直線與平面垂直的判定與性質(zhì)１

1、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)  一、選擇題 1兩異面直線在平面內(nèi)的射影（ ） A相交直線 B平行直線 C一條直線個(gè)點(diǎn) D以上三種情況均有可能 2若兩直線a與b異面，則過(guò)a且與b垂直的平面（ ） A有且只有個(gè) B可能存在也可能不存在 C有無(wú)數(shù)多個(gè) D定不存在 3在空間，下列哪些命題是正確的（ ） 平行于同一條直線的兩條直線互相平行； 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； 平行于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行； 垂直于同個(gè)平面的兩條直線互相平行 A僅不正確 B僅、正確 C僅正確 D四個(gè)命題都正確 4若平面的斜線l在上的射影為l，直線b，且bl，則b與l（ ） A必相交 B必為異面直線 C垂直

2、 D無(wú)法確定 5下列命題 平面的每條斜線都垂直于這個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線； 若一條直線垂直于平面的斜線，則此直線必垂直于斜線在此平面內(nèi)的射影； 若平面的兩條斜線段相等，則它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)的射影也相等； 若一條線段在平面外并且不垂直于這個(gè)平面，則它的射影長(zhǎng)一定小于線段的長(zhǎng) 其中，正確的命題有（ ） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) n 4個(gè) 6在下列四個(gè)命題中，假命題為（ ） A如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直 B垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊 C過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi) D如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平

3、面 7已知P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)且P在平面ABCD內(nèi)的射影在四邊形ABCD內(nèi)，若P到這四邊形各邊的距離相等，那么這個(gè)四邊形是（ ） A圓內(nèi)接四邊形 B矩形 C圓外切四邊形 D平行四邊形 8在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，則P到BC的距離等于（ ） A B C3 D4 二、填空題 9AB是平面的斜線段，其長(zhǎng)為a，它在平面內(nèi)的射影AB的長(zhǎng)為b，則垂線AA_ 10如果直線l、m與平面、滿(mǎn)足：l，l，mÌ和m，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論： 且lm；且m且lm；且lm；其中正確的為“_”（寫(xiě)出序號(hào)即可） 11在空間四面體的四個(gè)面中，為直角三角形的最多有_個(gè) 12如圖，

4、正方形ABCD，P是正方形平面外的一點(diǎn)，且PA平面ABCD則在PAB、PBC、PCD、PAD、PAC及PBD中，為直角三角形有_個(gè) 13給出以下四個(gè)命題 （1）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影一定是平行直線； （2）兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影一定是相交直線； （3）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影定是兩條相交直線； （4）一個(gè)銳角在平面內(nèi)的射影一定是銳角 其中假命題的共有_個(gè) 14若一個(gè)直角在平面內(nèi)的射影是一個(gè)角，則該角最大為_(kāi) 三、解答題 15已知直線a平面,直線b平面，求證：ab 16如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，已知ABBCa，BB1b（ba），連結(jié)BC1，過(guò)Bl作B1BC1交CC1于E，交B

5、C1于Q，求證：AC平面EBlD1 17如圖在ABC中，已知ABC90°，SAABC所在平面，又點(diǎn)A在SC和SB上的射影分別是P、Q 求證：PQSC 18已知在如圖中，BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)PÏ，PEAB，PFAC，PO，垂足分別是E、F、O，PEPF， 求證：BAOCAO， 19已知：點(diǎn)P與直線a，試證；過(guò)點(diǎn)P與a垂直的直線共面 20四面體ABCD的棱ABCD的充要條件是AC2BD2AD2BC2 四、思考題 對(duì)于一個(gè)三角形，它的三條高線總相交于點(diǎn)，而對(duì)于一個(gè)四面體，它的四條高線是否總相交于一點(diǎn)呢?若不總相交于一點(diǎn)，則怎樣的四面體其四條高線才相交于一點(diǎn)呢?這是一個(gè)美麗而非凡的問(wèn)

6、題，請(qǐng)讀者進(jìn)行研究拓展 參考答案 一、選擇題1D 2B 3B 4C 5A 6A 7C 8D二、填空題9 10、 114 125 134 14180°三、解答題15證明：設(shè)為過(guò)a的平面，且la，albl，ba16證明：AB面B1C，BC1為AC1在平面B1C上的射影，且B1EBC1，由三垂線定理知B1EAC1又AA1面A1C1，ABBC，A1C1B1D1，A1C1是AC1在面A1C1上的射影由三垂線定理得AC1B1D1又B1EB1D1B1，AC1平面EB1D117證明：SA面ABC，BCÌ面ABC，SABC又ABBC且SAABA，BC面SAB，AQ

7、4;面SABBCAQ，又AQSB，BCSBBAQ面SBCPQ是斜線AP在平面SBC上的射影，又AQSC，由三垂線定理的逆定理可得PQSC18證明：PO，PEPF，OEOF，又PEAB、PFAC，OEAB、OFAC故RtAOERtAOF，BAOCAO19證明：如圖，在點(diǎn)P和直線a所在的平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線a的垂線b，設(shè)垂足為A設(shè)過(guò)點(diǎn)P與垂直的直線為c，則必有ca，再設(shè)由b、c確定的平面為，則必有a設(shè)l是過(guò)點(diǎn)P與a垂直的直線，下證：lÌ若lË，設(shè)由l與c確定的平面為，則由al，ac，lcP，a，這樣平面與都是過(guò)點(diǎn)P與直線a垂直的平面這是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，因此，假設(shè)不成立，故必有l(wèi)

8、Ì，也就是說(shuō)過(guò)點(diǎn)P與a垂直的直線均在平面內(nèi)，于是本題獲證20證明：先證必要性：過(guò)B作CD的垂線，垂足E，連AE，CDAB，CD平面ABE，CDAEAC2AE2CE2、BD2BE2DE2；又有AD2AE2DE2、BC2BE2CE2AC2BD2AE2BE2CE2DE2，而AD2BC2AE2BE2CE2DE2AC2BD2AD2BC2再證充分性：過(guò)A點(diǎn)作CD的垂線，垂足設(shè)為F，于是有：AD2AF2DF2、BC2BE2CE2；AC2AF2CF2、BD2BE2DE2；AD2BC2AC2BD2；AF2DF2BE2CE2AF2CF2BE2DE2DF2CE2CF2DE2，DF2CF2DE2CE2，（DFCF）（DFCF）（DECE）（DECE），DFCFDECEDFCEDEC