解決圓周運動問題的解題步驟

1、物理 解決圓周運動問題的解題步驟1 明確研究對象，分析運動狀態(tài)：若有某個固定點或固定軸，開始運動瞬間速度與外力垂直，且某個外力為變力，物體將做圓周運動。（關鍵是看是否有初速度與外力是否垂直，速度與外力是否變化。）若切線方向有加速度，則物體做非勻速圓周運動。若切線方向無加速度，則物體做勻速圓周運動。例題:如下圖所示，將完全相同的兩個小球A、B，用長L=0.8 m的細繩懸于以v=4 ms向右勻速運動的小車頂部，兩球與小車前后壁接觸，由于某種原因，小車突然停止運動，此時懸線的拉力之比FBFA為(g=10 ms2)（ C ）A.11 B.12 C.13 D.14答案：C （A球以v=4 ms的速度做勻

2、速圓周運動，B球靜止）2確定圓心與軌道半徑：例題:如圖所示，豎直放置的光滑圓環(huán)，半徑R=20cm，在環(huán)上套有一個質量為m的小球，若圓環(huán)以w=10 rad/s的角速度轉動（取g=10m/s2），則角的大小為（ C ）A30B45C60D90答案：C （質點與轉軸的垂點為圓心，垂線為半徑）3受力分析，確定向心力的來源：例題:創(chuàng)新P21 跟蹤2如圖1所示，半徑為r的圓形轉筒，繞其豎直中心軸oo轉動，小物塊a靠在圓筒的內壁上，它與圓筒間的動摩擦因數(shù)為，現(xiàn)要使小物塊不下落，圓筒轉動的角速度至少為：（ C ） 00/a圖4-21 答案：C如圖4-21所示,半徑為r的圓形轉筒,繞其豎直中心軸OO轉動,小物塊

3、a靠在圓筒的內壁上,它與圓筒間的動摩擦因數(shù)為,現(xiàn)要使小物塊不下落,圓筒轉動的角速度至少為 答案：幾種常見的勻速圓周運動的實例圖表圖形受力分析以向心加速度方向建立坐標系利用向心力公式4列式求解典型實例一、 臨界條件：1， 豎直平面內：考點: 在豎直平面內做圓周運動的臨界條件豎直平面內的圓周運動是典型的變速圓周運動，對于物體在豎直平面內做變速圓周運動的問題，中學物理中只研究物體通過最高點和最低點的情況，并且經常出現(xiàn)臨界狀態(tài).（1）、如圖所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面內做圓周運動過最高點的情況：臨界條件：小球達最高點時繩子的拉力（或軌道的彈力）剛好等于零，小球的重力提供其做圓周運動的向心力，即

4、mg= 上式中的v臨界是小球通過最高點的最小速度，通常叫臨界速度，v臨界=.能過最高點的條件：vv臨界. 此時小球對軌道有壓力或繩對小球有拉力不能過最高點的條件：vv臨界（實際上小球還沒有到最高點就已脫離了軌道）.（2）、如圖所示，有物體支持的小球在豎直平面內做圓周運動過最高點的情況：臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能達到最高點的臨界速度v臨界=0.圖（a）所示的小球過最高點時，輕桿對小球的彈力情況是當v=0時，輕桿對小球有豎直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；當0vN0.當v=時，N=0；當v時，桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大.圖（b）所示的小球

5、過最高點時，光滑硬管對小球的彈力情況是當v=0時，管的下側內壁對小球有豎直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.當0vN0.當v=時，N=0.當v時，管的上側內壁對小球有豎直向下指向圓心的壓力，其大小隨速度的增大而增大.圖(c)的球沿球面運動,軌道對小球只能支撐,而不能產生拉力.在最高點的v臨界=.當v時，小球將脫離軌道做平拋運動.在豎直平面內作圓周運動的臨界問題如圖1、圖2所示，沒有物體支承的小球，在豎直平面作圓周運動過最高點的情況R繩圖1v0vR圖2vOR桿圖3臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用 v臨界能過最高點的條件：v，當v時， 繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力。不能過最

6、高點的條件：vv臨界（實際上球沒到最高點時就脫離了軌道）。如圖3所示情形，小球與輕質桿相連。桿與繩不同，它既能產生拉力，也能產生壓力能過最高點v臨界0，此時支持力Nmg當0v時，N為支持力，有0Nmg，且N隨v的增大而減小當v時，N0當v，N為拉力，有N0，N隨v的增大而增大例題:輕桿長為2L，水平轉軸裝在中點O，兩端分別固定著小球A和B。A球質量為m，B球質量為2m，在豎直平面內做圓周運動。當桿繞O轉動到某一速度時，A球在最高點，如圖所示，此時桿A點恰不受力，求此時O軸的受力大小和方向；保持問中的速度，當B球運動到最高點時，求O軸的受力大小和方向；在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現(xiàn)O軸不受

7、力的情況？請計算說明。解析：A端恰好不受力，則，B球：由牛頓第三定律，B球對O軸的拉力，豎直向下。桿對B球無作用力，對A球由牛頓第三定律，A球對O軸的拉力，豎直向下。 若B球在上端A球在下端，對B球：，對A球：，聯(lián)系得。若A球在上端，B球在下端，對A球：，對B球： ，聯(lián)系得顯然不成立，所以能出現(xiàn)O軸不受力的情況，此時。2， 水平面內：3045ABC圖6在水平面上做圓周運動的物體，當角速度變化時，物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。說明：一般求解“在什么范圍內”這一

8、類的問題就是要分析兩個臨界狀態(tài)。小結1、解圓周運動的問題時，一定要注意找準圓心，繩子的懸點不一定是圓心。2、把臨界狀態(tài)下的某物理量的特征抓住是關鍵。如速度的值是多大、某個力恰好存在還是不存在以及這個力的方向如何。（1） 拉力：假設法：假設兩繩均受拉力作用，所得值為正，證明繩子拉緊；所得值為負，證明繩子松弛。例題:如右下圖所示，直角架ABC的AB邊為豎直桿，BC邊為水平桿，B點和C點各系一細繩，共同吊著一個質量為1kg的小球于D點，且BDCD，ABD= 30,BD=40cm,當直角架以AB為軸，以10rad/s的角速度轉動時，求細繩BD、CD所受拉力各為多少？（g=9.8m/s2）如圖所示，直角

9、架ABC和AB連在豎直方向上，B點和C點各系一細繩，兩繩共吊著一個質量1千克的小球于D點，且BDCD，ABD=300，BD=40厘米，當直角架以AB為軸，以10弧度/秒的角速度勻速轉動時，繩BD的張力為_牛，繩CD的張力為_牛。解析1：（假設法） CD繩已松弛，解析2：（分析法）臨界條件： CD繩已松弛極限法：分別求出一繩拉緊，與一繩松弛的臨界條件。例題:（開放題）如下圖所示，兩繩系一質量為m=0.1kg的小球，上面繩長L=2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30與45，問球的角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊；當角速度為3rad/s時，上、下兩繩拉力分別為多大？解析當角速度很小時，AC和BC與軸

10、的夾角都很小，BC并不張緊。當逐漸增大，BC剛被拉直（這是一個臨界狀態(tài)），但BC繩中的張力仍然為零，設這時的角速度為，則有將已知條件代入上式解得當角速度繼續(xù)增大時減小，增大。設角速度達到時，（這又是一個臨界狀態(tài)），則有將已知條件代入上式解得所以當滿足時，AC、BC兩繩始終張緊。本題所給條件，此時兩繩拉力、都存在。將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得，注意：解題時注意圓心的位置（半徑的大?。?。如果時，則AC與軸的夾角小于。如果，則BC與軸的夾角大于45。例題2.如下圖所示，兩繩系一個質量為m0.1 kg的小球，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，上面繩長L2 m,兩繩都拉直時與軸夾角分別為30和45。問球的

11、角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊？解析：兩繩張緊時，小球受的力如上圖所示，當由0逐漸增大時，可能出現(xiàn)兩個臨界值。(1)BC恰好拉直，但F2仍然為零，設此時的角速度為1，則有FxF1sin30m12Lsin30FyF1cos30mg0代入已知解得，12.40 rad/s.(2) AC由拉緊轉為恰好拉直，但F1已為零，設此時的角速度為2，則有FxF2sin45m22Lsin30FyF2cos45mg0代入已知解得23.16 rad/s.可見，要使兩繩始終張緊，必須滿足2.40 rad/s3.16 rad/s.兩繩系一個的小球，兩繩另兩端分別固定于軸上兩處，上面繩長，兩繩都拉直時與軸之間的夾角分別是

12、問球的角速度在什么范圍內兩繩始終張緊？當角速度為時，上下兩繩的拉力分別為多少？（解析：半徑不變時，臨界條件是剛好拉直，張力為零，上的張力的分力提供向心力，最?。粍偤美?，張力為零，上的張力的分力提供向心力，最大。）練習1：如圖所示，OO/為豎直轉軸，MN為固定在OO上的水平光滑桿。有兩個質量相同的有孔金屬球A、B套在水平桿上，AC、BC為抗拉能力相同的兩根細線，C端固定在轉軸OO/上。當線拉直時，A、B兩球到轉軸距離之比為21，當轉軸角速度逐漸增大時（ A ）OO/MNABCAAC線先斷 BBC線先斷 C兩線同時斷 D不能確定哪段先斷答案：A練習2：有一光滑水平板，板的中央有一個小孔，孔內穿入

13、一根光滑輕線，輕線的上端系一質量為M的小球，輕線的下端系著質量分別為m1和m2的兩個物體，當小球在光滑水平板上沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運動時，輕線下端的兩個物體都處于靜止狀態(tài)（如圖6-25）.若將兩物體之間的輕線剪斷，則小球的線速度為多大時才能再次在水平板上做勻速率圓周運動？圖6-25解析該題用定恒觀點和轉化觀點分別解答如下：解法一（守恒觀點）選小球為研究對象，設小球沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運動時的線速度為v0，根據(jù)牛頓第二定律有 當剪斷兩物體之間的輕線后，輕線對小球的拉力減小，不足以維持小球在半徑為R的軌道上繼續(xù)做勻速率圓周運動，于是小球沿切線方向逐漸偏離原來的軌道，同時輕線下端的物

14、體m1逐漸上升，且小球的線速度逐漸減小.假設物體m1上升高度為h，小球的線速度減為v時，小球在半徑為（R+h）的軌道上再次做勻速率圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律有再選小球M、物體m1與地球所組的系統(tǒng)為研究對象，研究兩物體間的輕線剪斷后物體m1上升的過程，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒.選小球做勻速率圓周運動的水平面為零勢面，設小球沿半徑為R的軌道做勻速率圓周運動時物體m1到水平板的距離為H，根據(jù)機械能守恒定律有：以上三式聯(lián)立解得：.解法二（轉化觀點）與解法一相同，首先列出兩式，然后再選小球、物體m1與地球組成的系統(tǒng)為研究對象，研究兩物體間的輕線剪斷后物體m1上升的過程，由于系統(tǒng)的機械能守恒

15、，所以小球M動能的減少量等于物體m1重力勢能的增加量.即： 式聯(lián)立解得：.評價比較上述兩種解法可以看出，根據(jù)機械能守恒定律應用守恒觀點列方程時，需要選零勢面和找出物體與零勢面的高度差，比較麻煩；如果應用轉化觀點列方程，則無需選零勢面，往往顯得簡捷.注：角速度不同，繩子與轉軸的夾角不同。（2） 彈力：例題 :如圖所示，一根水平輕質硬桿以恒定的角速度繞豎直O(jiān)O轉動，兩個質量均為m的小球能夠沿桿無摩擦運動，兩球之間用勁度系數(shù)為k的彈簧連接，彈簧原長為l0，靠近轉軸的球與軸之間也用同樣的彈簧與軸相連如圖所示，求每根彈簧的長度。 分析和解答：當兩球繞軸OO做勻速圓周運動時，兩球的受力情況如圖所示，分別用

16、l、L表示A、B兩球左側彈簧在做圓周運動時的長度，再列出圓周運動方程： 由、聯(lián)解得練習： 圖6156ROA有一水平放置的圓盤，上面放一勁度系數(shù)為k的彈簧，如圖6156所示，彈簧的一端固定于軸O上，另一端系一質量為m的物體A，物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，開始時彈簧未發(fā)生形變，長度為R。求：盤的轉速n0多大時，物體A開始滑動？當轉速緩慢增大到2n0時，彈簧的伸長量x是多少？解析： 有一水平放置的圓盤，上面放一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧，其一端固定于軸O上，另一端系著質量為m的物體A，物體A與盤面間最大靜摩擦力為fm，彈簧原長為R0，如圖5所示，求：盤的轉速n0達到多大時，

17、A開始相對于盤滑動？當轉速達到2n0時，彈簧的伸長量x是多少？（未離開盤面）答案：注：(3)支持力（壓力）：例題 :一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線的夾角，如圖所示，一條長為L的繩，一端固定在圓錐體的頂點O，另一端系一個質量為m的小球（視作質點），小球以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動（小球和繩在圖中都未畫出） （1）當時，求繩子對小球的拉力； （2）當時，求繩子對小球的拉力。圖115 一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線間的夾角為30，如圖115所示。一條長為L的細繩，一端拴著一個質量為m的物體。物體沿錐面在水平面內繞軸線以速度V

18、做勻速圓周運動，求（1）當V時繩對物體的拉力；（2）當V時繩對物體的拉力。解：本題涉及臨界條件是：物體對錐面壓力為零時，物體的速度值。如圖115，物體受重力mg、錐面的支持力N、繩的拉力T三個力作用，將三力沿水平方向和豎直方向分解，由牛頓第二定律得：TsinNcosm TcosNsinmg 由兩式得：Nmgsinm 可見，一定，V越大，N越小，當V增大到某值V0時，N0時，即V0 因N為支持力，不能為負值，故當VV0時物體離開錐面，物體飄起繩與軸線夾角增大到某值。（1） 當V時VV0物體飛離錐面，此時物體只受重力mg和拉力T作用，設繩與軸線的夾角為: Tsin Tcosmg 將V代入兩式消去可

19、得 2T23mgTm2g2T0 解取合理值 T2mg【評注】本題涉及到物體隨速度增大將要飄離錐面的臨界問題，故要用臨界分析法來解題。臨界分析法，就是找出問題的臨界條件，算出關鍵物理量的值進行分析比較，得出在不同條件下物體不同的狀態(tài)，從而求出結果。本題關鍵在求出N0時的速度值即臨界條件。練習：如圖6139所示，在電動機上距水平軸O為r處固定一個質量為m的鐵塊，電動機啟動后達到穩(wěn)定時，鐵塊將以角速度做半徑為r的勻速圓周運動，則在轉動過程中，電動機對地面的最大壓力和最小壓力之差為多少？mrO圖6139解析:電動機受力平衡,當鐵塊在最低點A時向心加速度豎直向上鐵塊超重最多,則系統(tǒng)對地面的壓力最大(設系

20、統(tǒng)重力為G)FA=G+mR,同理當鐵塊在最高點時B,向心加速度豎直向下鐵塊失重最多,則系統(tǒng)對地面壓力最小FB=G- mR則FAB=FA-FB=2mR如圖所示，在電動機上距水平軸O為r處固定一個質量為m的鐵塊，電動機啟動后達到穩(wěn)定時，鐵塊將以角速度做半徑為r的勻速圓周運動，則在轉動過程中，鐵塊分別在最高點時和最低點時電動機對地面的壓力差是多大？解析：鐵塊在最高點時（2分）此時電動機（1分）聯(lián)立得（1分）鐵塊在最低點時（2分）此時電動機（1分）聯(lián)立得（1分）（4）摩擦力：例題 :如圖所示的水平轉臺上M=2.0Kg的木塊放在離轉臺中心0.4米處，與轉臺間動摩擦因數(shù)=0.15，m用線穿過光滑小孔與M相

21、連,m=0.5kg,要保持M與轉臺相對靜止,轉臺的最大轉速不能超過多大?最小轉速不能小于多少?（ ）解析：（最小值）有向心運動趨勢，向外， （最大值）有向心運動趨勢，向內。 例1 如圖所示，長0.40m的細繩，一端拴一質量為0.2kg的小球，在光滑水平面上繞繩的另一端做勻速圓周運動，若運動的角速度為5.0rad/s，求繩對小球需施多大拉力？【分析與解答】：小球沿半徑等于繩長的圓周做勻速圓周運動，根據(jù)向心力公式，所需向心力的大小為：運動中，小球受到豎直向下的重力G，豎直向上的水平面支持力N和沿繩指向圓心的繩的拉力F，如圖所示，這三個力的合力提供了小球做勻速圓周運動所需的向心力，由于其中重力G和支

22、持力N為一對平衡力，因此實際由繩的拉力為小球做勻速圓周運動的向心力，為此繩對小球需施拉力的大小為 N練習：（教材變式題）、三個物體放在旋轉圓臺上，動摩擦因數(shù)均為，的質量為，、質量均為，、離軸，離軸2，則當圓臺旋轉時（設、都沒有滑動，、三者的滑動摩擦力認為等于最大靜摩擦力，如圖所示）（ ） A. 物的向心加速度最大； B. 物的靜摩擦力最?。籆. 當圓臺轉速增加時，比先滑動； D. 當圓臺轉速增加時，比先滑動。解析：比較哪個物體最先打滑，即比較哪個物體角速度最小。A、B、C三個物體放在旋轉圓臺上，動摩擦因數(shù)均為，A的質量為2m，B和C的質量均為m，A、B離軸為R，C離軸為2R，當圓臺轉動時，或A

23、、B、C均沒滑動，則：（ ）A、C物體的向心加速度最大B、B物體所受摩擦力最小C、若圓臺轉速增大時，C比B先滑動D、當圓臺轉速增大時，B比A先滑動答案：A B C二、 圓周運動與直線運動、平拋運動的綜合運用1， 碰釘問題：例題:如圖所示，在光滑的水平面上釘相距40cm的兩個釘子A和B，長1m的細繩一端系著質量為0.4kg的小球，另一端固定在釘子A上開始時，小球和釘子A、B在同一直線上，小球始終以2m/s的速率在水平面上做勻速圓周運動若細繩能承受的最大拉力是4N，那么，從開始到細繩斷開所經歷的時間是A、0.9s B、1.8s C、1.6s D、0.8s12解析：小球繞A以1m為半徑轉半圈，小球繞

24、B以為半徑轉半圈，小球繞A以為半徑轉半圈， 繩斷如圖所示，在光滑水平面上固定相距40cm的兩個釘子A和B，長1m的細繩一端系著質量為0.4kg的小球，另一端固定在釘子A上，開始時小球和釘子A、B在同一直線上，小球始終以2m/s的速率，在水平面上做勻速圓周運動，若細繩能夠承受最大拉力為4N，那么從開始到細繩斷開所經歷的時間是多少？解析： 設小球恰好斷開時，運動半徑為， 小球繞第三個半周時半徑為，所以當小球繞完兩半周接第三個半圓時繩子斷開。時間為 練習：如圖所示，一小球質量為m，用長為L的懸線固定于O點，在O點正下方L/2處釘有一根長釘，把懸線沿水平方向拉直后無初速度地釋放小球，當懸線碰到釘子的瞬

25、時（ A B D ）A.小球的向心加速度突然增大， B.小球的角速度突然增大C.小球的速度突然增大 D.懸線的張力突然增大答案：A B D2， 子彈問題：例題:如圖所示，M,N是兩個共軸圓筒的橫截面，外筒半徑為R，內筒半徑比R小很多，可以忽略不計。簡的兩端是封閉的，兩筒之間抽成真空，兩筒以相同角速度。轉其中心軸線（圖中垂直于紙面）作勻速轉動，設從M筒內部可以通過窄縫S(與M筒的軸線平行）不斷地向外射出兩種不同速率v1和v2的微粒，從S處射出時初速度方向都是沿筒的半徑方向，微粒到達N筒后就附著在N筒上，如果R、v1和v2都不變，而取某一合適的值，則（）A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在c處一條

26、與S縫平行的窄條上B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如b處一條與S縫平行的窄條上C.有可能使微粒落在N筒上的位置分別在某兩處如b處和C處與S縫平行的窄條上D.只要時間足夠長，N筒上將到處落有微粒解：微粒從M到N運動時間t=R/v,對應N筒轉過角度=t=R/v, 即1=t=R/v1, 2=t=R/v2, 只要1、2不是相差2的整數(shù)倍，則落在兩處，C項正確；若相差2的整數(shù)倍，則落在一處，可能是a處，也可能是b處。A,B正確。故正確選項為ABC.3， 圓筒（柱）問題：例題:（小綜合）如圖所示，在圓柱形屋頂中心天花板上O點，掛一根L=3m的細繩，繩的下端掛一個質量m為05kg的小球，已知繩能承

27、受的最大拉力為10N，小球在水平面內做圓周運動當速度逐漸增大到繩斷裂后，小球以v=9m/s的速度落在墻角邊求這個圓柱形房屋的高度H和半徑R(g取10m/s2)如圖425所示，在圓柱形屋頂中心天花板O點，掛一根L=3 m的細繩，繩的下端掛一個質量m為0.5 kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為10 N.小球在水平面內做圓周運動，當速度逐漸增大到繩斷裂后，小球以v=9 m/s的速度落在墻邊.求這個圓柱形房屋的高度H和半徑R.（g取10 m/s2） 圖425解析：設繩與豎直方向夾角為，則cos=,所以=60，小球在繩斷時離地高度為：h=H-Lcos 小球做勻速圓周運動的半徑為：r=LsinF向=mm

28、gtanmv2=mg(H-mv02聯(lián)立式求得：H=3.3 m,平拋運動時間為：t=0.6 s,水平距離為：s=v0t=m,圓柱半徑為：R=4.8 m.練習1：據(jù)報道:我國航天員在俄國訓練時曾經“在1.5萬米高空,連續(xù)飛了10個拋物線.俄方的一個助理教練半途就吐得一塌糊涂,我們的小伙子是第一次做這種實際飛行實驗,但一路卻神情自若,失重時都紛紛飄起來,還不斷做著穿、脫宇航服等操作.”設飛機的運動軌跡是如圖所示的一個拋物線接著一段120度的圓弧再接著一個拋物線,飛機的最大速度是900km/h,在圓弧段飛機速率保持不變;被訓航天員所能承受的最大示重是8g.求:(1)在這十個連續(xù)的動作中被訓航天員處于完

29、全失重狀態(tài)的時間是多少?(2)圓弧的最小半徑是多少?(實際上由于飛機在這期間有所調整和休息,所花總時間遠大于這個時間,約是一小時)(3)完成這些動作的總時間至少是多少?(4)期間飛機的水平位移是多少?(提示:拋物線部分左右對稱,上升階段和下降階段時間相等,水平位移相等,加速度相同,飛機在拋物線的頂端時速度在水平方向)(取g=9.75m/s2)1200起點終點解：（1）在飛機沿著拋物線運動時被訓人員處于完全失重狀態(tài)，加速度為g拋物線的后一半是平拋運動在拋物線的末端飛機速度最大，為 v=250m/s豎直方向的分量 vy=250cos300=216.5m/s水平方向的分量 vx=250sin300=125m/s平拋運動的時間 t=vy/g=22.2s水平方向的位移是 s=vxt=2775m被訓航天員處于完全失重狀態(tài)的總時間是t總=102t=444s（2）Tmg=mv2/r 由題意得T=8mg,r=v2/