高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之雙曲線(匯總解析版)

1、 圓錐曲線第2講 雙曲線【知識要點(diǎn)】1、 雙曲線的定義1. 雙曲線的第一定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)、的距離之差的絕對值等于定長（）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距。注1：在雙曲線的定義中，必須強(qiáng)調(diào)：到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值（記作），不但要小于這兩個定點(diǎn)之間的距離（記作），而且還要大于零，否則點(diǎn)的軌跡就不是一個雙曲線。具體情形如下：（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是兩條射線；（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡不存在；（）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是雙曲線。特別地，若去掉定義中的“絕對值”，則點(diǎn)的軌跡僅表示雙曲線的一支。注2：若用表示動點(diǎn)，則雙曲線軌跡的幾何描

2、述法為（，），即。2. 雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到某一定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。2、 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1） 焦點(diǎn)在軸、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（，）；（2） 焦點(diǎn)在軸、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（，）.注：若題目已給出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，那其焦點(diǎn)究竟是在軸還是在軸，主要看實(shí)半軸跟誰走。若實(shí)半軸跟走，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸；若實(shí)半軸跟走，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸。2. 等軸雙曲線當(dāng)雙曲線的實(shí)軸與虛軸等長時（即），我們把這樣的雙曲線稱為等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）注：若題目已明確指出所要求的雙曲線為等軸雙曲線，則我們可設(shè)該等軸雙

3、曲線的方程為（），再結(jié)合其它條件，求出的值，即可求出該等軸雙曲線的方程。進(jìn)一步講，若求得的，則該等軸雙曲線的焦點(diǎn)在軸、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)；若求得的，則該等軸雙曲線的焦點(diǎn)在軸、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。3、 雙曲線的性質(zhì)以標(biāo)準(zhǔn)方程（，）為例，其他形式的方程可用同樣的方法得到相關(guān)結(jié)論。（1） 范圍：，即或；（2） 對稱性：關(guān)于軸、軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱；（3） 頂點(diǎn)：左、右頂點(diǎn)分別為、；（4） 焦點(diǎn)：左、右焦點(diǎn)分別為、；（5） 實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為；（6） 實(shí)半軸、虛半軸、半焦距之間的關(guān)系為；（7） 準(zhǔn)線：；（8） 焦準(zhǔn)距：；（9） 離心率：且. 越小，雙曲線的開口越??；越大，雙曲線的開口越大；（

4、10） 漸近線：；（11） 焦半徑：若為雙曲線右支上一點(diǎn)，則由雙曲線的第二定義，有，；（12） 通徑長：.注1：雙曲線（，）的準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為。注2：雙曲線的焦準(zhǔn)距指的是雙曲線的焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。以雙曲線的右焦點(diǎn)和右準(zhǔn)線：為例，可求得其焦準(zhǔn)距為；注3：雙曲線的焦點(diǎn)弦指的是由過雙曲線的某一焦點(diǎn)與該雙曲線交于不同兩點(diǎn)的直線所構(gòu)成的弦。雙曲線的通徑指的是過雙曲線的焦點(diǎn)且垂直于其對稱軸的弦。通徑是雙曲線的所有焦點(diǎn)弦中最短的弦。設(shè)雙曲線的方程為（，），過其焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交該雙曲線于、兩點(diǎn)（不妨令點(diǎn)在軸的上方），則，于是該雙曲線的通徑長為.四、關(guān)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要注意的幾個問題（

5、1） 關(guān)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，最基本的兩個問題是：其一，當(dāng)題目已指明曲線的位置特征，并給出了“特征值”（指、的值或它們之間的關(guān)系，由這個關(guān)系結(jié)合，我們可以確定出、的值）時，我們便能迅速準(zhǔn)確地寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；其二，當(dāng)題目已給出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，我們便能準(zhǔn)確地判斷出雙曲線的位置特征，并能得到、的值。（2） 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)、是雙曲線所固有的，與坐標(biāo)系的建立無關(guān)；、三者之間的關(guān)系：必須牢固掌握。（3） 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，實(shí)質(zhì)上是求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的未知參數(shù)、。根據(jù)題目已知條件，我們列出以、為未知參數(shù)的兩個方程，聯(lián)立后便可確定出、的值。特別需要注意的是：若題目中已經(jīng)指明雙曲線的焦點(diǎn)在

6、軸或軸上，則以、為未知參數(shù)的方程組只有一個解，即、只有一個值；若題目未指明雙曲線的焦點(diǎn)在哪個軸上，則以、為未知參數(shù)的方程組應(yīng)有兩個解，即、應(yīng)有兩個值。（4） 有時為方便解題，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的方程也可設(shè)為，但此時、必須滿足條件：. （5） 與橢圓不同，雙曲線中，最大，離心率，它除了有準(zhǔn)線，還有漸近線，而且漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)。對于漸近線：要掌握漸近線的方程；要掌握漸近線的傾斜角、斜率的求法；會利用漸近線方程巧設(shè)雙曲線方程，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出雙曲線的方程。（6） 雙曲線（，）的漸近線方程可記為，即；雙曲線（，）的漸近線方程可記為，即. 特別地，等軸雙曲線（）的漸近線方程為. 反過來講

7、，若已知某一雙曲線的漸近線方程為（，為給定的正數(shù)），則該雙曲線的實(shí)半軸與虛半軸具有關(guān)系：或.（7） 雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.證明：設(shè)雙曲線的方程為（，），其左、右焦點(diǎn)為、，漸近線方程為，即.則焦點(diǎn)到漸近線的距離，焦點(diǎn)到漸近線的距離.顯然故雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（8） 與橢圓類似，求雙曲線的離心率的值，就是要尋找除這一等量關(guān)系之外、之間的另一等量關(guān)系；求雙曲線的離心率的取值范圍，就是要尋找、之間的不等關(guān)系，有時還要適當(dāng)利用放縮法，這里面體現(xiàn)了方程和不等式的數(shù)學(xué)思想?！纠}選講】題型1：雙曲線定義的應(yīng)用1. 若一動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之差的絕對值為常數(shù)（），求點(diǎn)的軌跡方程.解：由題意

8、知，（），（）當(dāng)時，此時點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線，其方程為（）當(dāng)時，此時點(diǎn)的軌跡是兩條射線，其方程分別為或（）當(dāng)時，此時點(diǎn)的軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的雙曲線，其中實(shí)半軸長為，半焦距，虛半軸，所以其方程為.2. 方程表示的曲線是（）A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 雙曲線的左支 D. 雙曲線的右支解：設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則方程 即為該式表示平面內(nèi)一點(diǎn)到兩個定點(diǎn)、的距離之差等于定長8. 顯然。故由雙曲線的第一定義知，點(diǎn)的軌跡是雙曲線，但僅是雙曲線的左支。3. 已知兩圓：，：，動圓與兩圓、都相切. 則動圓圓心的軌跡方程是_.解：圓：的圓心為，半徑為；圓：的圓心為，半徑為.動圓與兩圓、都相切，有以下四種情況：

9、（）動圓與兩圓、都外切；（）動圓與兩圓、都內(nèi)切；（）動圓與圓外切、與圓內(nèi)切；（）動圓與圓內(nèi)切、與圓外切.設(shè)動圓的半徑為由（）知，；由（）知，于是由（）、（）可知，點(diǎn)的軌跡方程是線段的垂直平分線，其方程為由（）知，由（）知，于是由（）、（）有，這表明，點(diǎn)的軌跡方程是以、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線，其中， 即由（）、（）可知，點(diǎn)的軌跡方程為故動圓圓心的軌跡方程是或4. 已知直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則=_.解：聯(lián)立得，（）當(dāng)，即時，直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)或，不滿足題意.（）當(dāng)，即時，由直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)可知，解得故或5. 已知過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，則直線的斜率的取

10、值范圍是_.解：在雙曲線中，由直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)知，直線的斜率由直線過點(diǎn)可知，直線的方程為，即設(shè)，聯(lián)立，得（）由題設(shè)條件及韋達(dá)定理，有解得：或故直線的斜率的取值范圍是注：對于中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線而言，若某一直線與其左支交于不同的兩點(diǎn)，則當(dāng)聯(lián)立雙曲線方程與直線方程得到一個一元二次方程后，一般有四個結(jié)論：二次項(xiàng)系數(shù)不為零，判別式，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于零，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積大于零；若直線與其右支交于不同的兩點(diǎn)，則當(dāng)聯(lián)立雙曲線方程與直線方程得到一個一元二次方程后，一般也有四個結(jié)論：二次項(xiàng)系數(shù)不為零，判別式，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和大于零，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積大于零。這些基本結(jié)論在做題

11、時，必須格外注意。6. 已知雙曲線（）的兩個焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為該雙曲線上一點(diǎn)，且，則=_.解：在雙曲線中， 在中，又代入得，故題型2：求雙曲線的方程7. （1）與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的方程是_； （2）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的方程是_.解：（1）設(shè)所求雙曲線的方程是（）則由該雙曲線過點(diǎn)，有故所求雙曲線的方程是，即（2） 設(shè)所求雙曲線的方程是（）則由該雙曲線過點(diǎn)，有又由、得，故所求雙曲線的方程是8. 設(shè)是常數(shù)，若點(diǎn)是雙曲線的一個焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程是_.解：在雙曲線中，而由題意知，故該雙曲線的方程是9. 已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩對稱軸都在坐標(biāo)軸上，且過、兩點(diǎn)，

12、則該雙曲線的方程是_.解：設(shè)所求雙曲線的方程為（）則由該雙曲線過、兩點(diǎn)，有故所求的雙曲線的方程是，即.10. 已知雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的方程為_.解：由雙曲線：經(jīng)過點(diǎn)，有 由雙曲線的兩條漸近線的夾角為，并且其經(jīng)過點(diǎn)，可知聯(lián)立、，得，故雙曲線的方程為11. 已知雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共的焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程是_.解：在橢圓中，于是橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、又所求雙曲線的離心率而于是，故所求雙曲線的方程為12. 與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解：在雙曲線中，于是雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、據(jù)此可設(shè)所求雙曲線的方程為則由其過點(diǎn)，有又聯(lián)立、，得，故

13、所求雙曲線的方程為13. 已知雙曲線（）的一條漸近線方程是，它的一個焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則該雙曲線的方程是_.解：由是所求雙曲線的一條漸近線知，由拋物線的準(zhǔn)線方程為知， 由、得，故該雙曲線的方程是題型3：雙曲線的性質(zhì)14. 雙曲線的實(shí)軸長是_.解：在雙曲線，即中，故該雙曲線的實(shí)軸長15. 雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則實(shí)數(shù)=_.解：在雙曲線，即中，即于是有故16. 設(shè)雙曲線（）的漸近線方程為，則=_.解：在雙曲線中，于是該雙曲線的漸近線方程為又由題意知，該雙曲線的漸近線方程為，即故17. 已知點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是點(diǎn)的縱坐標(biāo)的2倍，點(diǎn)和點(diǎn)的軌跡分別為雙曲線和. 若的漸近線方程為，

14、則的漸近線方程為_.解：設(shè)的方程為（），的方程為（）設(shè)，則由題設(shè)條件知，于是由、兩點(diǎn)分別在和上，有又雙曲線的漸近線方程為 于是故雙曲線的漸近線方程為題型4：與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的三角形問題18. 設(shè)、為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在該雙曲線上，且滿足，則的面積為_.解：在雙曲線中，于是，在中，又代入得， 故19. 已知橢圓（）與雙曲線（）有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是它們的一個公共點(diǎn).（1）用和表示；（2）設(shè)，求.解：（1）在中，由余弦定理有點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，于是由、有故（2） 由（1）知，故題型5：雙曲線的離心率計算問題20. 已知點(diǎn)在雙曲線：（，）上，的焦距為4，則它的離心率為_.解：點(diǎn)在雙曲線：上又

15、雙曲線的焦距為4于是有由、得，或（舍去） ，故雙曲線的離心率21. 若一個雙曲線實(shí)軸的長度、虛軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率=_.解：由，成等差數(shù)列，有又（）（）式兩邊同時除以，得 解得：或（舍去）故該雙曲線的離心率22. 若雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則該雙曲線的離心率為_.解：（）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，由題意知，于是而此時（）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，由題意知，于是而此時故該雙曲線的離心率為或223. 已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_.解：由雙曲線的漸近線方程為，即可知，或當(dāng)時， ，即于是此時該雙曲線的離心率當(dāng)時， ，即，亦即于是此時該雙曲線的離心率故該雙曲線

16、的離心率為或24. 設(shè)，則曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D. 解：由，有，于是方程表示的曲線是雙曲線在雙曲線，即中，而于是又雙曲線的離心率故25. 已知、是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，且，則的離心率為_.解：（法一）軸又，即于是 又（）（）式兩邊同時除以，得 解得：或（舍去）故雙曲線的離心率（法二），等式中的表示的外接圓的直徑.故雙曲線的離心率26. 設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為，虛軸的一個端點(diǎn)為，如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么該雙曲線的離心率為_.解：設(shè)雙曲線的方程為（）則該雙曲線的漸近線方程為設(shè)，則在該雙曲線的兩條漸近線中，與直線垂直的一條漸近線方程為：

17、由，有 ，即又，此即 解得：又故該雙曲線的離心率題型6：與雙曲線有關(guān)的綜合問題27. 若曲線與曲線（）恰有三個交點(diǎn)，則=_.解：曲線表示左、右焦點(diǎn)分別為，的雙曲線，其左、右頂點(diǎn)分別為，曲線（）表示圓心為，半徑為的圓雙曲線與圓恰有三個交點(diǎn)圓與雙曲線的左支交于點(diǎn)于是有又故28. 已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，且過點(diǎn).（1）求該雙曲線的離心率；（2）求該雙曲線的方程；（3）若點(diǎn)在該雙曲線上，證明：.解：（1）在等軸雙曲線中，實(shí)軸長=虛軸長，即故等軸雙曲線的離心率（2） 所求雙曲線為等軸雙曲線可設(shè)其方程為（）又該雙曲線過點(diǎn) 故所求雙曲線的方程為，即（3） 在雙曲線中， 于是，又，于是又

18、點(diǎn)在雙曲線上故29. 若點(diǎn)和點(diǎn)分別為雙曲線（）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為該雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是_.解：在雙曲線中，由可知，于是該雙曲線的方程為設(shè)，則由點(diǎn)在雙曲線右支上知，令，其對稱軸為函數(shù)在上單調(diào)遞增于是對任意的，都有這表明，故的取值范圍是30. 已知橢圓：（）與雙曲線：有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于、兩點(diǎn)，若恰好將線段三等分，則橢圓的方程為_.解：由橢圓：與雙曲線：有公共的焦點(diǎn)知， 于是橢圓的方程可化為，即雙曲線：的一條漸近線方程為設(shè)線段被橢圓所截得的弦為，則，且聯(lián)立得，由此有于是有 解得：（舍去） 于是故橢圓的方程為31. 過點(diǎn)且與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線方

19、程為_.解：顯然，點(diǎn)在雙曲線外（1）當(dāng)所求直線的斜率不存在時，顯然，過點(diǎn)且與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線方程為（2）當(dāng)所求直線的斜率存在時，不妨設(shè)其斜率為則由其過點(diǎn)可知，所求直線的方程為，即聯(lián)立，得（）（）若，則當(dāng)時，由（）式，有無解，不滿足題意，舍去當(dāng)時，由（）式，有而此時所求直線的方程為將代入中，得即此時所求直線與雙曲線的唯一公共點(diǎn)為，滿足題意于是當(dāng)時，所求直線的方程為（）若，即，則對（）式，由所求直線與雙曲線僅有一個公共點(diǎn)，有，而這顯然與矛盾，舍去于是當(dāng)時，所求直線不存在故所求直線的方程為或32. 過點(diǎn)且與雙曲線有一個公共點(diǎn)的直線方程為_.解：顯然，點(diǎn)在雙曲線外由題意知，所求直線的斜率是存在

20、的，不妨設(shè)為則由其過點(diǎn)可知，所求直線的方程為，即聯(lián)立，得（）（）若，則當(dāng)時，由（）式，有而此時所求直線的方程為將代入中，得即此時所求直線與雙曲線的唯一公共點(diǎn)為，滿足題意當(dāng)時，由（）式，有而此時所求直線的方程為將代入中，得即此時所求直線與雙曲線的唯一公共點(diǎn)為，滿足題意于是當(dāng)時，所求直線的方程為（）若，即，則對（）式，由所求直線與雙曲線僅有一個公共點(diǎn)，有，即，滿足題意 于是當(dāng)時，所求直線的方程為故所求直線的方程為或33. 已知雙曲線：.（1） 求雙曲線的漸近線方程；（2） 已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)是雙曲線上的點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn). 記，求的取值范圍.解：（1）在雙曲線中，故該雙曲線的漸近線方程為

21、（2） 設(shè)則又，于是又點(diǎn)在雙曲線上于是，其中或?qū)τ诤瘮?shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減對任意的，都有對于函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增對任意的，都有故對任意的，總有，即的取值范圍是.34. 已知雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn).（1） 求橢圓的方程；（2） 已知橢圓上的定點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若直線和的斜率都存在且不為零，試問直線和的斜率之積是定值嗎？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；（3） 對于橢圓長軸上的某一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），過作動直線（不與軸重合）交橢圓于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足：，證明：.解：（1）在雙曲線中，于是該雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為；左右焦點(diǎn)分別為設(shè)橢圓的方程為（）則由題

22、意知，于是故橢圓的方程為（2） 點(diǎn)是橢圓：上的定點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，顯然點(diǎn)也在橢圓上設(shè)則，于是又點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓：上于是有 -得，于是故，即直線和的斜率之積為定值（3） （）當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)其斜率為則由其過點(diǎn)可知，直線的方程為，即橢圓的方程可化為設(shè)，聯(lián)立，得由韋達(dá)定理，有于是又而由，有于是，即故（）當(dāng)直線垂直于軸時，由橢圓的對稱性可知，綜上可知，總有35. 已知雙曲線（）的左右焦點(diǎn)分別為、，直線過點(diǎn)且與該雙曲線交于、兩點(diǎn).（1） 若直線的傾斜角為，是等邊三角形，求該雙曲線的漸近線方程；（2） 設(shè). 若直線的斜率存在，且，求直線的斜率.解：（1）在雙曲線中，直線的傾斜角為、兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱

23、，并且點(diǎn)的橫坐標(biāo)于是又是等邊三角形于是有 解得：或（舍去）故該雙曲線的漸近線方程為（2） 當(dāng)時，雙曲線的方程為由，得，又直線的斜率存在，不妨設(shè)為則由直線過點(diǎn)可知，直線的方程為，即雙曲線的方程可化為設(shè)，聯(lián)立，得 顯然由韋達(dá)定理，有又而，（）又，由（）式有，而于是有 ，即， 解得：故直線的斜率為或【雙曲線中常用的幾種數(shù)學(xué)思想方法】1、 數(shù)形結(jié)合思想1. 已知為一定點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，在雙曲線的右支上移動，則當(dāng)最小時，點(diǎn)的坐標(biāo)是_.解：在雙曲線中，其離心率，右準(zhǔn)線：過點(diǎn)作于點(diǎn)則由雙曲線的第二定義知，于是，當(dāng)且僅當(dāng)、三點(diǎn)共線時，最小，且.由、三點(diǎn)共線有，把代入雙曲線方程中，得于是或（舍去）故點(diǎn)的坐標(biāo)為2、 對稱思想2. 若曲線與曲線恰有三個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為_.解：（法一）由于變量在兩個方程中都以平方的形式出現(xiàn)，因此若是兩曲線的一個交點(diǎn)，則也是它們的一個交點(diǎn).這表明，一般情況下，這兩個曲線的交點(diǎn)個數(shù)不可能有三個（奇數(shù)個），除非有，即.把代入中，得或把或，代入中，得或，即或若，則兩