttddlimlim00 極限方向必定垂直于極限方向必定垂直于 , 指向軌道凹側(cè)指向軌道凹側(cè), 與法向單位矢量與法向單位矢量n一致，并且一致，并且 ( ) tO (t) (t

4、+ t) B A 若軌道在點(diǎn)若軌道在點(diǎn)A 的內(nèi)切的內(nèi)切圓的曲率半徑為圓的曲率半徑為 nvntvntva2ndddd（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)反映速度方向反映速度方向變化的快慢程變化的快慢程度度反映速度大小變反映速度大小變化的快慢化的快慢2vadtdvan 22222 vdtdvaaaan naatg加速度總是指向曲線的凹側(cè)加速度總是指向曲線的凹側(cè)vv 切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度naaaaann總結(jié)：總結(jié)：自然坐標(biāo)自然坐標(biāo) anaadds其中其中 曲率半徑曲率半徑 . （2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)tt

5、td)(d)(2.角速度角速度1.角坐標(biāo)角坐標(biāo))(t3.角加速度角加速度tdd又因?yàn)榫€速率又因?yàn)榫€速率ttrtst0lim0limvxyor)()(,ddtrttsvvAB二、圓周運(yùn)動(dòng)二、圓周運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，曲率半徑恒定為軌跡為圓，曲率半徑恒定為r2vadtdvan又因?yàn)橛忠驗(yàn)閞varan2（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)角加速度角加速度tdd)()(,ddtrttsvv線量與角量線量與角量s = s (t)=r (t)線量角量角坐標(biāo)角坐標(biāo))(ttttd)(d)(角速度角速度切向加速度切向加速度（速度大小變速度大小變化引起化引起）法向加速度法向加速度（速度方向

6、變速度方向變化引起化引起）22ntaaarvaran2（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)舉例：舉例： 勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和勻變速率圓周運(yùn)動(dòng) 1 勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：速率勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：速率 和角速度和角速度 都為常量都為常量 .v2 勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)t020021tt)(20202如如 時(shí)時(shí),0t00,常量n2nnereaa0tat 0 tdtd00 tdt00 3 一般圓周運(yùn)動(dòng)一般圓周運(yùn)動(dòng)（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng) 作曲線運(yùn)動(dòng)的物體，以下幾種說法中哪一作曲線運(yùn)動(dòng)的物體，以下幾種

7、說法中哪一種是正確的：種是正確的： （A）切向加速度必不為零；）切向加速度必不為零； （B）法向加速度必不為零（拐點(diǎn)處除外）；）法向加速度必不為零（拐點(diǎn)處除外）； （C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零；因此法向加速度必為零； （D）若物體作勻速率運(yùn)動(dòng)，其總加速度必為零）若物體作勻速率運(yùn)動(dòng)，其總加速度必為零 （E）若物體的加速度）若物體的加速度 為恒矢量，它一定作為恒矢量，它一定作勻變速率運(yùn)動(dòng)勻變速率運(yùn)動(dòng) .a討討 論論（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng) 一飛輪半徑為一飛輪半徑為2m,其角量運(yùn)動(dòng)

8、方程其角量運(yùn)動(dòng)方程 =2+3t-4t3(SI),求距軸心求距軸心1m處的點(diǎn)在處的點(diǎn)在2s末的速率和切向加速度末的速率和切向加速度解解:因?yàn)橐驗(yàn)?d312dtt 則則:d24dtt 45rad/ s 248rad/s 在距軸心在距軸心1m處的速率為處的速率為45/vRm s 切向加速度為切向加速度為:48/aRm s 將將t=2代入代入,得得（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)三、相對運(yùn)動(dòng)三、相對運(yùn)動(dòng) 在兩個(gè)相對作直線運(yùn)動(dòng)的參考系中，在兩個(gè)相對作直線運(yùn)動(dòng)的參考系中， 時(shí)間的測量是時(shí)間的測量是絕對的，空間的測量也是絕對的，絕對的，空間的測量也是絕對的， 與參考系無關(guān)

9、，與參考系無關(guān)， 時(shí)間和長度的絕對性是經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)間和長度的絕對性是經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)的基礎(chǔ).ABv 小車以小車以較低的速度較低的速度 沿水平軌道先后通過點(diǎn)沿水平軌道先后通過點(diǎn) A 和點(diǎn)和點(diǎn) B . 地面上人測得車通過地面上人測得車通過 A、B 兩點(diǎn)間的距兩點(diǎn)間的距離和時(shí)間與車上的人測量結(jié)果相同離和時(shí)間與車上的人測量結(jié)果相同 .v1、時(shí)間與空間時(shí)間與空間（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)的軌跡依賴于觀察者所處的參考系物體運(yùn)動(dòng)的軌跡依賴于觀察者所處的參考系2、相對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng)（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)

10、動(dòng) ruxxy yz zo orS 系系 系系 ) (zyxO)(OxyzSoorP*3 3、絕對運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)絕對運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)（1）位矢的關(guān)系）位矢的關(guān)系質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P在相對作勻速直線運(yùn)動(dòng)在相對作勻速直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)坐標(biāo)系中的移動(dòng)的兩個(gè)坐標(biāo)系中的移動(dòng)絕對位矢絕對位矢相對位矢相對位矢牽連位矢牽連位矢0rrr絕對量絕對量=相對量相對量+牽連量牽連量r roor（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)zz*yyxxuoo0tp pu vv（3）速度關(guān)系）速度關(guān)系utrtrDrr（2）位移關(guān)系）位移關(guān)系 rPtuuxxy yz ztto orQQD p簡單

11、起見，設(shè)簡單起見，設(shè)開始時(shí)，開始時(shí)，兩坐標(biāo)系是重合的。兩坐標(biāo)系是重合的。經(jīng)經(jīng)過過t時(shí)間，時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從P移動(dòng)移動(dòng)到到Q，而而S系相對系相對S系移系移動(dòng)到如圖位置，則：動(dòng)到如圖位置，則：絕對量絕對量=相對量相對量+牽連量牽連量（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng) 伽利略速度變換伽利略速度變換 注意注意當(dāng)當(dāng) 接近光速時(shí)，伽利略速度變換不成立！接近光速時(shí)，伽利略速度變換不成立！u絕對速度絕對速度trddv相對速度相對速度trddv牽連速度牽連速度uuvvuvv rtuuxxy yz ztt o orQQD p【相對論【相對論洛倫茲變換洛倫茲變換】（2 2）自然坐標(biāo)

12、、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)絕對絕對加速度加速度相對相對加速度加速度牽連牽連加速度加速度0aaa 絕對量絕對量= =相對量相對量+ +牽連量牽連量0ddaatu若若則則（4）加速度關(guān)系）加速度關(guān)系tuttddddddvv推導(dǎo)：推導(dǎo)：（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)例題例題. .河水自西向東流動(dòng)，速度為河水自西向東流動(dòng)，速度為10 km/h,10 km/h,一輪船在一輪船在水中航行，船相對于河水的航向?yàn)楸逼魉泻叫?，船相對于河水的航向?yàn)楸逼?030o o, ,航速為航速為20km/h20km/h。此時(shí)風(fēng)向?yàn)檎?，風(fēng)速為。此時(shí)風(fēng)向?yàn)檎?/p>

13、，風(fēng)速為10km/h10km/h。試求在船。試求在船上觀察到的煙囪冒出的煙縷的飄向。（設(shè)煙離開煙囪上觀察到的煙囪冒出的煙縷的飄向。（設(shè)煙離開煙囪后即獲得與風(fēng)相同的速度）后即獲得與風(fēng)相同的速度）解：解：設(shè)水用設(shè)水用S S；風(fēng)用；風(fēng)用F F；船用；船用C C；岸用；岸用D D已知：已知：201010 csfdsdvvv正東正東正西正西北偏西北偏西3030o ovcsvfdvsd 風(fēng)向（風(fēng)向（wind directionwind direction） 氣象上把風(fēng)吹來的方向確定為風(fēng)的方向。因此，氣象上把風(fēng)吹來的方向確定為風(fēng)的方向。因此，風(fēng)來自北方叫做北風(fēng)，風(fēng)來自南方叫做南風(fēng)。氣象風(fēng)來自北方叫做北風(fēng)，風(fēng)

14、來自南方叫做南風(fēng)。氣象臺(tái)站預(yù)報(bào)風(fēng)時(shí)，當(dāng)風(fēng)向在某個(gè)方位左右擺動(dòng)不能肯臺(tái)站預(yù)報(bào)風(fēng)時(shí)，當(dāng)風(fēng)向在某個(gè)方位左右擺動(dòng)不能肯定時(shí)，則加以定時(shí)，則加以“偏偏”字，如偏北風(fēng)。當(dāng)風(fēng)力很小時(shí)，字，如偏北風(fēng)。當(dāng)風(fēng)力很小時(shí)，則采用則采用“風(fēng)向不定風(fēng)向不定”來說明。來說明。（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)sdcscdvvv cdfcfdvvv cdfdfcvvv hkmvvvvcsfcsdfd/20 方向?yàn)槟掀鞣较驗(yàn)槟掀?030o ofcvvcsvfdvsdvcd030vfcvfdvsdvcd 030方向正北hkmvcd/310 （2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓

15、周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)例題、例題、一男孩乘坐一鐵路平板車，在平直鐵路上勻加速一男孩乘坐一鐵路平板車，在平直鐵路上勻加速行駛，其加速度為行駛，其加速度為a，他沿車前進(jìn)的斜上方拋出一球，他沿車前進(jìn)的斜上方拋出一球，設(shè)拋球時(shí)對車的加速度的影響可以忽略，如果使他不必設(shè)拋球時(shí)對車的加速度的影響可以忽略，如果使他不必移動(dòng)他在車中的位置就能接住球，則拋出的方向與豎直移動(dòng)他在車中的位置就能接住球，則拋出的方向與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？方向的夾角應(yīng)為多大？aV0車對地車對地 解：解：拋出后車的位移：拋出后車的位移：20121attvx 球的位移：球的位移：20221)cos( gttvy )sin(002tvvx 球

16、對車0v（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)小孩接住球的條件為：小孩接住球的條件為： x1= x2; y=0 )(sin2102tvat 兩式相比得：兩式相比得： tgga tvgt)(cos21 02 gatg1 （2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)例例、由樓窗口以水平初速度由樓窗口以水平初速度v0射出一發(fā)子彈，取槍口射出一發(fā)子彈，取槍口為原點(diǎn)，沿為原點(diǎn)，沿v0為為x軸，豎直向下為軸，豎直向下為y軸軸，并取發(fā)射時(shí)并取發(fā)射時(shí)t=0.試求試求：(1)子彈在任一時(shí)刻子彈在任一時(shí)刻t的位置坐標(biāo)及軌道方程的位置坐標(biāo)及軌道方程；(2)子彈在

17、子彈在t t時(shí)刻的速度，切向加速度和法向加速度時(shí)刻的速度，切向加速度和法向加速度。aagyxov0 n 2021gtytvx 解解：(1)20221vgxy 習(xí)習(xí) 題題 訓(xùn)訓(xùn) 練練（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)(2)gtvvvyx ,0與切向加速度垂直與切向加速度垂直 01222022tan vgttgvvvvyx與速度同向與速度同向22202tgvtgdtdva 2220022tgvgvagan aagyxov0 n （2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)oABAvBvr 例例 如圖一超音速殲擊機(jī)在高空如圖一超音速殲擊機(jī)在高

18、空 A 時(shí)的水平速率為時(shí)的水平速率為 1940 km/h , 沿近似于圓弧的曲線俯沖到點(diǎn)沿近似于圓弧的曲線俯沖到點(diǎn) B ,其速率為其速率為 2192 km/h , 所經(jīng)歷的時(shí)間為所經(jīng)歷的時(shí)間為 3s , 設(shè)圓弧設(shè)圓弧 的半徑約為的半徑約為 3.5km , 且飛機(jī)從且飛機(jī)從A 到到B 的俯沖過程可視為勻變速率圓的俯沖過程可視為勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)周運(yùn)動(dòng) , 若不計(jì)重力加速度的影響若不計(jì)重力加速度的影響, 求求: (1) 飛機(jī)在點(diǎn)飛機(jī)在點(diǎn)B 的加速度的加速度; (2)飛機(jī)由點(diǎn)飛機(jī)由點(diǎn)A 到點(diǎn)到點(diǎn)B 所經(jīng)歷的路程所經(jīng)歷的路程 .ABatana 解解（1）因飛機(jī)作勻變速率）因飛機(jī)作勻變速率運(yùn)動(dòng)所以運(yùn)動(dòng)所以 和和 為常量為常量 .tataddtv分離變量有分離變量有 t0ta ddtBAvvv（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)oABAvBvratana2tsm3 .23taABvv1hkm1940Av1hkm2192Bvs3tkm5 . 3AB已知：已知：在點(diǎn)在點(diǎn) B 的法向加速度的法向加速度22nsm106raBv在點(diǎn)在點(diǎn) B 的加速度的加速度22n2tsm109aaa4 .12arctanntaa 與法向之間夾角與法向之間夾角 為為atta0tddBAvvvv（2 2）自然坐標(biāo)、圓周運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)）